Wykładnik Hursta

Wykładnik Hursta jest używany jako miara pamięci długotrwałej szeregów czasowych . Odnosi się to do autokorelacji szeregów czasowych i szybkości, z jaką te maleją wraz ze wzrostem opóźnienia między parami wartości. Badania z udziałem wykładnika Hursta zostały pierwotnie opracowane w hydrologii w celu praktycznego określenia optymalnej wielkości tamy dla Nilu niestabilnych opadów deszczu i suszy, które obserwowano przez długi okres czasu. Nazwa „wykładnik Hursta” lub „współczynnik Hursta” pochodzi od Harolda Edwina Hursta (1880–1978), który był głównym badaczem w tych badaniach; użycie standardowej notacji H dla współczynnika odnosi się również do jego imienia.

W geometrii fraktalnej uogólniony wykładnik Hursta został oznaczony przez H lub H _q na cześć zarówno Harolda Edwina Hursta, jak i Ludwiga Otto Höldera (1859–1937) przez Benoît Mandelbrot (1924–2010). H jest bezpośrednio związane z wymiarem fraktalnym D i jest miarą „łagodnej” lub „dzikiej” losowości serii danych .

Wykładnik Hursta jest określany jako „indeks zależności” lub „indeks zależności dalekiego zasięgu”. Określa ilościowo względną tendencję szeregów czasowych do silnego cofania się do średniej lub do skupiania się w określonym kierunku. Wartość H w zakresie 0,5–1 wskazuje szereg czasowy z długookresową dodatnią autokorelacją, co oznacza zarówno, że po wysokiej wartości w szeregu prawdopodobnie nastąpi kolejna wysoka wartość, jak i że wartości odległe w przyszłość również będą wysokie . Wartość z zakresu 0 – 0,5 oznacza szereg czasowy z długotrwałym przełączaniem między wysokimi i niskimi wartościami w sąsiednich parach, co oznacza, że ​​po jednej wysokiej wartości prawdopodobnie nastąpi niska wartość, a następna wartość będzie miała tendencję do wysoki, z tą tendencją do przełączania się między wysokimi i niskimi wartościami trwającymi przez długi czas w przyszłości. Wartość H =0,5 może wskazywać na całkowicie nieskorelowany szereg, ale w rzeczywistości jest to wartość mająca zastosowanie do szeregów, dla których autokorelacje przy małych opóźnieniach czasowych mogą być dodatnie lub ujemne, ale dla których wartości bezwzględne autokorelacji szybko spadają wykładniczo do zera. W przeciwieństwie do typowego prawa potęgowego dla przypadków 0,5 < H <1 i 0 < H <0,5.

Definicja

Wykładnik Hursta, H , jest zdefiniowany w kategoriach asymptotycznego zachowania przeskalowanego zakresu jako funkcji przedziału czasowego szeregu czasowego w następujący sposób;

${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [{\ Frac {R (n)} {S (n)}} \ prawej] =Cn^{H}{\text{ as }}n\to \infty \,,}$

Gdzie;

• ${\ Displaystyle R (n)}$ to zakres pierwszych skumulowanych odchyleń od średniej ${\ Displaystyle n}$
• ${\ Displaystyle S (n)}$ to seria (suma) pierwszych n odchyleń standardowych
• ${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [x \ prawo] \,}$ jest wartością oczekiwaną
• ${\ displaystyle n}$ to przedział czasowy obserwacji (liczba punktów danych w szeregu czasowym)
• $}$ jest stałą.

Stosunek do wymiaru fraktalnego

Dla samopodobnych szeregów czasowych H jest bezpośrednio związane z wymiarem fraktalnym D , gdzie 1 < D < 2, tak że D = 2 - H . Wartości wykładnika Hursta wahają się od 0 do 1, przy czym wyższe wartości wskazują na gładszy trend, mniejszą zmienność i mniejszą chropowatość.

W przypadku bardziej ogólnych szeregów czasowych lub procesu wielowymiarowego wykładnik Hursta i wymiar fraktalny można wybrać niezależnie, ponieważ wykładnik Hursta reprezentuje strukturę w asymptotycznie dłuższych okresach, podczas gdy wymiar fraktalny reprezentuje strukturę w asymptotycznie krótszych okresach.

Szacowanie wykładnika

W literaturze zaproponowano szereg estymatorów zależności dalekiego zasięgu. Najstarszą i najbardziej znaną jest tzw. zasięgu przeskalowanego (R/S), spopularyzowana przez Mandelbrota i Wallisa, oparta na wcześniejszych ustaleniach hydrologicznych Hursta. Alternatywy obejmują DFA , regresję periodogramu, zagregowane wariancje, lokalny estymator Whittle'a, analizę falkową, zarówno w dziedzinie czasu , jak iw dziedzinie częstotliwości .

Analiza przeskalowanego zakresu (R/S).

Aby oszacować wykładnik Hursta, należy najpierw oszacować zależność przeskalowanego zakresu od przedziału czasu n obserwacji. Szereg czasowy o pełnej długości N jest dzielony na kilka krótszych szeregów czasowych o długości n = N , N /2, N /4, ... Następnie dla każdej wartości n oblicza się średni przeskalowany zakres .

