Zestaw kwadratowy

W matematyce zbiór kwadratowy to zbiór punktów w przestrzeni rzutowej , który ma te same podstawowe właściwości padania co kwadrat ( przekrój stożkowy w płaszczyźnie rzutowej, kuli lub stożka lub hiperboloida w przestrzeni rzutowej).

Definicja zbioru kwadratowego

Niech $_$ _ Zbiór kwadratowy to niepusty podzbiór z $\ displaystyle {\ mathcal {Q}} }$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}},$ dla którego spełnione są następujące dwa warunki: Q

(QS1) Każda linia przecina się w co najwyżej dwóch punktach lub jest zawarta w ${\ mathcal {G}}$$g$$}$${\mathcal {Q}}}$$displaystyle$ .

( ${\ displaystyle g}$ nazywa się zewnętrznym do ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$ jeśli ${\ displaystyle | g \ cap {\ mathcal {Q}} | = 0$ } styczna do $jeśli$ albo ${\ Displaystyle | g \ cap {\ mathcal {Q}} | = 1}$ lub ${\ displaystyle g \ cap {\ mathcal {Q}} = g}$ i sieczna do ${\ displaystyle {\mathcal {Q}}}$ jeśli ${\ displaystyle | g \ cap {\ mathcal {Q}} | = 2}$ .)

(QS2) Dla dowolnego punktu $Q$ \ w $}$${$ jest hiperpłaszczyzną lub całą $.$

Zbiór kwadratowy $P.$ jest $\mathcal {Q}}_{P}}$ , jeśli dla każdego punktu zbiór $jest$${Q}}}$ mathcal jest hiperpłaszczyzną.

Przestrzeń rzutowa Pappusa to przestrzeń rzutowa, w której obowiązuje twierdzenie Pappusa o sześciokątzie .

Poniższy wynik, według Francisa Buekenhouta , jest zdumiewającym stwierdzeniem dla skończonych przestrzeni rzutowych.

${$ : Niech będzie skończoną przestrzenią rzutową o wymiarze ${\ displaystyle n \ geq 3}$ i $Q}} }$ niezdegenerowany zbiór kwadratowy zawierający linie. Następnie: $jest$ Pappian i jest kwadryką indeksie $displaystyle \ geq 2$$\$ }

Definicja owalu i jajowatego

Owale i jajowate są specjalnymi zbiorami kwadratowymi: Niech $będzie$ przestrzenią rzutową o wymiarze $\ displaystyle \ geq 2}$ . Niezdegenerowany zbiór kwadratowy $jajowatym$ który nie zawiera linii, nazywany jest ( lub owalnym w przypadku płaszczyzny).

Bardziej powszechne są następujące równoważne definicje owalu/owalu:

Definicja: (owalny) Niepusty zbiór punktów ${\ displaystyle {\ mathfrak {o}}}$ rzutowej nazywa się owalnym , jeśli spełnione są następujące właściwości: o

(o1) Dowolna linia spotyka się $najwyżej$ w dwóch punktach.

( $g\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}}$ ) Dla dowolnego punktu $w$ istnieje jedna i tylko jedna linia , $​​sol$$displaystyle$$\$ .

Linia jest $,$ , styczną lub sieczną linią owalu ${\ displaystyle | g \ cap {\ mathfrak {o}} | = 0}$ | lub ${\ displaystyle | g \ cap {\ mathfrak {o}} | = 1}$ lub ${\ displaystyle | g \ cap {\ mathfrak {o}} | = 2} .$ odpowiednio

W przypadku skończonych płaszczyzn poniższe twierdzenie zapewnia prostszą definicję.

skończonej płaszczyźnie) Niech będzie $.$ płaszczyzną rzędu ${\ displaystyle n}$ Zbiór punktów jest $,$ jeśli $| {\ mathfrak {o}} | = n + 1} i jeśli żadne$$displaystyle$ punkty nie są współliniowe.

Zgodnie z twierdzeniem Beniamino Segre’a dla pappijskich płaszczyzn rzutowych nieparzystego rzędu owale są po prostu stożkami:

Twierdzenie: Niech będzie $rzutową$ Pappisa nieparzystego rzędu . $Dowolny$ owal w owalnym stożkiem (niezdegenerowanym kwadratem ).

Definicja: (owalny) Niepusty zbiór punktów przestrzeni rzutowej nazywa się jajowatym , jeśli spełnione są następujące właściwości: ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

$co$ ) Dowolna linia spotyka się najwyżej w dwóch punktach.

{ $}}$ O2) Dla dowolnego punktu $}} displaystyle {\ mathcal {O}} _ {$$}$$displaystyle$ wszystkich linii stycznych przechodzących przez jest hiperpłaszczyzną (płaszczyzna styczna w $P}$ ).

( ${\ displaystyle g}$ nazywa się linią zewnętrzną, styczną i sieczną , jeśli ${\ displaystyle | g \ cap {\ mathcal {O}} | = 0, \ | g\cap {\mathcal {O}}|=1}$ i $\ Displaystyle | g \ cap {\ mathcal {O}} | = 2}$ odpowiednio.)

Przykład:

a) Każda kula (kwadryk o indeksie 1) jest jajowata.

b) W przypadku rzeczywistych przestrzeni rzutowych jajowate można konstruować łącząc połówki odpowiednich elipsoid tak, aby nie były to kwadryki.

Dla skończonych przestrzeni rzutowych o wymiarze $n$ polem mamy : Twierdzenie: n $}$

a) W przypadku ${\ Displaystyle | K | <\ infty}$ jajowaty w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}} _ {n} (K)}$ istnieje tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle n = 2 }$ lub ${\ displaystyle n = 3}$ .

b) W przypadku ${\ Displaystyle | K | <\ infty, \ \ operatorname {char} K \ neq 2}$ jajowaty w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}} _ {n} (K)}$ jest kwadryką .

Kontrprzykłady (cycki – Suzuki jajowate) pokazują, że stwierdzenie ig b) powyższego twierdzenia nie jest prawdziwe dla ${\ displaystyle \ operatorname {char} K = 2}$ :

•   Albrecht Beutelspacher i Ute Rosenbaum (1998) Geometria rzutowa: od podstaw do zastosowań , rozdział 4: Zbiory kwadratowe, strony 137 do 179, Cambridge University Press ISBN 978-0521482776
•   F. Buekenhout (red.) (1995) Handbook of Incidence Geometry , Elsevier ISBN 0-444-88355-X
•   P. Dembowski (1968) Skończone geometrie , Springer-Verlag ISBN 3-540-61786-8 , s. 10-10. 48

Linki zewnętrzne

• Eric Hartmann Notatka do wykładu Geometria okręgu planarnego, wprowadzenie do płaszczyzn Moebiusa, Laguerre'a i Minkowskiego , z Technische Universität Darmstadt