Twierdzenie o poprzeczności

W topologii różniczkowej twierdzenie o poprzeczności , znane również jako twierdzenie Thoma o poprzeczności od nazwiska francuskiego matematyka René Thoma , jest głównym wynikiem opisującym właściwości przecięcia poprzecznego gładkiej rodziny gładkich map. Mówi, że poprzeczność jest ogólną właściwością : każda gładka mapa ${\ displaystyle f \ okrężnica X \ rightarrow Y}$ , może zostać zdeformowany o dowolną niewielką wartość w mapę, która jest poprzeczna do danej podrozmaitości. ${\ Displaystyle Z \ subseteq Y}$ . Wraz z konstrukcją Pontryagina-Thoma jest technicznym sercem teorii kobordyzmu i punktem wyjścia dla teorii chirurgii . Skończenie wymiarowa wersja twierdzenia o poprzeczności jest również bardzo użytecznym narzędziem do ustalania generyczności właściwości, która zależy od skończonej liczby parametrów rzeczywistych i którą można wyrazić za pomocą układu równań nieliniowych. Można to rozszerzyć na parametryzację nieskończenie wymiarową przy użyciu nieskończenie wymiarowej wersji twierdzenia o poprzeczności.

Wersja o skończonych wymiarach

Poprzednie definicje

Niech będzie $rozmaitościami$ i $}$ { $displaystyle$ . Mówimy, że poprzeczna do , oznaczonej jako , $) fa$ tylko wtedy, gdy dla każdego $x$$\$${\ Displaystyle x \ in f ^ {- 1} \ lewo (Z \ prawo)}$ mamy to

${\ Displaystyle \ operatorname {im} \ lewo (df_ {x} \ prawej) + T_ {f \ lewo (x \ prawej) }Z=T_{f\lewo(x\prawo)}Y}$ .

Ważny wynik dotyczący poprzeczności stwierdza, że ​​​​jeśli gładka mapa $f ^ {- 1$ poprzeczna do $) {\ Displaystyle$ to $(Z \ prawej) fa - 1 ( Z ) {\ Displaystyle f ^ {- 1} \ lewo (Z \ prawej) }$ jest regularną podrozmaitością ${\ displaystyle X}$ .

Jeśli jest rozmaitością z granicą $,$ to możemy zdefiniować ograniczenie mapy $Displaystyle$ granicy, jako $\ częściowe f \ okrężnica \ częściowe X\strzałka w prawo Y}$ . Mapa $jak$ gładka i pozwala nam stwierdzić rozszerzenie poprzedniego wyniku: jeśli zarówno $\ pitchfork Z},$ i $}$$podrozmaitością$ , to z ${\ Displaystyle$ z granica i

${\ Displaystyle \ częściowe f ^ {- 1} \ lewo (Z \ prawej) = f ^ {- 1} \ lewo (Z \ prawej) \ cap \częściowy X}$ .

Twierdzenie o poprzeczności parametrycznej

$fa$ mapę i zdefiniuj $prawo)=F\lewo(x,s\prawo)}$$Displaystyle f_ {s}$ . To generuje rodzinę odwzorowań ${\ displaystyle f_ {s} \ dwukropek X \ rightarrow Y}$ . Wymagamy, aby rodzina zmieniała się płynnie, zakładając być (gładką) rozmaitością $i$$być$ .

Stwierdzenie parametrycznego twierdzenia o poprzeczności jest następujące:

Załóżmy, że $tylko$ gładką mapą rozmaitości, gdzie i będzie $displaystyle$$Z$ dowolna podrozmaitość $granicy$ . Jeśli zarówno $,$ jak i są $częściowe F }$ do , to dla prawie każdego ∂ $displaystyle$${\ Displaystyle s \ w S}$ , zarówno i $Displaystyle \ częściowe f_ {s}}$$\$ są poprzeczne do $Displaystyle Z}$ .

Bardziej ogólne twierdzenia o transwersalności

Powyższe twierdzenie o poprzeczności parametrycznej jest wystarczające dla wielu elementarnych zastosowań (patrz książka Guillemina i Pollacka).

Istnieją potężniejsze twierdzenia (zwane łącznie twierdzeniami o poprzeczności ), które implikują parametryczne twierdzenie o poprzeczności i są potrzebne w bardziej zaawansowanych zastosowaniach.

Nieformalnie „twierdzenie o poprzeczności” stwierdza, że ​​​​zbiór odwzorowań, które są poprzeczne do danej podrozmaitości, jest gęstym otwartym (lub, w niektórych przypadkach, tylko gęstym $zbioru$ . mapowań. Aby takie stwierdzenie było precyzyjne, konieczne jest zdefiniowanie przestrzeni rozważanych odwzorowań i jaka jest w niej topologia. Istnieje kilka możliwości; zobacz książkę Hirscha.

