Zestaw K (geometria)

Zestaw sześciu punktów (czerwony), jego sześć 2-zestawów (zestawy punktów zawarte w niebieskich owalach) i linie oddzielające każdy zestaw $od$ punktów (przerywana czerń).

W geometrii dyskretnej $k$ zbiór skończonego zbioru punktowego na płaszczyźnie euklidesowej jest podzbiorem elementów $displaystyle$$,$$}$ które być ściśle oddzielone od pozostałych punktów linią . Mówiąc bardziej ogólnie, w przestrzeni euklidesowej o wyższych wymiarach $zbioru$ skończonych punktów jest podzbiorem ${\ displaystyle k}$ elementy, które można oddzielić od pozostałych punktów hiperpłaszczyzną . $)$ szczególności, gdy $= n / 2 {$ jest rozmiarem , linia lub hiperpłaszczyzna, która oddziela za $=$$/ 2} }$ -set od reszty $pół$ linia podziału na lub płaszczyzna podziału na pół .

Zbiory zbioru punktów na płaszczyźnie są powiązane przez $dwoistość$ rzutową z poziomami w linii ${\ displaystyle k}$ . Poziom w układzie linii na $płaszczyźnie$ to krzywa składająca się z punktów leżących na jednej z linii i mających dokładnie $k$$displaystyle k$ linie pod nimi. Dyskretni i obliczeniowi geometrzy badali również poziomy w układach bardziej ogólnych rodzajów krzywych i powierzchni.

Granice kombinatoryczne

Nierozwiązany problem z matematyki :

$jest$ największa możliwa liczba linii podziału na pół dla zbioru na płaszczyźnie?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

W analizie algorytmów geometrycznych ważne jest, aby ograniczyć liczbę -zbiorów płaskiego zestawu $punktów$ lub równoważnie liczbę -poziomów płaskiego układu liniowego, $\ displaystyle k}$ po raz pierwszy zbadali Lovász i Erdős et al. Najbardziej znaną $górną$ granicą Dey za skrzyżowanie nierówności liczbowych Ajtai, Chvátal , Newborn i Szemerédi . $jest$$c}$$dolna granica$ Deya: jest dla , jak pokazuje Tóth.

$granicą$$jest$ najlepszą znaną górną granicą znaną . W przypadku punktów w trzech wymiarach, które znajdują się w $pozycji$ wypukłej , to znaczy są jakiegoś wypukłego polytopu, liczba zestawów wynosi $bigr)}}$$\$ , co wynika z argumentów używanych do ograniczania złożoności diagramów Woronoja rzędu.

W przypadku, gdy $)$ , maksymalna liczba różnych kombinatorycznie linii przechodzących przez dwa punkty z, przecinają pozostałe punkty, gdy ${\ displaystyle k = 1,2, \ kropki}$${\ displaystyle S}$ jest

1,3,6,9,13,18,22... (sekwencja A076523 w OEIS ).

$displaystyle \ leq k}$ na liczbie -setów, gdzie ${ \displaystyle j\leq k}$ to a $\$$-set$ dla niektórych . W $gdy$$zestawów$ liczba wynosi dokładnie podczas $wymiarach$ jest ${\ Displaystyle O (n ^ {\ lfloor d/2 \ rfloor} k ^ {\ lceil d/2 \ rceil})}$ .

Algorytmy konstrukcyjne

$najpierw$ problem konstruowania wszystkich $zbioru$ punktów wejściowych lub podwójnego konstruowania -poziomu aranżacji. Wersję ${\ displaystyle k}$ można postrzegać jako algorytm przemiatania płaszczyzny , który konstruuje poziom w kolejności od lewej do prawej. Patrząc pod kątem ${\ displaystyle k}$ zestawów punktów, ich algorytm utrzymuje dynamiczną wypukłą powłokę k dla punktów po obu stronach linii oddzielającej, wielokrotnie znajduje bitangent tych dwóch kadłubów i przesuwa każdy z dwóch punktów styczności do przeciwległego kadłuba. Chan $tego problemu$$w$ czasie proporcjonalnym do Deya związanego ze złożonością $\displaystyle k}$ -poziom.

