Twierdzenie o wartości średniej (podzielone różnice)

W analizie matematycznej twierdzenie o wartości średniej dla podzielonych różnic uogólnia twierdzenie o wartości średniej na wyższe pochodne.

Stwierdzenie twierdzenia

₀ Dla dowolnych n + 1 punktów różnych parami x , ..., x _n w dziedzinie funkcji n -krotnie różniczkowalnej f istnieje punkt wewnętrzny

${\ Displaystyle \ xi \ in (\ min \ {x_ {0}, \ kropki, x_ {n} \}, \max\{x_{0},\kropki ,x_{n}\})\,}$

gdzie n -ta pochodna f równa się n ! razy n -ta podzielona różnica w tych punktach:

${\ Displaystyle f [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] = {\ Frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!}}.}$

Dla n = 1, czyli dwóch punktów funkcyjnych, otrzymuje się proste twierdzenie o wartości średniej .

Dowód

₀ Niech będzie $wielomianem$ interpolacji Lagrange'a dla fa przy x , ... x _n . Następnie z postaci Newtona $jest$ , ​​​​najwyższym $wyrazem$${\ Displaystyle f [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] (xx_ {n-1}) \ kropki (xx_ {1}) (x -x_{0})}$ .

₀ Niech $będzie$ resztą interpolacji, określoną przez $\ displaystyle g = fP}$ . Wtedy $zera$ ma $_$ x , ... x _n _ Stosując najpierw twierdzenie Rolle'a $aż$ , potem do ${\ displaystyle g'}$ i tak dalej, ${\ Displaystyle g ^ {(n-1)}}$ , stwierdzamy, że ${\ Displaystyle g ^ {(n)}}$ ma zero ${\ Displaystyle \ xi}$ . To znaczy że

${\ Displaystyle 0 = g ^ {(n)} (\ xi) = f ^ {(n)} (\ xi) -f [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] n!}$ ,

${\ Displaystyle f [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] = {\ Frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!}}.}$

Aplikacje

Twierdzenie to może być użyte do uogólnienia średniej Stolarsky'ego na więcej niż dwie zmienne.