Wielomiany Koornwindera

W matematyce wielomiany Macdonalda-Koornwindera (zwane również wielomianami Koornwindera ) to rodzina wielomianów ortogonalnych w kilku zmiennych, wprowadzona przez Koornwindera ( 1992 ) i IG Macdonalda (1987, ważne przypadki specjalne), które uogólniają wielomiany Askeya-Wilsona . Są to wielomiany Macdonalda dołączone do niezredukowanego afinicznego systemu pierwiastkowego typu ( C
^∨ _n , C _n ), aw szczególności spełniają ( van Diejen 1996 , Sahi 1999 ) analogi przypuszczeń Macdonalda ( Macdonald 2003 , rozdział 5.3). Ponadto Jan Felipe van Diejen wykazał, że wielomiany Macdonalda związane z dowolnym klasycznym systemem pierwiastkowym mogą być wyrażone jako granice lub przypadki szczególne wielomianów Macdonalda-Koornwindera i znalazł pełne zestawy konkretnych operatorów różnicy dojazdów przekątnych przez nie ( van Diejen 1995 ). Ponadto istnieje duża klasa interesujących rodzin wielowymiarowych wielomianów ortogonalnych związanych z klasycznymi systemami pierwiastków, które są zdegenerowanymi przypadkami wielomianów Macdonalda-Koornwindera ( van Diejen 1999 ). Wielomiany Macdonalda-Koornwindera badano również za pomocą afinicznych algebr Heckego ( Noumi 1995 , Sahi 1999 , Macdonald 2003 ).

Wielomian Macdonalda-Koornwindera w n zmiennych powiązanych z podziałem λ jest unikalnym niezmiennikiem wielomianu Laurenta w przypadku permutacji i odwrócenia zmiennych, z wiodącym jednomianem x ^λ i ortogonalnym względem gęstości

${\ Displaystyle \ prod _ {1 \ równoważnik i <j \ równoważnik n} {\ Frac {(x_ {i} x_ {j}, x_ {i} / x_ {j}, x_ {j} / x_ {i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty}}{(tx_{i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_ {i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty}}}\prod _{1\równoważnik i\równoważnik n}{\frac {(x_{i}^{2}, 1/x_{i}^{2};q)_{\infty}}{(ax_{i},a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i}, c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty}}}}$

na torusie jednostkowym

${\ Displaystyle |x_ {1}|=|x_ {2}|=\ cdots |x_ {n}|=1}$ ,

gdzie parametry spełniają ograniczenia

${\ Displaystyle | a |, | b |, | c |, | d |, | q |, | t | <1,}$

a ( x ; q ) _∞ oznacza nieskończony symbol q-Pochhammera . Tutaj wiodący jednomian x ^λ oznacza, że ​​μ≤λ dla wszystkich wyrazów x ^μ o niezerowym współczynniku, gdzie μ≤λ wtedy i tylko wtedy, gdy μ ₁ ≤λ ₁ , μ ₁ +μ ₂ ≤λ ₁ +λ ₂ , …, μ ₁ + …+μ _n ≤λ ₁ +…+λ _n . Przy dalszych ograniczeniach, które q i t są rzeczywiste i że a , b , c , d są rzeczywiste lub, jeśli są zespolone, występują w sprzężonych parach, dana gęstość jest dodatnia.

Niektóre notatki z wykładów na temat wielomianów Macdonalda-Koornwindera z perspektywy algebry Heckego można znaleźć na przykład ( Stokman 2004 ).

•   van Diejen, Jan F. (1995), „Operatory różnic dojazdowych z wielomianowymi funkcjami własnymi”, Compositio Mathematica , 95 : 183–233, arXiv : funct-an/9306002 , MR 1313873
•    van Diejen, Jan F. (1996), „Samodualne wielomiany Koornwindera-Macdonalda”, Inventiones Mathematicae , 126 (2): 319–339, arXiv : q-alg/9507033 , Bibcode : 1996InMat.126..319V , doi : 10.1007/s002220050102 , MR 1411136 , S2CID 17405644
•    van Diejen, Jan F. (1999), „Właściwości niektórych rodzin hipergeometrycznych wielomianów ortogonalnych w kilku zmiennych”, tłum. Amer. Matematyka soc. , 351 : 233–70, doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0 , MR 1433128 , S2CID 16214156
•    Koornwinder, Tom H. (1992), „Wielomiany Askeya-Wilsona dla systemów pierwiastków typu BC”, Współczesna matematyka , 138 : 189–204, doi : 10,1090/conm/138/1199128 , MR 1199128 , S2CID 14028685
•    Macdonald, IG (2003), Algebry afiniczne Heckego i wielomiany ortogonalne , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 157, Cambridge: Cambridge University Press, s. x+175, ISBN 978-0-521-82472-9 , MR 1976581
•   Noumi, M. (1995), „Wielomiany Macdonalda-Koornwindera i afiniczne pierścienie Heckego”, Różne aspekty funkcji hipergeometrycznych , Surikaisekikenkyusho Kokyuroku (po japońsku), tom. 919, s. 44–55, MR 1388325
•     Sahi, S. (1999), „Niesymetryczne wielomiany i dwoistość Koornwindera”, Annals of Mathematics , druga seria, 150 (1): 267–282, arXiv : q-alg / 9710032 , doi : 10,2307/121102 , JSTOR 121102 , MR 1715325 , S2CID 8958999
•   Stokman, Jasper V. (2004), „Notatki z wykładów na temat wielomianów Koornwindera”, Laredo Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions , Adv. Specyfikacja teorii. Funkcja Wielomiany ortogonalne, Hauppauge, NY: Nova Science Publishers, s. 145–207, MR 2085855