Wyznacznik tożsamości Sylwestra

W teorii macierzy wyznacznik tożsamości Sylwestra jest tożsamością przydatną do oceny pewnych typów wyznaczników . Jej nazwa pochodzi od Jamesa Josepha Sylwestra , który stwierdził tę tożsamość bez dowodu w 1851 roku.

Biorąc pod uwagę macierz n - na - n , niech $det$$\ displaystyle \ det (A)}$ jej wyznacznik. Wybierz parę

${\ Displaystyle u = (u_ {1}, \ kropki, u_ {m}) ,v=(v_{1},\kropki ,v_{m})\podzbiór (1,\kropki ,n)}$

m $_$ element uporządkowanych podzbiorów , _ _ _ _ _ Niech $oznaczają podmacierz$ ( n - m -by- ( - m ) otrzymaną przez usunięcie wierszy w $Displaystyle A}$$^ {u}} }$ \ i kolumny w ${\ displaystyle v}$ . Zdefiniuj macierz pomocniczą m -by- m , której elementy są równe następującym wyznacznikom ${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {v} ^ {u}}$

${\ Displaystyle ({\ tylda {A}} _ {v} ^ {u}) _ {ij }:=\det(A_{v[{\kapelusz {v}}_{j}]}^{u[{\kapelusz {u}}_{i}]}),}$

gdzie ${\ Displaystyle u [{\ kapelusz {u_ {i}}}]}$ , ${\ Displaystyle v [{\ kapelusz {v_ {j}}}]}$ oznaczają m -1 podzbiorów elementów z i ${ \$$displaystyle$$v}$$u_ {i}} .$ odpowiednio elementów ja Dalej jest Wyznacznik tożsamości Sylwestra (Sylvester, 1851):

${\ Displaystyle \ det (A) (\ det (A_ {v} ^ {u})) ^ {m-1} = \ det ({\ tylda {A}} _ {v} ^ {u}).}$

Gdy m = 2, jest to tożsamość Desnanot-Jacobi (Jacobi, 1851).

Zobacz też

• Tożsamość Weinsteina – Aronszajna , którą czasami przypisuje się Sylwestrowi