Twierdzenie o uniwersalnym akordzie

Cięciwa (na czerwono) o długości 0,3 na funkcji sinusoidalnej. Twierdzenie o akordach uniwersalnych gwarantuje istnienie akordów o długości 1/ n dla funkcji spełniających określone warunki.

W analizie matematycznej uniwersalne twierdzenie o cięciwie stwierdza, że jeśli funkcja f jest ciągła na [ za , b ] i spełnia , to dla każdego ${\ Displaystyle f (a) = f (b)}$ liczba naturalna ${\ Displaystyle n}$ , istnieje taka, że $}$ ${\ Displaystyle f (x) = f \ lewo (x + {\ Frac {ba} {n}} \ prawej)}$ .

Historia

Twierdzenie zostało opublikowane przez Paula Lévy'ego w 1934 roku jako uogólnienie twierdzenia Rolle'a .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech ${\ Displaystyle H (f) = \ {h \ w [0, + \ infty) :f(x)=f(x+h){\text{ for some }}x\}}$ oznacza zbiór akordów funkcji f . Jeśli f jest funkcją ciągłą i $h \ w H$ $dla$ ( a następnie liczb naturalnych n

Przypadek n = 2

Przypadek, w którym n = 2 można uznać za zastosowanie twierdzenia Borsuka-Ulama do prostej rzeczywistej. Mówi, że jeśli $]}$ ${\ Displaystyle f (a) = f (b)}$ { $b$ , że , to istnieje jakieś ${\ Displaystyle x \ w [a, b]}$ takie, że ${\ Displaystyle f (x) = f \ lewo (x + {\ Frac {ba }{2}}\prawo)}$ .

$Displaystyle$ mniej ogólnie, jeśli $f ($ jest ciągła fa ) , then there exists $x\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right]$ that satisfies ${\ Displaystyle f (x) = f (x + 1/2)}$ .

Dowód n = 2

Rozważmy funkcję zdefiniowaną przez ${\ Displaystyle g: \ lewo [a, {\ dfrac {b + a} {2}} \ prawo] \ do \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle g (x) = f \ lewo (x + {\ dfrac {ba} {2}} \ prawej) -f (x) }$ . Będąc sumą dwóch funkcji ciągłych, ${\ displaystyle g}$ jest ciągły, ${\ Displaystyle g (a) + g ({\ dfrac {b + a} 2}})=f(b)-f(a)=0}$ . Wynika z tego, że ${\ Displaystyle g (a) \ cdot g ({\ dfrac {b + a} {2}}) \ równoważnik 0}$ $_$ stosując pośredniej ${\ Displaystyle g (c) = 0}$ , tak że ${\ Displaystyle f (c) = f \ lewo (c + {\ dfrac {ba} {2}}\prawo)}$ . Co kończy dowód twierdzenia dla ${\ displaystyle n = 2}$

Dowód przypadku ogólnego

Dowód twierdzenia w ogólnym przypadku jest bardzo podobny do dowodu dla $będzie$ ${\ displaystyle n = 2}$ nieujemną liczbą całkowitą i rozważmy funkcję ${\ Displaystyle g: \ lewo [a, b - {\ dfrac {ba} {n}} \ prawo] \ do \ mathbb {R}}$ zdefiniowany przez ${\ Displaystyle g (x) = f \ lewo (x + {\ dfrac {ba} {n}} \ prawej) -f (x)}$ . $jest$ sumą dwóch funkcji ciągłych, ciągła. $ba}{n}}\prawo)=0}$ ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} g \ lewo (a + k \ cdot {\ dfrac$ { . Wynika z tego, że istnieją liczby całkowite $że$ sol $Displaystyle g \ lewo (a +i\cdot {\dfrac {ba}{n}}\right)\leq 0\leq g\left(a+j\cdot {\dfrac {ba}{n}}\right)} Twierdzenia o wartości pośredniej$ dają us c takie, że ${\ displaystyle g (c) = 0}$ i wynika z tego twierdzenie.

Zobacz też

^ Rosenbaum, JT (maj 1971) The American Mathematical Monthly , tom. 78, nr 5, s. 509–513
^ Paul Levy , „Sur une Généralisation du Théorème de Rolle”, CR Acad. Sci., Paryż, 198 (1934) 424–425.
^ Oxtoby, JC (maj 1978). „Twierdzenia o akordach poziomych”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 79 : 468–475. doi : 10.2307/2317564 .

[1] Rosenbaum, JT (maj 1971) The American Mathematical Monthly , tom. 78, nr 5, s. 509–513

[2] Paul Levy , „Sur une Généralisation du Théorème de Rolle”, CR Acad. Sci., Paryż, 198 (1934) 424–425.

[3] Oxtoby, JC (maj 1978). „Twierdzenia o akordach poziomych”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 79 : 468–475. doi : 10.2307/2317564 .