współskośność

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce współskośność jest miarą tego, jak bardzo trzy zmienne losowe zmieniają się razem . Współskośność jest trzecim znormalizowanym krzyżowym momentem centralnym , powiązanym ze skośnością , tak jak kowariancja jest związana z wariancją . W 1976 roku Krauss i Litzenberger wykorzystali ją do zbadania ryzyka inwestycji giełdowych. Zastosowanie do ryzyka zostało rozszerzone przez Harveya i Siddique w 2000 roku.

Jeśli trzy zmienne losowe wykazują dodatnią współskośność, będą miały tendencję do jednoczesnego ulegania skrajnym odchyleniom, z których nieparzysta liczba jest w kierunku dodatnim (tak więc wszystkie trzy zmienne losowe podlegają skrajnie dodatnim odchyleniom lub jedna przechodzi skrajnie dodatnie odchylenie, podczas gdy druga dwa ulegają skrajnym ujemnym odchyleniom). Podobnie, jeśli trzy zmienne losowe wykazują ujemną współskośność, będą miały tendencję do jednoczesnego ulegania ekstremalnym odchyleniom, z których parzysta liczba jest w kierunku dodatnim (tak więc wszystkie trzy zmienne losowe podlegają skrajnym ujemnym odchyleniom lub jedna przechodzi skrajnie ujemne odchylenie podczas pozostałe dwa ulegają skrajnym dodatnim odchyleniom).

Definicja

Dla trzech zmiennych losowych X , Y i Z nietrywialna statystyka współskośności jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle S (X,Y,Z)={\frac {\nazwa_operatora {E} \left[(X-\nazwa_operatora {E} [X])(Y-\nazwa_operatora {E} [Y])(Z-\nazwa_operatora { E} [Z])\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}\sigma _{Z}}}}$

$jest$ E [ X ] jest oczekiwaną wartością X , znaną również średnia X , a odchyleniem standardowym X .

Nieruchomości

Skośność jest szczególnym przypadkiem współskośności, gdy trzy zmienne losowe są identyczne:

${\ Displaystyle S (X, X, X) = {\ Frac {\ operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{3}\right]}{\sigma _{X}^{3}}}={\operatorname {skośność} [X] },}$

Dla dwóch zmiennych losowych X i Y skośność sumy X + Y wynosi

$\ Displaystyle S_ {X + Y} = {1 \ ponad \ sigma _ {X + Y} ^ {3}} {\ lewo [\ sigma _ {X} ^ {3} S_ {X} +3\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}S(X,X,Y)+3\sigma _{X}\sigma _{Y}^{2}S(X,Y, Y)+\sigma _{Y}^{3}S_{Y}\right]},}$

gdzie S _X jest skośnością X i jest odchyleniem standardowym X $sigma _ {X}}$ \ displaystyle \ Wynika z tego, że suma dwóch zmiennych losowych może być skośna ( S _{X + Y ≠ 0) ,} nawet jeśli obie zmienne losowe mają zerową skośność w izolacji ( S _X = 0 i SY = 0).

Współskośność między zmiennymi X i Y nie zależy od skali, w jakiej wyrażane są zmienne. Jeśli analizujemy związek między X i Y , współskośność między X i Y będzie taka sama jak współskośność między a + bX i c + dY , gdzie a , b , c i d są stałymi.

Przykład

Niech X będzie standardowym rozkładem normalnym, a Y rozkładem uzyskanym przez ustawienie X = Y , gdy X <0 i narysowanie Y niezależnie od standardowego rozkładu półnormalnego, gdy X > 0. Innymi słowy, X i Y mają standardowy rozkład normalny z tą właściwością, że są całkowicie skorelowane dla wartości ujemnych i nieskorelowane poza znakiem dla wartości dodatnich. Wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa to

${ \ Displaystyle f_ {X, Y} (x, y) = {\ Frac {e ^ {-x ^ {2}/2}} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ lewo (H (-x) \ delta (xy)+2H(x)H(y){\frac {e^{-y^{2}/2}}{\sqrt {2\pi}}}\right)}$

gdzie H ( x ) to funkcja skokowa Heaviside'a , a δ ( x ) to funkcja delta Diraca . Trzecie momenty można łatwo obliczyć, całkując w odniesieniu do tej gęstości:

${\ Displaystyle S (X, X, Y) = S (X, Y, Y) = - {\ Frac {1}{\sqrt {2\pi}}}\około -0,399}$

Należy zauważyć, że chociaż X i Y mają indywidualnie standardowy rozkład normalny, rozkład sumy X + Y jest znacznie skośny. Z całkowania względem gęstości stwierdzamy, że kowariancja X i Y wynosi

${\ Displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y) = {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {\ pi}}}$

z czego wynika, że ​​odchylenie standardowe ich sumy wynosi

${\ Displaystyle \ sigma _ {X + Y} = {\ sqrt {3 + {\ Frac {2} {\ pi}}}}}$

Korzystając z powyższego wzoru na sumę skośności, mamy

${\ Displaystyle S_ {X + Y} = - {\ Frac {3 {\ sqrt {2}} \ pi} {(2 +3\pi )^{3/2}}}\około -0,345}$

Można to również obliczyć bezpośrednio z funkcji gęstości prawdopodobieństwa sumy:

${\ Displaystyle f_ {X + Y} ( u)={\frac {e^{-u^{2}/8}}{2{\sqrt {2\pi}}}}H(-u)+{\frac {e^{-u^{ 2}/4}}{\sqrt {\pi}}}\operatorname {erf} \left({\frac {u}{2}}\right)H(u)}$

Zobacz też

• Chwila (matematyka)
• kokurtoza

Dalsza lektura

•   Harvey, Campbell R.; Akhtar Siddique (2000). „Warunkowa skośność w testach wyceny aktywów” (PDF) . Dziennik Finansów . 55 (3): 1263–1295. CiteSeerX 10.1.1.46.5155 . doi : 10.1111/0022-1082.00247 .
• Kraus, Alan; Roberta H. Litzenbergera (1976). „Preferencja skośności i wycena aktywów ryzykownych”. Dziennik Finansów . 31 (4): 1085–1100. doi : 10.1111/j.1540-6261.1976.tb01961.x .