Uogólniony model tablic liniowych

W statystyce uogólniony liniowy model tablicowy ( GLAM ) jest używany do analizy zbiorów danych ze strukturami tablicowymi. Oparto go na uogólnionym modelu liniowym z macierzą projektu zapisaną jako iloczyn Kroneckera .

Przegląd

Uogólniony model liniowej tablicy lub GLAM został wprowadzony w 2006 roku. Takie modele zapewniają strukturę i procedurę obliczeniową do dopasowywania uogólnionych modeli liniowych lub GLM, których macierz modelu można zapisać jako iloczyn Kroneckera, a dane można zapisać jako tablicę. W dużym GLM podejście GLAM zapewnia bardzo znaczne oszczędności zarówno w czasie przechowywania, jak i obliczeń w porównaniu ze zwykłym algorytmem GLM.

Załóżmy, że dane są ułożone w $-wymiarowej$${$ o rozmiarze $2}\times \dots \times n_{d}}$$\ displaystyle n_ {1} \ razy n_$ ; zatem odpowiedni wektor danych ma rozmiar ${\ Displaystyle \ mathbf {y} = \ operatorname {vec} (\ mathbf {Y})}$${\ Displaystyle n_ {1} n_ {2} n_ {3} \ cdots n_ {d}}$ . Załóżmy również, że macierz projektu ma postać

${\ Displaystyle \ mathbf {X} = \ mathbf {X} _ {d} \ otimes \ mathbf {X} _ {d-1} \ otimes \ kropki \ otimes \ mathbf {X} _ {1}.}$

Standardowa analiza GLM z wektorem danych $macierzą$ projektu przebiega przez wielokrotną ocenę algorytmu punktacji ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {X} ' {\ tylda {\ mathbf {W}}} _ {\ delta} \ mathbf {X} {\ kapelusz {\boldsymbol {\theta}}}=\mathbf {X} '{\tylda {\mathbf {W}}}_ {\delta}}},}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ tylda {\ boldsymbol {\ theta}}}}$ reprezentuje przybliżone rozwiązanie ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$ i ${\ Displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ theta }}}}$ jest jego ulepszoną wartością; ${\ Displaystyle \ mathbf {W} _ {\ delta}}$ to ukośna macierz wag z elementami

${\ Displaystyle w_ {ii} ^ {- 1} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ eta _ {i }}{\częściowe \mu _{i}}}\right)^{2}\mathrm {var} (y_{i}),}$

I

${\ Displaystyle \ mathbf {z} = {\ boldsymbol {\ eta}} + \ mathbf {W} _ {\ delta} ^ {- 1} (\ mathbf { y} -{\boldsymbol {\mu}})}$

jest zmienną roboczą.

Obliczeniowo GLAM zapewnia algorytmy tablicowe do obliczania predyktora liniowego,

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ eta}} = \ mathbf {X} {\ boldsymbol {\ teta}}}$

oraz ważony iloczyn wewnętrzny

${\ Displaystyle \ mathbf {X} '{\ tylda {\ mathbf {W}}} _ {\ delta} \ mathbf {X}}$

bez oceny macierzy modelu ${\ Displaystyle \ mathbf {X}.}$

Przykład

W 2 wymiarach niech ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = \ mathbf {X} _ {2} \ czasami \ mathbf {X} _ {1}}$ , wtedy zapisujemy predyktor liniowy ${\ Displaystyle \ mathbf {X} _ {1} {\ boldsymbol {\ Theta}} \ mathbf {X} _ {2} '}$ gdzie ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Theta}}}$ jest macierzą współczynników; ważony iloczyn wewnętrzny otrzymuje się z $mathbf {X} _ {1}) '\ mathbf {W} G (\ mathbf {X} _ {2})$ \ $}$ i macierz wag; tutaj ${\ Displaystyle G (\ mathbf {M}}}$ jest funkcją tensora wierszy macierzy danej przez $M ) {\ Displaystyle$$\ mathbf {M}}}$

${\ Displaystyle G (\ mathbf {M}) = (\ mathbf {M} \ czasami \ mathbf {1} ') \ circ (\ mathbf {1} '\czasami \mathbf {M} )}$

gdzie $jedynek$$mnożenie$ elementu po elemencie i jest wektorem $do$ .

Z drugiej strony funkcja tensora wierszy macierzy jest ${\ Displaystyle G$$($$}$ mathbf { przykład iloczynu macierzy z rozszczepieniem twarzy , który został zaproponowany przez Vadyma Slyusara w 1996 roku:

${\ Displaystyle \ mathbf {M} \ punktor \ mathbf {M} = \ lewo (\ mathbf {M} \ czasami \ mathbf {1} ^ {\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} \right),}$

gdzie $twarz$ produkt rozłupujący .

Te formuły o małej pojemności i dużej szybkości rozciągają się $-wymiary$ .

Aplikacje

GLAM jest przeznaczony do stosowania w $problemach wygładzania$$,$ w których dane są ułożone w tablicę, a macierz wygładzania jest konstruowana jako iloczyn Kroneckera macierzy wygładzania.