Dla (częściowego) szeregu czasowego o długości ${\ Displaystyle n}$ , ${\ Displaystyle X = X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {n} \,}$ , przeskalowany zakres jest obliczany w następujący sposób:

1. Oblicz średnią ;

${\ Displaystyle m = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \,.}$

2. Utwórz szereg skorygowany o średnią;

${\ Displaystyle Y_ {t} = X_ {t} -m \ quad {\ tekst {dla}} t = 1,2, \ kropki, n \,.}$

3. Oblicz skumulowany szereg odchyleń ${\ displaystyle Z}$ ;

${\ Displaystyle Z_ {t} = \ suma _ {i = 1} ^ {t} Y_ {i} \ quad {\ tekst {dla}} t = 1,2, \ kropki, n \,.}$

4. $Oblicz$ ;

${\ Displaystyle R (n) = \ nazwa operatora {max} \ lewo (Z_ {1}, Z_ {2}, \ kropki, Z_ {n} \ prawej) - \ nazwa operatora {min} \ lewo (Z_ {1}, Z_{2},\kropki ,Z_{n}\prawo).}$

5. Oblicz odchylenie standardowe ${\ displaystyle S}$ ;

${\ Displaystyle S (n) = {\ sqrt {{\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo (X_ {i} -m \ prawo) ^ {2} }}.}$

$6.$ zakres i średnią ${\ Displaystyle n.}$

Wykładnik Hursta jest szacowany przez dopasowanie prawa potęgowego ${\ Displaystyle \ mathbb {E} [R (n) / S (n)] = Cn ^ {H }}$ do danych. Można to zrobić, wykreślając ${\ Displaystyle \ log [R (n) / S (n)]}$ jako funkcję ${\ displaystyle \ log n}$ i dopasowanie linii prostej; $pryncypialne$ linii daje (bardziej podejście pasuje do prawa potęgowego w sposób największej wiarygodności). Taki graf nazywamy wykresem pudełkowym. Jednak wiadomo, że to podejście daje tendencyjne oszacowania wykładnika potęgowego. Dla małych $.$ znaczne odchylenie od nachylenia 0,5 Anis i Lloyd oszacowali teoretyczne (tj. dla białego szumu) wartości statystyki R/S na:

${\ Displaystyle \ mathbb {E} [R (n) / S (n)] = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {n-1 }{2}})}{{\sqrt {\pi}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\ sqrt {\frac {ni}{i}}},&{\text{for}}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi}}{2}}} }}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {ni}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{przypadków}} }$

gdzie jest funkcją $gamma$ . Wykładnik R / S Hursta z korektą Anisa-Lloyda jest obliczany jako 0,5 plus nachylenie ${\ Displaystyle R (n) / S ( n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]}$ .

Przedziały ufności

Jak dotąd nie wyprowadzono teorii rozkładu asymptotycznego dla większości estymatorów wykładników Hursta. Jednak Weron wykorzystał bootstrapping do uzyskania przybliżonych form funkcyjnych dla przedziałów ufności dwóch najpopularniejszych metod, tj. dla analizy R/S z poprawką Anisa-Lloyda:

Poziom	Dolna granica	Górna granica
90%	0,5 − exp(−7,35 log (log M) + 4,06)	exp(−7,07 log(log M) + 3,75) + 0,5
95%	0,5 − exp(-7,33 log (log M) + 4,21)	exp(−7,20 log(log M) + 4,04) + 0,5
99%	0,5 − exp(−7,19 log (log M) + 4,34)	exp(−7,51 log(log M) + 4,58) + 0,5

oraz dla DFA :

Poziom	Dolna granica	Górna granica
90%	0,5 − exp(−2,99 log M + 4,45)	exp(−3,09 log M + 4,57) + 0,5
95%	0,5 − exp(−2,93 log M + 4,45)	exp(−3,10 log M + 4,77) + 0,5
99%	0,5 − exp(−2,67 log M + 4,06)	exp(−3,19 log M + 5,28) + 0,5

Tutaj $= \ log _ {2} N}$$i$ jest długością serii. W obu przypadkach do oszacowania wykładnika Hursta wzięto pod uwagę tylko podszeregów o długości ${\ displaystyle n> 50} ;$ podserie o mniejszej długości prowadzą do dużej wariancji oszacowań R/S.

Uogólniony wykładnik

Podstawowy wykładnik Hursta można powiązać z oczekiwaną wielkością zmian, jako funkcją opóźnienia między obserwacjami, mierzoną jako E(| X _t+τ -X _t | ² ). W przypadku uogólnionej postaci współczynnika wykładnik jest tutaj zastępowany przez bardziej ogólny termin, oznaczony przez q .

