Twierdzenie o faktoryzacji biegunowej

W optymalnym transporcie , gałęzi matematyki, biegunowa faktoryzacja pól wektorowych jest podstawowym wynikiem ze względu na Breniera (1987), z poprzednikami Knotta-Smitha (1984) i Racheva (1985), który uogólnia wiele istniejących wyników, wśród których są polarne rozkład macierzy rzeczywistych i przegrupowanie funkcji o wartościach rzeczywistych.

Twierdzenie

Notacja. Oznacz ${\ displaystyle \ mu$ obrazu na mapie $}$$displaystyle \ xi _ {\ #} \$ \ mu .

Definicja: Miara zachowania mapy. Niech i ${\ Displaystyle (X, \ mu)}$ i ${\ Displaystyle (Y, \ nu)}$ będą pewnymi przestrzeniami prawdopodobieństwa i ${\ Displaystyle \ sigma: X \ strzałka w prawo Y}$ mapa. Następnie mówi się, że zachowuje miarę, jeśli dla każdego $-mierzalnego$ podzbioru $nu}$${\ Displaystyle \ Omega}$ z ${\ Displaystyle Y}$ , $\ Displaystyle \ sigma ^ {- 1} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ mu (\ sigma ^ {- 1} (\ Omega)) = \ nu (\ Omega)}$ jest $mierzalne$ i , czyli: ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {X} f \ circ \ sigma d \ mu = \ int _ {Y} fd \ nu}$ z ${\ displaystyle f}$ , czyli ${\ displaystyle \ nu }$$-integrowalny$ i ${\ Displaystyle \ sigma \ circ f},$ czyli .

Twierdzenie. $}$ mapę gdzie jest wypukłym podzbiorem ${d$$\ Displaystyle \ Omega$ } i miara na $,$${\ displaystyle \ Omega}$ jest absolutnie ciągła. Załóżmy, $absolutnie$ ciągły Następnie istnieje funkcja wypukła $}$$}$ i mapa zachowująca tak, że ${\ Displaystyle \ sigma: \ Omega \ rightarrow \ Omega$

${\ Displaystyle \ xi = \ lewo (\ nabla \ varphi \ prawo) \ circ \ sigma}$

Ponadto $wszędzie$ są jednoznacznie zdefiniowane σ $\ displaystyle \ sigma} .$

Aplikacje i połączenia

Wymiar 1

W wymiarze 1 i gdy $przedziale$ Lebesgue'a w jednostkowym, wynik specjalizuje się w twierdzeniu Ryffa . Kiedy i jest rozkładem równomiernym na $[0,1 \ prawej]}$$\ Displaystyle \$ , rozkład biegunowy sprowadza się do re = 1 {\ Displaystyle $d$

${\ Displaystyle \ xi \ lewo (t \ prawo) = F_ {X} ^ {- 1} \ lewo (\ sigma \ lewo (t \ prawo) \ Prawidłowy)}$

gdzie jest $,$$}$ zmiennej losowej ma w ${\ Displaystyle \ lewo [0,1 \ prawo]}$$X}$ . i $Displaystyle$${\ Displaystyle \ sigma \ lewo (t \ prawo) = F_ {X} \ lewo (\ xi \ lewo (t \ prawo) \ prawo)} zachowuje miarę Lebesgue'a$ na ${\ Displaystyle \ lewo [0,1\prawo]}$ .

Rozkład biegunowy macierzy

Gdy jest mapą liniową i jest rozkładem normalnym $Gaussa$ , $wynik$ się z rozkładem macierzy . Zakładając $,$ gdzie jest macierzą odwracalną $\ Displaystyle d \ razy d}$$biorąc$ pod $} styl wyświetlania \mu }$ miara prawdopodobieństwa, rozkład biegunowy sprowadza się do N ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} \ lewo (0, I_ {d} \ prawej)$

${\ Displaystyle M = TAK}$

gdzie jest symetryczną $_$ określoną $macierzą$ a macierzą ortogonalną . Związek $_$${\ Displaystyle \ sigma \ lewo (x \ prawo) = Wół}$ _ który zachowuje miarę ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} \ lewo (0, I_ {d} \ prawej)}$ .

Rozkład Helmholtza

Wyniki pozwalają również odtworzyć rozkład Helmholtza . Pozwalając być gładkim polem wektorowym , można to zapisać w unikalny sposób jako ${\ Displaystyle x \ rightarrow V \ lewo (x \ prawo)}$

${\ Displaystyle V = w + \ nabla p}$

gdzie jest gładką funkcją rzeczywistą zdefiniowaną na $w {\ displaystyle p}$ unikalną aż do stałej addytywnej i $jest$$gładkim$ swobodnych rozbieżności, równoległym do granicy ${\ Displaystyle \ Omega}$ .

Związek można zobaczyć, zakładając, że $miarą$ Lebesgue'a na zbiorze zwartym i pisząc jako ${\ Displaystyle \ Omega \ podzbiór R ^ {n$$}$ zaburzenie mapy tożsamości

${\ Displaystyle \ xi _ {\ epsilon} (x) = x + \ epsilon V (x)}$

gdzie $jest$ . Rozkład biegunowy ${\ Displaystyle \ xi _ {\ epsilon}}$ jest określony przez ${\ Displaystyle \ xi _ {\ epsilon} = (\ nabla \ varphi _ {\ epsilon })\circ \sigma _{\epsilon}}$ . Wtedy dla dowolnej funkcji testowej ${\ displaystyle f: R ^ {n} \ rightarrow R}$ obowiązuje:

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} f (x + \ epsilon V (x)) dx = \ int _ {\ Omega} f ((\ nabla \ varphi _ {\ epsilon}) \ circ \ sigma _ {\ epsilon }\left(x\right))dx=\int _{\Omega }f(\nabla \varphi _{\epsilon }\left(x\right))dx}$

gdzie fakt, że $,$ został wykorzystany w drugiej równości.

${\ Displaystyle \ textstyle \ varphi _ {0} (x) = {\ Frac {1} {2}} \ Vert x \ Vert ^ {2}$ } , można rozwinąć ${\ Displaystyle \ textstyle \ varphi _ {\ epsilon} (x) = {\ Frac {1} {2}} \ Vert x \ Vert ^ {2} + \ epsilon p (x) + O (\ epsilon ^ {2} })}$ , a zatem ${\ Displaystyle \ textstyle \ nabla \ varphi _ {\ epsilon} \ lewo (x \ prawej) = x + \epsilon \nabla p(x)+O(\epsilon ^{2})}$ . W rezultacie ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {\ Omega} \ lewo (V (x) - \ nabla p (x) \ prawej) \ nabla f (x)) dx }$ dla dowolnej gładkiej funkcji $co$ oznacza, że ${\ Displaystyle w \ lewo (x \ prawej) = V (x) - \ nabla p (x)}$ jest wolny od rozbieżności.