Twierdzenie o koherencji Mac Lane'a

W teorii kategorii , gałęzi matematyki, twierdzenie o koherencji Mac Lane'a stwierdza, słowami Saundersa Mac Lane'a , że „każdy diagram dojeżdża do pracy”. Dokładniej (por. #Kontrprzykład ), stwierdza, że każdy diagram formalny dojeżdża do pracy, gdzie „diagram formalny” jest odpowiednikiem dobrze sformułowanych formuł i terminów w teorii dowodu .

Kontrprzykład

Nierozsądne jest oczekiwanie, że możemy pokazać dosłownie każdy schemat komutacji, ze względu na następujący przykład Isbell.

Niech ${\ Displaystyle {\ mathsf {Zbiór}} _ {0} \ subset {\ mathsf {Zbiór}}}$ będzie szkieletem kategorii zbiorów, a D unikalnym w nim policzalnym zbiorem ; uwaga ${\ displaystyle D \ razy D = D}$ przez wyjątkowość. Niech ${\ displaystyle p: D = D \ razy D \ do D}$ będzie rzutem na pierwszy czynnik. Do dowolnych funkcji ${\ Displaystyle f, g: D \ do re}$ , mamy ${\ Displaystyle f \ circ p = p \ circ (f \ razy g) }$ . Załóżmy teraz, że naturalne izomorfizmy ${\ Displaystyle \ alfa: X \ razy (Y \ razy Z) \ simeq (X \ razy Y) \ razy Z}$ to tożsamość; w szczególności dotyczy to ${\ displaystyle X=Y=Z=D}$ . Wtedy dla dowolnego ${\ displaystyle f, g, h: D \ do re}$ $ponieważ$ jest tożsamością i jest naturalne,

{\ Displaystyle f \ circ p = p \ circ (f \ razy (g \ razy h)) = p \ circ \ alfa \ circ (f \ razy (g \ razy h)) = p \ circ ((f \ razy g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p}

.

Ponieważ jest $epimorfizmem$ , implikuje to ${\ displaystyle f = f \ razy g$ . Podobnie, używając odwzorowania na drugi czynnik, otrzymujemy $f \ razy g}$ $i$ tak , co jest absurdalne

Dowód

Notatki

Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla pracującego matematyka . Nowy Jork: Springer. ISBN 0-387-98403-8 . OCLC 37928530 .
Sekcja 5 Saunders Mac Lane, Topology and Logic as a Source of Algebra (Retiring Presidential Address), Biuletyn AMS 82: 1, styczeń 1976.

Linki zewnętrzne