Twierdzenie Winogradowa o wartości średniej

W matematyce twierdzenie Winogradowa o wartości średniej jest oszacowaniem liczby równych sum potęg . Jest to ważna nierówność w analitycznej teorii liczb , nazwana na cześć IM Vinogradova .

Dokładniej, $rozwiązań$ policzymy $2s$ układu $.$ w } zmienne podane przez

${\ Displaystyle x_ {1} ^ {j} + x_ {2} ^{j}+\cdots +x_{s}^{j}=y_{1}^{j}+y_{2}^{j}+\cdots +y_{s}^{j}\quad (1 \równik j\równik k)}$

z

${\ Displaystyle 1 \ równoważnik x_ {i}, y_ {i} \ równoważnik X, (1 \ równoważnik ja \ równoważnik s)}$ .

$j }$ to, że zlicza liczbę równych sum potęg z równą liczbą wyrazów ( $)$ i równymi wykładnikami ( ), do i do ${\ displaystyle$ potęgi ${\ Displaystyle X}$ . Alternatywnym wyrażeniem analitycznym dla jest ${\ Displaystyle J_ {s, k} (X)}$

${\ Displaystyle J_ {s, k} (X) = \ int _ {[0,1) ^ {k}} | f_ {k} (\ mathbf {\ alfa}; X) | ^ {2s }d\mathbf {\alfa}}$

Gdzie

${\ Displaystyle f_ {k} (\ mathbf {\ alfa} ; X) = \ suma _ {1 \ równoważnik x \ równoważnik X} \ exp (2 \ pi ja (\ alfa _ {1} x + \ cdots + \ alfa _{k}x^{k})).}$

Twierdzenie Winogradowa o wartości średniej daje górną granicę wartości. ${\ Displaystyle J_ {s, k} (X)$ }

Silne oszacowanie dla jest ważną częścią $do$ Hardy'ego-Littlewooda atakowania , także do wykazania zerowego regionu wolnego Riemanna -funkcja w pasku krytycznym . Stworzono różne $granice$ ważne ${\ displaystyle s}$ i ${\ displaystyle k}$ . Klasyczna postać twierdzenia ma zastosowanie, gdy jest bardzo duża pod względem $k$${\ displaystyle$ .

Analizę dowodów hipotezy o wartości średniej Winogradowa można znaleźć w przemówieniu Lillian Pierce w Bourbaki Séminaire .

Dolne granice

Rozważając $_$ _

${\ Displaystyle x_ {i} = y_ {i}, (1 \ równoważnik ja \ równoważnik s)}$

widać, że jot $\ Displaystyle J_ {s, k} (X) \ gg X ^ {s}}$ .

Bardziej dokładna analiza (patrz równanie Vaughana 7.4) zapewnia dolną granicę

${\ Displaystyle J_ {s, k} \ gg X ^ {s} + X ^ {2s - {\ Frac {1} {2}} k (k + 1)}.}$

Dowód głównej hipotezy

Głównym przypuszczeniem twierdzenia Winogradowa o wartości średniej było to, że górna granica jest zbliżona do tej dolnej granicy. Dokładniej, że dla dowolnego mamy ${\ displaystyle \ epsilon > 0}$

${\ Displaystyle J_ {s, k} (X) \ ll X ^ {s + \ epsilon} + X ^ {2s- {\ Frac {1} {2}} k (k + 1) + \ epsilon}.}$

Udowodnili to Jean Bourgain , Ciprian Demeter i Larry Guth , a inną metodą Trevor Wooley.

Jeśli

${\ Displaystyle s \ geq {\ Frac {1} {2}} k (k + 1)}$

jest to równoważne z ograniczeniem

${\ Displaystyle J_ {s, k} (X) \ ll X ^ {2s - {\ Frac {1} {2}} k (k + 1) + \ epsilon}.}$

Podobnie, jeśli forma przypuszczalna jest równoważna wiązaniu ${\ Displaystyle s \ leq {\ Frac {1} {2}} k (k + 1)}$

${\ Displaystyle J_ {s, k} (X) \ ll X ^ {s + \ epsilon}.}$

$Silniejsze$ formy twierdzenia prowadzą do asymptotycznego wyrażenia dla szczególności dla dużego $wyrażenia$ względem $}$ \ displaystyle

${\ Displaystyle J_ {s, k} \ sim {\ mathcal {C}} (s, k) X ^ { 2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)},}$

do ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (s, k)} jest ustaloną$ dodatnią zależną co najwyżej $displaystyle$ i $k}$ , patrz Twierdzenie 1,2 cala

Historia

Oryginalne twierdzenie Winogradowa z 1935 r. Wykazało, że dla ustalonego s $\ displaystyle s, k}$

${\ Displaystyle s \ geq k ^ {2} \ log (k ^ {2} + k) + {\ Frac { 1}{4}}k^{2}+{\frac {5}{4}}k+1}$

istnieje dodatnia stała taka, że ${\ Displaystyle D (s, k)}$

${\ Displaystyle J_ {s, k} (X) \ równoważnik D (s, k) (\ log X) ^ {2s} X ^ {2s - {\ Frac {1} {2}} k (k + 1) +{\frac {1}{2}}}.}$

Chociaż był to przełomowy wynik, nie spełnia on pełnej domniemanej formy. Zamiast tego demonstruje domniemaną formę when

${\ Displaystyle \ epsilon > {\ Frac {1} {2}}}$ .

Podejście Vinogradova zostało ulepszone przez Karatsubę i Stechkina, którzy wykazali, że dla $)}$ k $k$ \

${\ Displaystyle J_ {s, k} (X) \ równoważnik D (s, k)X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\eta _{s,k}},}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ eta _ {s, k} = {\ Frac {1} {2}} k ^ {2} \ lewo (1- {\ Frac {1} {k}} \ prawej) ^ {\ lewo [ {\frac {s}{k}}\right]}\leq k^{2}e^{-s/k^{2}}.}$

Zauważając, że dla

${\ Displaystyle s> k ^ {2} (2 \ log k- \ log \ epsilon)}$

mamy

${\ Displaystyle \ eta _ {s, k}<\ epsilon}$ ,

dowodzi to, że forma domniemana zachodzi dla $.$ rozmiaru

Metodę można dalej zaostrzyć, aby udowodnić asymptotyczne oszacowanie

${\ Displaystyle J_ {s, k} \ sim {\ mathcal {C}} (s, k) X ^ { 2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)},}$

$displaystyle k}$ dużych pod względem ${\$ .

W 2012 roku Wooley poprawił zakres, $.$ którego obowiązuje forma przypuszczalna Udowodnił to za

${\ Displaystyle k \ geq 2}$ i ${\ Displaystyle s \ geq k (k + 1)}$

i dla dowolnego mamy ${\ displaystyle \ epsilon > 0}$

${\ Displaystyle J_ {s, k} (X) \ ll X ^ {2s - {\ Frac {1} {2}} k (k + 1) + \ epsilon}.}$

Ford i Wooley wykazali, że forma przypuszczalna jest ustalona dla małych w kategoriach ${\ displaystyle k$$}$ . W szczególności pokazują to dla

${\ displaystyle k \ geq 4}$

I

${\ Displaystyle 1 \ równoważnik s \ równoważnik {\ Frac {1} {4}} (k + 1) ^ {2}}$

dla każdego ${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$

mamy

${\ Displaystyle J_ {s, k} (X) \ ll X ^ {s + \ epsilon}.}$