Zasada Sarrusa

Reguła Sarrusa : Wyznacznikiem trzech kolumn po lewej stronie jest suma iloczynów wzdłuż przekątnych w prawym dolnym rogu minus suma iloczynów wzdłuż przekątnych w prawym górnym rogu.

W $algebrze$ liniowej Reguła Sarrusa jest mnemonicznym narzędziem do obliczania wyznacznika macierzy na francuskiego matematyka Pierre'a Frédérica Sarrusa

Rozważ macierz ${\ displaystyle 3 \ razy 3}$

${\ Displaystyle M = {\ rozpocząć {bmatrix} a_ {11} i a_ {12} i a_ {13} \\ a_ { 21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmacierz}},}$

wtedy jego wyznacznik można obliczyć za pomocą następującego schematu.

Wypisz dwie pierwsze kolumny macierzy na prawo od trzeciej kolumny, dając pięć kolumn w rzędzie. Następnie dodaj iloczyny przekątnych idąc od góry do dołu (pełne) i odejmij iloczyny przekątnych idąc od dołu do góry (przerywane). To daje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ det (M) & = \ det {\ rozpocząć {bmatrix} a_ {11} i a_ {12} i a_ {13} \\ a_ {21} i a_ {22} i a_ {23} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{ 31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21} a_{12}.\end{wyrównane}}}$

Alternatywny układ pionowy

Alternatywna aranżacja „motylkowa”.

Podobny schemat oparty na przekątnych działa dla macierzy: ${\ displaystyle 2 \ razy 2}$

${\ Displaystyle \ det (M) = \ det {\ rozpocząć {bmatrix} a_ {11} i a_ {12} \\ a_ {21} i a_ {22} \ koniec {bmatrix}} = a_ {11} a_ {22} -a_{21}a_{12}.}$

Oba są szczególnymi przypadkami wzoru Leibniza , który jednak nie daje podobnych schematów zapamiętywania dla większych macierzy. $Regułę$ Sarrusa można również wyprowadzić pomocą rozwinięcia Laplace'a

Innym sposobem myślenia o regule Sarrusa jest wyobrażenie sobie, że matryca jest owinięta wokół cylindra, tak że prawa i lewa krawędź są połączone.

Linki zewnętrzne

• Reguła Sarrusa w Planetmath
• Algebra liniowa: Reguła Sarrusa determinantów na khanacademy.org