Agarwal i Matoušek opisują algorytmy efektywnego konstruowania przybliżonego poziomu; to $k + \ delta$ krzywa przechodząca między poziomem poziomem dla pewnego małego parametru przybliżenia ${\ Displaystyle \ delta}$$) {$ . Pokazują, że można znaleźć takie przybliżenie, składające się z pewnej liczby odcinków linii, która zależy tylko od ${\ Displaystyle n/\ delta}$ , a nie na ${\ displaystyle n}$ lub ${\ displaystyle k}$ .

Uogólnienia matroidów

Planarny problem $-poziomowy$ można uogólnić na optymalizację parametryczną w matroidzie : otrzymuje się matroid, w którym każdy ważony funkcją liniową parametru ${\ displaystyle \ lambda}$ musi znaleźć minimalną podstawę wagi matroida dla każdej możliwej wartości ${\ displaystyle \ lambda}$ . Jeśli ktoś wykreśli funkcje ciężaru jako linie na płaszczyźnie, poziom układu tych linii przedstawia wykresy jako funkcję ${\ displaystyle k}$$\$$lambda}$ waga największego elementu w optymalnej podstawie w a Dey wykazał jego złożoność poziomu - $uogólnić$ , aby policzyć liczbę różnych optymalnych baz dowolnej matroidy z $displaystyle$ i rangą $k}$ .

$utworzonych$ przykład ta sama dotyczy zliczania różnych minimalnych drzew rozpinających wykresie z $}$$wierzchołki$ i , gdy krawędzie mają wagi zmieniające się liniowo z parametrem ${\ displaystyle \ lambda}$ . Ten parametryczny problem minimalnego drzewa rozpinającego był badany przez różnych autorów i może być wykorzystany do rozwiązywania innych problemów optymalizacji dwukryterialnego drzewa rozpinającego.

$granica$ najbardziej znaną dolną granicą problemu parametrycznego minimalnego drzewa rozpinającego jest $k$ słabsza dla problem. $W przypadku$ Deya granicę.

