Twierdzenie Vantieghemsa

W teorii liczb kryterium pierwszości jest twierdzenie Vantieghemsa . Stwierdza, że ​​liczba naturalna n ( n ≥ 3) jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ prod _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n-1} \ lewo (2 ^ {k} -1 \ prawo) \ równoważnik n \ mod \ lewo (2 ^ {n} -1 \ prawo).}$

Podobnie n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następująca kongruencja dla wielomianów w X :

${\ Displaystyle \ prod _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n -1}\left(X^{k}-1\right)\equiv n-\left(X^{n}-1\right)/\left(X-1\right)\mod \left(X^ {n}-1\po prawej)}$

Lub:

${\ Displaystyle \ prod _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n-1} \ lewo (X ^ {k} -1 \ prawo) \ równoważnik n \ mod \ lewo (X ^ {n} -1 \ prawo) / \ lewo(X-1\prawo).}$

Przykład

Niech n=7 tworzy iloczyn 1*3*7*15*31*63 = 615195. 615195 = 7 mod 127, więc 7 jest liczbą pierwszą Niech n=9 tworzy iloczyn 1*3*7*15*31*63* 127*255 = 19923090075. 19923090075 = 301 mod 511, więc 9 jest złożone

•   Kilford, LJP (2004). „Uogólnienie warunku koniecznego i wystarczającego na prymat ze względu na Vantieghema” . Int. J. Matematyka. Matematyka nauka . 2004 (69–72): 3889–3892. arXiv : matematyka/0402128 . Bibcode : 2004math......2128K . doi : 10.1155/S0161171204403226 . Zbl 1126.11307 . . Artykuł z dowodem i uogólnieniami.
•   Vantieghem, E. (1991). „Na kongruencji tylko dla liczb pierwszych”. Indag. matematyka _ Nowa seria. 2 (2): 253–255. doi : 10.1016/0019-3577(91)90013-W . Zbl 0734.11003 .