Zespół pętli konformalnej

W krytycznej perkolacji na siatce o strukturze plastra miodu każda ściana sześciokąta jest niezależnie barwiona na czerwono lub czarno z równym prawdopodobieństwem. Każdy interfejs oddzielający czarny klaster od czerwonego klastra jest pokazany na zielono. Ten losowy zbiór interfejsów zbiega się zgodnie z prawem do CLE ₆ , gdy odstęp między sieciami spada do zera.

Aby zdefiniować losowy interfejs zbieżny do SLE, ustalamy kolory sześciokątów wzdłuż granicy domeny. Ta procedura definiuje pojedynczy interfejs oddzielający czerwone sześciokąty od czarnych sześciokątów. Ta ścieżka zbiega się zgodnie z prawem do SLE ₆ , gdy odstęp między sieciami spada do zera.

Zespół pętli konforemnych (CLE _κ ) jest losowym zbiorem nie przecinających się pętli w prostym, otwartym podzbiorze płaszczyzny. Te losowe zbiory pętli są indeksowane przez parametr κ, którym może być dowolna liczba rzeczywista z zakresu od 8/3 do 8. CLE _κ jest pętlową wersją ewolucji Schramma-Loewnera : SLE _κ jest zaprojektowany do modelowania pojedynczego dyskretnego losowego interfejsu, podczas gdy CLE _κ modeluje pełny zbiór interfejsów.

W wielu przypadkach, dla których istnieje domniemany lub udowodniony związek między modelem dyskretnym a SLE _κ , istnieje również domniemany lub udowodniony związek z CLE _κ . Na przykład:

• CLE ₃ to granica interfejsów dla krytycznego modelu Isinga .
• CLE ₄ można postrzegać jako zbiór 0 swobodnego pola Gaussa .
• CLE _16/3 to limit skalowania interfejsów klastra w krytycznej perkolacji FK Ising.
• CLE ₆ to granica skalowania krytycznej perkolacji na sieci trójkątnej.

Konstrukcje

Dla 8/3 < κ < 8, CLE _κ można skonstruować przy użyciu rozgałęzionej odmiany procesu SLE _κ . Gdy 8/3 < κ ≤ 4, CLE _κ można alternatywnie skonstruować jako zbiór zewnętrznych granic klastrów zupy z pętlą Browna.

Nieruchomości

CLE _{κ jest konforemnie niezmiennikiem} $D$ że ​​jeśli mapą konforemną, to prawo CLE w ' jest takie prawo obraz wszystkich pętli CLE w re pod mapą ${\ displaystyle \ varphi}$ .

Ponieważ CLE _κ może być zdefiniowane przy użyciu procesu SLE _κ , pętle CLE dziedziczą wiele właściwości ścieżki z SLE. Na przykład każda pętla CLE _κ jest fraktalem z prawie pewnym wymiarem Hausdorffa 1+κ/8. Każda pętla jest prawie na pewno prosta (bez samoprzecięć), gdy 8/3 < κ ≤ 4 i prawie na pewno samostykająca się, gdy 4 < κ < 8.

Zbiór wszystkich punktów nieotoczonych żadną pętlą, który nazywa się uszczelką , ma prawie na pewno wymiar Hausdorffa 1 + 2/κ + 3κ/32 (Dumy losowe, dywany i wymiary fraktalne według Nacu i Wernera. Ponieważ wymiar ten jest ściśle większy niż 1+κ/8, prawie na pewno istnieją punkty, które nie zawierają się w żadnej pętli ani nie są nią otoczone. Ponieważ jednak wymiar uszczelki jest ściśle mniejszy niż 2, prawie wszystkie punkty (w odniesieniu do miary powierzchni) mieszczą się we wnętrzu pętla.

CLE jest czasami definiowany tak, aby zawierał tylko najbardziej zewnętrzne pętle, dzięki czemu kolekcja pętli nie jest zagnieżdżona (żadna pętla nie jest zawarta w innej). Taki CLE jest nazywany prostym CLE, aby odróżnić go od pełnego lub zagnieżdżonego CLE. Prawo pełnego CLE można odzyskać z prawa prostego CLE w następujący sposób. Wypróbuj kolekcję prostych pętli CLE, a wewnątrz każdej pętli próbkuj inną kolekcję prostych pętli CLE. Nieskończenie wiele iteracji tej procedury daje pełny CLE.

•   Sheffield, Scott (2009), „Drzewa eksploracyjne i zespoły pętli konformalnych” , Duke Math J , 147 (1): 79–129, arXiv : math / 0609167 , doi : 10.1215/00127094-2009-007 , S2CID 13916698
•   Miller, Jason; Słońce, Nike ; Wilson, David (2012). „Wymiar Hausdorffa uszczelki CLE”. Roczniki prawdopodobieństwa . 42 (4): 1644-1665. ar Xiv : 1206.0725 . doi : 10.1214/12-AOP820 . S2CID 119147080 .
• Sheffield, Scott; Werner, Wendelin (2010). „Konformalne zespoły pętli: charakterystyka Markowa i konstrukcja zupy pętlowej”. arXiv : 1006,2374 [ matematyka.PR ].