Notatki

• Agarwal, PK (1990). „Układy partycjonowania linii I: wydajny algorytm deterministyczny” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 5 (1): 449–483. doi : 10.1007/BF02187805 .
• Agarwal, PK ; Aronow, B. ; Sharir, M. (1997). „Na poziomach w układach linii, odcinków, płaszczyzn i trójkątów”. proc. 13. doroczne sympozjum na temat geometrii obliczeniowej . s. 30–38.
• Alon, N .; Győri, E. (1986). „Liczba małych półprzestrzeni skończonego zbioru punktów na płaszczyźnie” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria A. 41 : 154–157. doi : 10.1016/0097-3165(86)90122-6 .
• Chan, TM (1999). „Uwagi na temat algorytmów k -poziomowych w płaszczyźnie” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2010-11-04.
• Chan, TM (2003). „Na poziomach w układach krzywych” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 29 (3): 375–393. doi : 10.1007/s00454-002-2840-2 .
• Chan, TM (2005a). „Na poziomach w układach krzywych, II: prosta nierówność i jej konsekwencje” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 34 : 11–24. doi : 10.1007/s00454-005-1165-3 .
• Chan, TM (2005b). „Na poziomach w układach powierzchni w trzech wymiarach” . Materiały z 16. dorocznego sympozjum ACM-SIAM na temat algorytmów dyskretnych . s. 232–240.
• Chan, TM (2005c). „Znajdowanie najkrótszej krawędzi wąskiego gardła w parametrycznym minimalnym drzewie rozpinającym” . Materiały z 16. dorocznego sympozjum ACM-SIAM na temat algorytmów dyskretnych . s. 232–240.
•   Chazelle, B .; Preparata, FP (1986). „Wyszukiwanie w zakresie półprzestrzeni: algorytmiczne zastosowanie k -zbiorów” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 1 (1): 83–93. doi : 10.1007/BF02187685 . MR 0824110 .
• Clarkson, KL ; Shor, P. (1989). „Zastosowania losowego doboru próby, II” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 4 : 387-421. doi : 10.1007/BF02187740 .
•   Cole, R.; Sharir, M .; Tak, CK (1987). „O k -kadłubach i związanych z nimi problemach”. SIAM Journal o informatyce . 16 (1): 61–77. doi : 10.1137/0216005 . MR 0873250 .
•   Dey, TK (1998). „Poprawione granice dla planarnych k -zbiorów i powiązanych problemów” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 19 (3): 373–382. doi : 10.1007/PL00009354 . MR 1608878 .
• Edelsbrunner, H. ; Welzl, E. (1986). „Konstruowanie pasów w układach dwuwymiarowych z aplikacjami”. SIAM Journal o informatyce . 15 (1): 271–284. doi : 10.1137/0215019 .
• Eppstein, D. (1998). „Geometryczne dolne granice parametrycznej optymalizacji matroidów” (PDF) . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 20 (4): 463–476. doi : 10.1007/PL00009396 .
• Eppstein, David (sierpień 2022). „Silniejsza dolna granica parametrycznych minimalnych drzew rozpinających” . Algorytmika . doi : 10.1007/s00453-022-01024-9 .
•   Erdős, P. ; Lovász, L. ; Simmons, A.; Straus, EG (1973). „Wykresy rozbioru płaskich zestawów punktów”. Przegląd teorii kombinatorycznej (Proc. Internat. Sympos., Colorado State Univ., Fort Collins, Kolorado, 1971) . Amsterdam: Holandia Północna. s. 139–149. MR 0363986 .
• Fernández-Baca, D.; Słucki, G.; Eppstein, D. (1996). „Używanie sparsyfikacji w przypadku problemów z parametrycznym minimalnym drzewem rozpinającym” . Nordic Journal of Computing . 3 (4): 352–366.
• Gusfield, D. (1980). Analiza wrażliwości dla optymalizacji kombinatorycznej . Technika Przedstawiciel UCB/ERL M80/22. Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley.
• Hassin, R.; Tamir, A. (1989). „Maksymalizacja klas celów dwuparametrycznych nad matroidami”. Matematyka Oper. Rez . 14 (2): 362–375. doi : 10.1287/moor.14.2.362 .
• Ishii, H.; Shiode, S.; Nishida, T. (1981). „Stochastyczny problem drzewa rozpinającego” . Dyskretna matematyka stosowana . 3 (4): 263–273. doi : 10.1016/0166-218X(81)90004-4 .
• Katoh, N.; Ibaraki, T. (1983). O całkowitej liczbie osi wymaganych dla niektórych problemów optymalizacji kombinatorycznej parametrycznej . Dokument roboczy 71. Inst. Ekon. Rez., Kobe Univ. Handlu.
• Lee, Der-Tsai (1982). „Na k -najbliższych diagramach sąsiada Woronoja w samolocie”. Transakcje IEEE na komputerach . 31 (6): 478–487. doi : 10.1109/TC.1982.1676031 .
• Lovasz, L. (1971). „O liczbie linii podziału na pół”. Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eőtvős Nominatae Sectio Mathematica . 14 : 107–108.
•   Matoušek, J. (1990). „Budowa sieci ε ” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 5 (5): 427–448. doi : 10.1007/BF02187804 . MR 1064574 .
• Matoušek, J. (1991). „Przybliżone poziomy w układach liniowych”. SIAM Journal o informatyce . 20 (2): 222–227. doi : 10.1137/0220013 .
• Sharir, M .; Smorodinsky, S.; Tardos, G. (2001). „Ulepszona granica dla k -zbiorów w trzech wymiarach” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 26 (2): 195–204. doi : 10.1007/s00454-001-0005-3 .
• Toth, G. (2001). „Zestawy punktów z wieloma k -zbiorami” . Dyskretna i obliczeniowa geometria . 26 (2): 187–194. doi : 10.1007/s004540010022 .

Linki zewnętrzne

• Linie podziału na pół i zbiory k , Jeff Erickson
• Projekt otwartych problemów, problem 7: k -zbiory