Zestaw hiperboliczny

W teorii systemów dynamicznych mówi się , że podzbiór Λ rozmaitości gładkiej M ma strukturę hiperboliczną w odniesieniu do gładkiej mapy f , jeśli jego wiązkę styczną można podzielić na dwie niezmienne podwiązki , z których jedna się kurczy, a druga rozszerza pod f , w odniesieniu do jakiejś metryki riemannowskiej na M . Analogiczna definicja dotyczy przypadku przepływów .

W szczególnym przypadku, gdy cała rozmaitość M jest hiperboliczna, mapa f nazywana jest dyfeomorfizmem Anosowa . Dynamika f na zbiorze hiperbolicznym lub dynamika hiperboliczna wykazuje cechy lokalnej stabilności strukturalnej i była szeroko badana, por. Aksjomat A.

Definicja

Niech M będzie zwartą rozmaitością gładką , f : M → M dyfeomorfizmem , a Df : TM → TM różniczką f . _ Mówi się, że f - niezmienny podzbiór Λ M jest hiperboliczny lub ma strukturę hiperboliczną , jeśli ograniczenie do Λ wiązki stycznej M dopuszcza podział na sumę Whitneya dwóch niezmiennych podwiązek Df , zwanych wiązką stabilną i wiązką niestabilną i oznaczonych jako E ^s i E ^u . W odniesieniu do pewnej ^metryki riemannowskiej na M , ograniczenie Df do Es musi być skróceniem, a ograniczenie Df do Eu musi być rozwinięciem ^. Zatem istnieją stałe 0< λ <1 i c >0 takie, że

${\ Displaystyle T _ {\ Lambda} M = E ^ {s} \ oplus E ^ {u}}$

I

${\ Displaystyle (Df) _ {x} E_ {x} ^ {s} = E_ {f (x)} ^ {s}} i$ ( ${\ Displaystyle (Df) _ {x} E_ {x} ^ {u} = E_ {f (x)} ^ {u}}$ dla wszystkich ${\ styl wyświetlania x\w \Lambda }$

I

${\ Displaystyle \| Df ^ {n} v \|\ równoważnik c \ lambda ^ {n} \ | v \ |}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle v \ w E ^ {s}}$ i ${\ displaystyle n> 0}$

I

${\ Displaystyle \|Df ^ {- n} v \|\ równoważnik c \ lambda ^ {n} \| v \ |}$ dla wszystkich ${ \ Displaystyle v \ w E ^ {u}}$ i ${\ Displaystyle n> 0}$ .

Jeśli Λ jest hiperboliczne, to istnieje metryka riemannowska, dla której c = 1 — taką metrykę nazywamy adaptowaną .

Przykłady

• Hiperboliczny punkt równowagi p jest punktem stałym lub punktem równowagi f , takim, że ( Df ) _p nie ma wartości własnej o wartości bezwzględnej 1. W tym przypadku Λ = { p }.
• Mówiąc bardziej ogólnie, okresowa orbita f z okresem n jest hiperboliczna wtedy i tylko wtedy, gdy Df ⁿ w dowolnym punkcie orbity nie ma wartości własnej o wartości bezwzględnej 1 i wystarczy sprawdzić ten warunek w jednym punkcie orbity.

•   Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Podstawy mechaniki . Czytanie Mszy św.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X .
•   Brin, Michał; Garrett, utknął (2002). Wprowadzenie do układów dynamicznych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-80841-3 .

Ten artykuł zawiera materiał z Hyperbolic Set on PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .