Wsparcie wielokąta

W przypadku sztywnego obiektu stykającego się ze stałym środowiskiem, na który działa grawitacja w kierunku pionowym, jego wielokąt podtrzymujący jest obszarem poziomym, nad którym musi leżeć środek masy, aby osiągnąć stabilność statyczną. Na przykład dla obiektu spoczywającego na powierzchni poziomej (np. stół) wielokątem podporowym jest wypukła otoczka jego „odcisku stopy” na stole.

Wielokąt wspierający zwięźle przedstawia warunki niezbędne do tego, aby obiekt znajdował się w równowadze pod wpływem grawitacji. Oznacza to, że jeśli środek masy obiektu leży nad wielokątem podpierającym, wówczas istnieje zestaw sił w obszarze kontaktu, który dokładnie przeciwdziała siłom grawitacji. Należy zauważyć, że jest to konieczny stabilności, ale niewystarczający .

Pochodzenie

Niech obiekt będzie w kontakcie w skończonej liczbie punktów $\ Displaystyle C_ {1}, \ ldots, C_ {N}}$ . W każdym punkcie $będzie$ zbiorem sił, które można przyłożyć do $obiektu$ Tutaj jest znany jako stożek $a$ , modelu tarcia , jest w rzeczywistości stożkiem z wierzchołkiem na początku, rozciągającym się do nieskończoności w normalnym kierunku kontaktu.

Niech ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {N}}$ będą (nieokreślonymi) siłami w punktach styku. Aby zrównoważyć obiekt w równowadze statycznej, muszą być spełnione następujące równania Newtona-Eulera na ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {N}}$ :

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {N} f_ {k} + G = 0}$
• $\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {N} f_ {k} \ razy C_ {k} + G \ razy CM = 0}$
• ${\ Displaystyle f_ {k} \ w FC_ {k}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle k}$

gdzie $sol$ siłą grawitacji działającą na obiekt, a $.$ masy jest Pierwsze dwa równania to równania Newtona-Eulera , a trzecie wymaga, aby wszystkie siły były ważne. Jeśli $, które spełniają wszystkie te$ ma zestawu sił obiekt nie

Drugie równanie nie ma zależności od pionowej składowej środka masy, a zatem jeśli rozwiązanie istnieje dla jednego , to $Displaystyle$$CM + \ alpha G }$ dla wszystkich do . Dlatego zbiór wszystkich $dół$ które mają rozwiązania powyższych warunków, jest zbiorem, który rozciąga się nieskończenie w górę iw Wielokąt wspierający jest po prostu rzutem tego zestawu na płaszczyznę poziomą.

Wyniki te można łatwo rozszerzyć na różne modele tarcia i nieskończoną liczbę punktów styku (tj. obszaru styku).

Nieruchomości

Chociaż słowo „wielokąt” jest używane do opisania tego obszaru, generalnie może to być dowolny wypukły kształt z zakrzywionymi krawędziami. Wielokąt podporowy jest niezmienny przy translacjach i obrotach wokół wektora grawitacji (to znaczy, jeśli punkty styku i stożki tarcia zostały przesunięte i obrócone wokół wektora grawitacji, wielokąt podporowy jest po prostu przesunięty i obrócony).

Jeśli stożki cierne są stożkami wypukłymi (jak zwykle), wielokąt wspierający jest zawsze obszarem wypukłym. Jest również niezmiennikiem masy obiektu (pod warunkiem, że jest różna od zera).

$jest$ styki leżą na płaszczyźnie (niekoniecznie poziomej), a stożki tarcia na wszystkich stykach zawierają wektor ujemnej grawitacji - wypukłym kadłubem punktów styku rzutowanych na poziomą samolot.