To, co zwykle rozumie się przez twierdzenie Thoma o poprzeczności, jest mocniejszym stwierdzeniem o poprzeczności strumienia . Zobacz książki Hirscha oraz Golubitsky'ego i Guillemina. Oryginalne odniesienie to Thom, Bol. soc. Mata. Mexicana (2) 1 (1956), s. 59–71.

John Mather udowodnił w latach 70-tych jeszcze bardziej ogólny wynik zwany twierdzeniem o transwersalności wielodżetowej . Zobacz książkę Golubitsky'ego i Guillemina.

Wersja o nieskończonych wymiarach

Nieskończenie wymiarowa wersja twierdzenia o poprzeczności uwzględnia fakt, że rozmaitości można modelować w przestrzeniach Banacha.

Oświadczenie formalne

Załóżmy, że jest mapą ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$ -Banacha $S \ do Y}$$\ Displaystyle F$ rozmaitości. Przypuszczać:

$.$$nad$ ) i niepustymi, metryzowalnymi $K$${\ Displaystyle \ mathbb {K}.}$ polem

$mapa$ ii) fa ${\ Displaystyle F: X \ razy S \ do$ z ${\ displaystyle k \ geq 1}$ ma $stałą$ .

(iii) dla każdego parametru mapa $\ Displaystyle f_ {s} (x) = F (x,$$s$ jest mapą Fredholma , gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {ind} Df_ {s} (x) <k}$ dla każdego ${\ Displaystyle x \ in f_ {s} ^ {- 1} (\ {y \}).} ($

iv) Konwergencja ${\ Displaystyle s_ {n} \ do s}$ na ${\ Displaystyle S }$ jak ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ i $}) = y}$$n$ dla wszystkich istnienie zbieżnej podsekwencji ${\ Displaystyle x_ {n} \ do x}$ jak ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ z ${\ displaystyle x \ w X.}$

Jeśli (i) - (iv) trzymać, to istnieje otwarty, gęsty podzbiór $f_{s}}$ , że jest wartością ${\ Displaystyle S_ {0} \ displaystyle y}$$y}$$\ displaystyle$ dla każdego parametru ${\ displaystyle s \ w S_ {0}.}$

Teraz ustal element ${\ Displaystyle s \ w S_ {0}.}$ Jeśli istnieje liczba ${\ Displaystyle n \ geq 0}$ z $n}$${\ Displaystyle \ operatorname {ind} Df_ {s} (x)$${\ Displaystyle f_ {s} (x) = y}$ dla wszystkich rozwiązań ${\ Displaystyle x \ w X}$ fa fa ${\ Displaystyle f_ {s} ^ {- 1} (\ {y \})}$ się z -wymiarowego do ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C^{k}}$ -Rozmaitość Banacha lub zbiór rozwiązań jest pusty.

Zauważ, że jeśli ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ind} Df_ {s} (x) = 0}$ dla wszystkich rozwiązań ${\ Displaystyle f_ {s} (x) = y,$ wtedy istnieje otwarty gęsty podzbiór z ${\$$displaystyle S} taki$ że istnieje co najwyżej skończenie wiele rozwiązań dla każdego ustalonego parametru ${\ displaystyle s \ in S_ {0}.}$ Ponadto wszystkie te rozwiązania są regularne.

•   Arnold, Władimir I. (1988). Metody geometryczne w teorii równań różniczkowych zwyczajnych . Skoczek. ISBN 0-387-96649-8 .
•   Golubicki, Marcin ; Guillemin, Victor (1974). Odwzorowania stabilne i ich osobliwości . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X .
•   Guillemin, Victor ; Pollack, Alan (1974). Topologia różniczkowa . Prentice Hall. ISBN 0-13-212605-2 .
•   Hirsch, Morris W. (1976). Topologia różniczkowa . Skoczek. ISBN 0-387-90148-5 .
• Thom, René (1954). „Quelques propriétés globales des variétés differentiables”. Commentarii Mathematici Helvetici . 28 (1): 17–86. doi : 10.1007/BF02566923 .
• Thom, René (1956). „Un lemme sur les application différentiables”. Bol. soc. Mata. Meksykańska . 2 (1): 59–71.
•   Zeidler, Eberhard (1997). Nieliniowa analiza funkcjonalna i jej zastosowania: Część 4: Zastosowania w fizyce matematycznej . Skoczek. ISBN 0-387-96499-1 .