Kształtowanie fal

W muzyce elektronicznej kształtowanie fal jest rodzajem syntezy zniekształceń , w której złożone widma są tworzone z prostych tonów poprzez zmianę kształtu fal .

Używa

Waveshapery są używane głównie przez muzyków elektronicznych w celu uzyskania wyjątkowo szorstkiego dźwięku. Efekt ten jest najczęściej używany do wzmocnienia brzmienia syntezatora muzycznego poprzez zmianę kształtu fali lub samogłoski. Muzycy rockowi mogą również używać waveshapera do silnego przesterowania gitary lub basu. Niektóre syntezatory lub wirtualne instrumenty programowe mają wbudowane kształtowniki fal. Efekt może sprawić, że instrumenty będą brzmiały hałaśliwie lub przesterowane .

W cyfrowym modelowaniu analogowego sprzętu audio, takiego jak wzmacniacze lampowe , kształtowanie fali jest wykorzystywane do wprowadzenia statycznej lub pozbawionej pamięci nieliniowości w celu przybliżenia charakterystyki przenoszenia lampy próżniowej lub ogranicznika diodowego .

Jak to działa

Waveshaper to efekt dźwiękowy , który zmienia sygnał audio poprzez odwzorowanie sygnału wejściowego na sygnał wyjściowy poprzez zastosowanie stałej lub zmiennej funkcji matematycznej, zwanej funkcją kształtującą lub funkcją przenoszenia , do sygnału wejściowego (termin funkcja kształtująca jest preferowany, aby uniknąć pomylenie z funkcją transferu z teorii systemów). Funkcja może być dowolną funkcją.

Matematycznie operacja jest zdefiniowana przez równanie kształtu fali

{\ Displaystyle y = f (a (t) x (t))}

gdzie f jest funkcją kształtującą, x(t) jest funkcją wejściową, a a(t) jest funkcją indeksową , która generalnie może zmieniać się w funkcji czasu. Ten parametr a jest często używany jako stały współczynnik wzmocnienia zwany wskaźnikiem zniekształceń . W praktyce wejście do generatora fal, x, jest rozważane na [-1,1] dla sygnałów próbkowanych cyfrowo, a f będzie zaprojektowane tak, że y jest również na [-1,1], aby zapobiec niepożądanemu obcinaniu w oprogramowaniu.

Powszechnie stosowane funkcje kształtujące

Sin , arctan , funkcje wielomianowe lub funkcje fragmentaryczne (takie jak funkcja twardego obcinania ) są powszechnie używane jako funkcje przenoszenia kształtujące fale. Możliwe jest również użycie funkcji sterowanych tabelą, składających się z dyskretnych punktów z pewnym stopniem interpolacji lub segmentów liniowych.

Wielomiany

Wielomian jest funkcją formy

${\ Displaystyle f (x) = a_ { n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\suma _{ n=0}^{N}a_{n}x^{n}}$

Funkcje wielomianowe są wygodne jako funkcje kształtujące, ponieważ po podaniu pojedynczej sinusoidy jako danych wejściowych wielomian stopnia N wprowadzi tylko do N -tej harmonicznej sinusoidy. Aby to udowodnić, rozważ sinusoidę używaną jako dane wejściowe do ogólnego wielomianu.

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} (\ alfa \ cos (\ omega t + \ phi)) ^{n}}

Następnie użyj odwrotnego wzoru Eulera, aby uzyskać złożone sinusoidy.

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} {\ Bigg (} \ alfa {\ Frac {e ^ {j (\ omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}}{2}}{\Bigg )}^{n}=a_{0}+\suma _{n=1}^{ N}{\frac {a_{n}\alpha ^{n}}{2^{n-1}}}{\frac {(e^{j(\omega t+\phi)}+e^{-j (\omega t+\fi)})^{n}}{2}}}

Na koniec użyj formuły dwumianowej , aby przekształcić z powrotem w formę trygonometryczną i znaleźć współczynniki dla każdej harmonicznej.

{\ Displaystyle a_ {0} + \ suma _ {n = 1} ^ {N} {\ Bigg [}{{\ Frac {a_ {n} \ alfa ^ {n}} {2 ^ {n-1}} }\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}{\frac {e^{j(nk)(\omega t+\phi )}e^{-jk(\omega t+\phi )}}{2}}}{\Bigg ]}}=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\Bigg [}{{\frac {a_{n}\alpha ^{ n}}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}{\frac {e^{j(n-2k)(\omega t+\ phi )}}{2}}}{\Bigg ]}}}

${\ Displaystyle = a_ {0} + \ suma _ {n = 1} ^ {N} {\ Bigg [}{{\ Frac {a_ {n} \ alfa ^ {n}} {2 ^ {n-1} }}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{{n \choose k}\cos {((n-2k)(\omega t+\phi))}}{\Bigg] }}}$

Na podstawie powyższego równania można poczynić kilka obserwacji dotyczących wpływu funkcji kształtującej wielomian na pojedynczą sinusoidę:

Wszystkie wygenerowane sinusoidy są harmonicznie powiązane z oryginalnym wejściem.
Częstotliwość nigdy nie przekracza ${\ Displaystyle N \ omega}$ .
Wszystkie nieparzyste wyrazy jednomianowe $)$ nieparzyste harmoniczne od n do podstawowej, a wszystkie parzyste wyrazy jednomianowe generują parzyste harmoniczne od n do DC (częstotliwość 0
Kształt widma wytwarzanego przez każdy termin jednomianowy jest ustalony i określany przez współczynniki dwumianowe.
Waga tego widma w całkowitym wyjściu jest określona wyłącznie przez jego $współczynnik,$ amplituda sygnału wejściowego przez za $\ Displaystyle {\ Frac {a_ {n}$

Problemy związane z kształtownikami fal

Dźwięk wytwarzany przez cyfrowe kształtowniki fal jest zwykle szorstki i nieatrakcyjny z powodu problemów z aliasingiem. Kształtowanie fali jest operacją nieliniową, więc trudno jest uogólniać wpływ funkcji kształtowania fali na sygnał wejściowy. Matematyka operacji nieliniowych na sygnałach audio jest trudna i słabo poznana. Efekt będzie między innymi zależny od amplitudy. Ale generalnie kształtowniki fal — szczególnie te z ostrymi narożnikami (np. niektóre pochodne są nieciągłe) — mają tendencję do wprowadzania dużej liczby harmonicznych o wysokiej częstotliwości. Jeśli te wprowadzone harmoniczne przekroczą granicę Nyquista , wówczas będą one słyszalne jako ostra zawartość nieharmoniczna z wyraźnie metalicznym dźwiękiem w sygnale wyjściowym. Oversampling może nieco, ale nie całkowicie, złagodzić ten problem, w zależności od tego, jak szybko zanikają wprowadzane harmoniczne.

W przypadku stosunkowo prostych i względnie płynnych funkcji kształtowania fali (na przykład sin(a*x), atan(a*x), funkcje wielomianowe) procedura ta może zredukować zawartość aliasów w sygnale harmonicznym do punktu, w którym jest to akceptowalne muzycznie. Ale funkcje kształtujące fale inne niż wielomianowe funkcje kształtujące fale wprowadzą do sygnału nieskończoną liczbę harmonicznych, z których niektóre mogą słyszalnie aliasować nawet przy częstotliwości nadpróbkowania.

Źródła