Istnieje wiele technik szacowania H , jednak ocena dokładności oszacowania może być skomplikowanym problemem. Matematycznie, w jednej technice, wykładnik Hursta można oszacować tak, że:

${\ Displaystyle H_ {q} = H (q),}$

dla szeregu czasowego

${\ Displaystyle g (t), t = 1,2, ...}$

można zdefiniować przez właściwości skalowania jego funkcji strukturalnych ( ): ${\ displaystyle S_ {q}}$ ( ${\ displaystyle \ tau}$ ):

${\ Displaystyle S_ {q} = \ langle | g (t + \ tau) - g (t) | ^ {q} \ rangle _ {t} \ sim \ tau ^ { qH(q)},\,}$

gdzie ${\ displaystyle q> 0}$ , ${\ displaystyle \ tau}$ to opóźnienie czasowe, a uśrednianie jest w oknie czasowym

${\ Displaystyle t \ gg \ tau, \,}$

zwykle największa skala czasowa systemu.

Praktycznie w przyrodzie nie ma ograniczeń czasowych, a zatem H jest niedeterministyczny, ponieważ można go oszacować tylko na podstawie zaobserwowanych danych; np. najbardziej dramatyczny dzienny ruch w górę indeksu giełdowego, jaki kiedykolwiek zaobserwowano, zawsze może zostać przekroczony w ciągu kolejnego dnia.

W powyższej technice estymacji matematycznej funkcja H ( q ) $zawiera$ informacje o uśrednionych uogólnionych zmiennościach w skali tylko q = 1, 2 są używane do określenia zmienności). W szczególności H ₁ wskazuje trwałe ( H ₁ > ½) lub antytrwałe ( H ₁ < ½) zachowanie trendu.

Dla BRW ( brązowy szum ) dostaje się ${\ Displaystyle 1/f ^ {2}}$

${\ Displaystyle H_ {q} = {\ Frac {1} {2}}}$ ,

i dla szumu różowego ( ${\ Displaystyle 1/f}$ )

${\ Displaystyle H_ {q} = 0}$ .

Wykładnik Hursta dla białego szumu jest zależny od wymiaru, a dla 1D i 2D tak

${\ Displaystyle H_ {q} ^ {1D} = {\ Frac {1} {2}}, \ quad H_ {q} ^ {2D} = - 1}$ .

Stwierdzono, że dla popularnych procesów stabilnych Lévy'ego oraz okrojonych procesów Lévy'ego z parametrem α

${\ Displaystyle H_ {q} = q / \ alfa}$ , dla ${\ Displaystyle q <\ alfa}$ i ${\ Displaystyle H_ {q} = 1}$ dla ${\ Displaystyle q \ geq \ alfa}$ .

$podstawie$ jedną z metod szacowania na niestacjonarnych szeregów czasowych Gdy $szereg$ nieliniową funkcją q, czasowy .

Notatka

W powyższej definicji pomieszano dwa odrębne wymagania, tak jakby stanowiły jedno. Oto dwa niezależne wymagania: (i) stacjonarność przyrostów , x(t+T)-x(t)=x(T)-x(0) w rozkładzie. Jest to warunek, który daje długotrwałe autokorelacje. (ii) Samopodobieństwo procesu stochastycznego daje wtedy skalowanie wariancji, ale nie jest potrzebne do pamięci długotrwałej. Np. zarówno procesy Markowa (tj. procesy bezpamięciowe), jak i ułamkowe ruchy Browna skalują się na poziomie 1-punktowej gęstości (średnie proste), ale nie skalują się na poziomie korelacji parami ani odpowiednio 2-punktowej gęstości prawdopodobieństwa.

Efektywny rynek wymaga warunku martyngału i jeśli wariancja nie jest liniowa w czasie, daje to niestacjonarne przyrosty, x(t+T)-x(t)≠x(T)-x(0). Martyngale są markowe na poziomie korelacji par, co oznacza, że ​​korelacji par nie można wykorzystać do pokonania rynku martyngałów. Z drugiej strony stacjonarne przyrosty z nieliniową wariancją indukują długotrwałą pamięć par ułamkowych ruchów Browna , co uczyniłoby rynek możliwym do pokonania na poziomie korelacji par. Taki rynek z konieczności byłby daleki od „wydajnego”.

Analizę ekonomicznych szeregów czasowych za pomocą wykładnika Hursta z wykorzystaniem przeskalowanego rozstępu oraz analizy fluktuacji Detrended przeprowadza ekonofizyk AF Bariviera. Artykuł ten bada zmienny w czasie charakter zależności dalekiego zasięgu , a tym samym efektywności informacyjnej.

Wykładnik Hursta został również zastosowany do badania zależności dalekiego zasięgu w DNA i fotonicznych materiałach z pasmem wzbronionym .

Zobacz też

• Zależność dalekiego zasięgu
• Anomalna dyfuzja
• Zakres przeskalowany
• Analiza fluktuacji detrendowych

Implementacje

• Kod Matlab do obliczania R/S, DFA, regresji periodogramu i oszacowań falkowych wykładnika Hursta i odpowiadających im przedziałów ufności jest dostępny w RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Implementacja R/S w Pythonie: https://github.com/Mottl/hurst oraz DFA i MFDFA w Pythonie: https://github.com/LRydin/MFDFA
• Kod Matlab do obliczania rzeczywistego Hursta i złożonego Hursta: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• W tym celu można również użyć arkusza programu Excel: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator