Zbiory przybliżone teorii decyzji

W matematycznej teorii decyzji zbiory przybliżone teorii decyzji ( DTRS ) są probabilistycznym rozszerzeniem klasyfikacji zbiorów przybliżonych . Rozszerzenie, stworzone po raz pierwszy w $\ textstyle \ beta} .$ roku przez dr Yiyu Yao, wykorzystuje funkcje strat do wyznaczania parametrów regionu i $displaystyle$ Podobnie jak zbiory przybliżone, używane są dolne i górne przybliżenia zbioru.

Definicje

Poniżej przedstawiono podstawowe zasady zbiorów przybliżonych teorii decyzji.

Ryzyko warunkowe

Wykorzystując Bayesowską procedurę decyzyjną, podejście oparte na teorii zbioru przybliżonego (DTRS) pozwala na podejmowanie decyzji przy minimalnym ryzyku na podstawie zaobserwowanych dowodów. Niech ${\ Displaystyle \ textstyle A = \ {a_ {1}, \ ldots, a_ {m} \}}$ będzie skończonym zbiorem możliwych ${\ displaystyle \ textstyle m}$ Ω $} \}}$ będzie skończonym zbiorem ${\ displaystyle s}$ stany. ${\ Displaystyle \ textstyle P (w_ {j} \ mid [x])}$ jest obliczane jako prawdopodobieństwo warunkowe obiektu ${\ Displaystyle \ textstyle x}$ w stanie ${ \ displaystyle \ textstyle w_ {j}}$ biorąc pod uwagę opis obiektu ${\ displaystyle \ textstyle [x]}$ . $oznacza$ stratę lub koszt wykonania czynności ${i$ gdy stan jest ${\ displaystyle \ textstyle w_ {j}}$ . Oczekiwana strata (ryzyko warunkowe) związana z podjęciem działania jest dana wzorem: $\ displaystyle \ textstyle a_ {i}}$

{\ Displaystyle R (a_ {i} \ mid [x]) = \ suma _ {j = 1} ^ {s} \ lambda (a_ {i} \ mid w_ {j}) P (w_ {j} \ mid [X]).}

Klasyfikację obiektów za pomocą operatorów aproksymacji można dopasować do bayesowskiej struktury decyzyjnej. Zbiór działań jest podany przez , gdzie ${\ Displaystyle \ textstyle A = \ {a_ {P}, a_ {N}, a_ {B} \}$ $}$ za $a_ {P}}$ ${B}} reprezentują trzy działania podczas$ , i $a_$ obiektu do POS ( ${\ displaystyle \ textstyle A}$ ), NEG ( odpowiednio ${\ displaystyle \ textstyle A}$ ) i BND ( ${\ displaystyle \ textstyle A} ).$ Aby wskazać, czy element jest w $czy$ nie w $Omega = \{A,A^{c}\}}$ $,$ ZA . Niech ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda (a _ {\ diament} \ mid A)}$ $stratę$ przez podjęcie działania, gdy obiekt należy do $($ ${\ diament} \ mid A ^ {c})}$ do oznaczają stratę poniesioną przez podjęcie tego ${\ displaystyle \ textstyle A ^ {c}}$ gdy obiekt należy do .

Funkcje strat

Niech ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda _ {PP}}$ oznacza funkcję straty do klasyfikacji obiektu w regionie POS, $ZA {\ displaystyle \ textstyle A}$ regionu POS, ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda _ { BP}}$ $oznaczają$ funkcję straty do klasyfikacji obiektu $regionie$ i niech oznaczają funkcję straty do obiektu w $NEG$ . Funkcja utraty oznacza utratę klasyfikacji obiektu, który nie należy do $\ Displaystyle \ textstyle \ lambda _$ określonych przez $styl tekstu \diament}$ $N}}$ ${\ diament$ .

