Współrzędne Jacobiego

Współrzędne Jacobiego dla problemu dwóch ciał ; Współrzędne Jacobiego to

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {R}} = {\ Frac {m_ {1}} {M}}} {\ boldsymbol {x}} _ {1 } + {\ Frac {m_ {2}} {M}} {\ boldsymbol {x}} _ {2}}

i

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} = {\ boldsymbol { x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}

gdzie

{\ Displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}

.

Możliwy zestaw współrzędnych Jacobiego dla problemu czterech ciał; współrzędne Jacobiego to r ₁ , r ₂ , r ₃ i środek masy R . Zobacz Cornille'a.

W teorii układów wielocząstkowych współrzędne Jacobiego są często używane do uproszczenia formuł matematycznych. Te współrzędne są szczególnie powszechne w leczeniu cząsteczek wieloatomowych i reakcji chemicznych oraz w mechanice nieba . Algorytm generowania współrzędnych Jacobiego dla N ciał może być oparty na drzewach binarnych . Słownie algorytm jest opisany w następujący sposób:

Niech m _j i m _k będą masami dwóch ciał, które są zastępowane przez nowe ciało o wirtualnej masie M = m _j + m _k . Współrzędne położenia x _j i x _k są zastępowane ich względnym położeniem r _jk = x _j − x _k oraz wektorem ich środka masy R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k )/( m _jot + m _k ). Węzeł w drzewie binarnym odpowiadający ciału wirtualnemu ma m _j jako swoje prawe dziecko i m _k jako swoje lewe dziecko. Kolejność dzieci wskazuje względne punkty współrzędnych od x _k do x _j . Powtórz powyższy krok dla N -1 obiektów, czyli N -2 oryginalnych obiektów plus nowe wirtualne ciało.

W przypadku problemu N -ciał wynik jest następujący:

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {j} = { \frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_ {j+1}\ ,\quad j\in \{1,2,\kropki ,N-1\}}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {N} = {\ Frac {1} {m_ {0N}}} \ suma _ {k = 1} ^ {N} m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ ,}

z

{\ Displaystyle m_ {0j} = \ suma _ {k = 1} ^ {j} \ m_ {k} \ .}

Wektor jest środkiem masy wszystkich ciał i ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {N$ współrzędną względną $}$ między cząstkami 1 i 2:

Rezultatem jest więc układ N -1 niezmiennych translacyjnie współrzędnych ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {1}, \ kropki, {\ boldsymbol {r} } _ {N-1}}$ $, z iteracyjnej$ środek masy współrzędnej układów dwóch ciał w układzie wielu ciał.

Ta zmiana współrzędnych powiązała jakobian równy ${\ displaystyle 1}$ .

Jeśli ktoś jest zainteresowany oceną operatora energii swobodnej w tych współrzędnych, otrzymuje

{\ Displaystyle H_ {0} = - \ suma _ {j = 1} ^ {N} {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {j}}} \ \ częściowe _ {{\ boldsymbol { x}}_{j}}^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0N}}}\,\częściowe _{{\boldsymbol {r}}_{N}} ^{2}\!-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1}{m_{ j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\częściowy _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}}

W obliczeniach przydatna może być następująca tożsamość

{\ Displaystyle \ suma _ {k = j + 1} ^ {N} {\ Frac {m_ {k}}}} m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}}

.

Bibliografia _ Równania różniczkowe . Skoczek. P. 58; Rysunek 2.15. ISBN 0-387-95140-7 .
^ ^a ^b Patrick Cornille (2003). „Podział sił za pomocą współrzędnych Jacobiego” . Zaawansowany elektromagnetyzm i fizyka próżni . Świat naukowy. P. 102. ISBN 981-238-367-0 .
^ Jan ZH Zhang (1999). Teoria i zastosowanie kwantowej dynamiki molekularnej . Świat Naukowy . P. 104. ISBN 981-02-3388-4 .
^ Na przykład patrz Edward Belbruno (2004). Uchwyć dynamikę i chaotyczne ruchy w mechanice nieba . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . P. 9. ISBN 0-691-09480-2 .
^ ^{ab Hildeberto}^Cabral , Florin Diacu (2002). „Dodatek A: Kanoniczne transformacje do współrzędnych Jacobiego” . Mechanika klasyczna i niebieska . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. P. 230. ISBN 0-691-05022-8 .

[Betounes-1] Bibliografia _ Równania różniczkowe . Skoczek. P. 58; Rysunek 2.15. ISBN 0-387-95140-7 .

[Cornille-2] Patrick Cornille (2003). „Podział sił za pomocą współrzędnych Jacobiego” . Zaawansowany elektromagnetyzm i fizyka próżni . Świat naukowy. P. 102. ISBN 981-238-367-0 .

[Zhang-3] Jan ZH Zhang (1999). Teoria i zastosowanie kwantowej dynamiki molekularnej . Świat Naukowy . P. 104. ISBN 981-02-3388-4 .

[Belbruno-4] Na przykład patrz Edward Belbruno (2004). Uchwyć dynamikę i chaotyczne ruchy w mechanice nieba . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . P. 9. ISBN 0-691-09480-2 .

[Cabral-5] {ab Hildeberto}^Cabral , Florin Diacu (2002). „Dodatek A: Kanoniczne transformacje do współrzędnych Jacobiego” . Mechanika klasyczna i niebieska . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. P. 230. ISBN 0-691-05022-8 .