Przyjmowanie jednostek może wiązać się z oczekiwaną stratą i może być wyrażone jako: $\ Displaystyle \ textstyle R (a _ {\ diament} \ mid [x])}$

\ środek [x ])=\lambda _{PP}P(A\mid [x])+\lambda _{PN}P(A^{c}\mid [x]),}

NN}P(A^{c}\mid [x]),}

a_ {N} \ mid [x]) = \ lambda _ {NP} P (A\mid [x])+\lambda _

{\ Displaystyle \ textstyle R (a_ {B} \ mid [x]) = \ lambda _ {BP} P (A \ mid [x]) + \ lambda _{BN}P(A^{c}\mid [x]),}

gdzie ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda _ {\ diament P} = \ lambda (a _ {\ diament} \ mid A)}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda _ {\ diament N} = \ lambda (a _ {\ diament} \ mid A ^ {c})} i ⋄ = P. {\ Displaystyle \ textstyle$ \ $}$ , ${\ displaystyle \ textstyle N}$ lub ${\ displaystyle \ textstyle B}$ .

Zasady podejmowania decyzji o minimalnym ryzyku

Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcje strat ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda _ {PP} \ równoważnik \ lambda _ {BP}<\ lambda _ {NP}}$ i ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda _ {NN} \ równoważnik \ lambda _ {BN}<\ lambda _ {PN}}$ formułowane są następujące reguły decyzyjne ( P , N , B ):

P. : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle P (A \ mid [x]) \ geq \ gamma}$ i ${\ Displaystyle \ textstyle P ( A \ mid [x]} \ geq \ alpha}$ , zdecyduj POS ( ${\ displaystyle \ textstyle A}$ );
N : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle P (A \ mid [x]) \ równoważnik \ beta}$ i ${\ Displaystyle \ textstyle P ( A \ mid [x]} \ równoważnik \ gamma}$ , zdecyduj NEG ( ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ );
B : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle \ beta \ równoważnik P (A \ środkowa [x]) \ równoważnik \ alfa}$ , zdecyduj BND ( ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ );

Gdzie,

{\ Displaystyle \ alfa = {\ Frac {\ lambda _ {PN} - \ lambda _ { BN}}{(\lambda _{BP}-\lambda _{BN})-(\lambda _{PP}-\lambda _{PN})}},}

{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {\ lambda _ {PN} - \ lambda _ {NN}} {(\ lambda _ {NP} -\lambda _{NN})-(\lambda _{PP}-\lambda _{PN})}},}

{\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {\ lambda _ {BN} - \ lambda _ {NN}} {(\ lambda _ {NP} - \ lambda _ {NN}) - (\ lambda _ {BP} - \ lambda_{BN})}}.}

Wartości $definiują$ $,$ $dając$ nam ryzyko klasyfikacji obiektu Kiedy ${\ Displaystyle \ textstyle \ alpha > \ beta}$ $i$ możemy uprościć ( P , N B ) P. 1, N 1, B 1):

P1 : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle P (A \ mid [x]) \ geq \ alfa}$ , zdecyduj POS ( ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ );
N1 : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle P (A \ mid [x]) \ równoważnik \ beta}$ , zdecyduj NEG ( ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ );
B1 : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle \ beta <P (A \ mid [x]) <\ alfa}$ , zdecyduj BND ( ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ ).

Gdy ${\ Displaystyle \ textstyle \ alfa = \ beta = \ gamma}$ , możemy uprościć reguły (PB) do (P2-B2), które dzielą regiony wyłącznie na podstawie ${\ Displaystyle \ textstyle \ alfa }$ :

P2 : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle P (A \ mid [x])> \ alfa}$ , zdecyduj POS ( ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ );
N2 : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle P (A \ mid [x]) <\ alfa}$ , zdecyduj NEG ( ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ );
B2 : Jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle P (A \ mid [x]) = \ alfa}$ , zdecyduj BND ( ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ ).

Eksploracja danych , selekcja cech , wyszukiwanie informacji i klasyfikacje to tylko niektóre z zastosowań, w których z powodzeniem zastosowano podejście DTRS.

Zobacz też

Bibliografia _ Wong, SKM; Lingras, P. (1990). „Model zbioru przybliżonego teorii decyzji”. Metodologie dla systemów inteligentnych, 5, Materiały z 5. Międzynarodowego Sympozjum Metodologii dla Systemów Inteligentnych . Knoxville, Tennessee, USA: Holandia Północna: 17–25.

Linki zewnętrzne

[1] Bibliografia _ Wong, SKM; Lingras, P. (1990). „Model zbioru przybliżonego teorii decyzji”. Metodologie dla systemów inteligentnych, 5, Materiały z 5. Międzynarodowego Sympozjum Metodologii dla Systemów Inteligentnych . Knoxville, Tennessee, USA: Holandia Północna: 17–25.