Zestaw różnic

W kombinatoryce zbiór różnic jest podzbiorem grupy o rozmiarze ${\ Displaystyle K$ $)} }$ $za$ ${\ Displaystyle (v, k,$ lambda rzędu v ${\ displaystyle v}$ taki, że każdy element nietożsamościowy ${- 1}}$ ${$ \ elementów dokładnie $różne$ $_ Mówi się$ . $.$ $ma$ różnic jest cykliczny , abelowy , nieabelowy itd., Jeśli grupa odpowiednią właściwość Zestaw $płaską$ jest czasami lub prostą . Jeśli jest $\displaystyle \lambda}$ abelową $zapisaną$ w notacji addytywnej, warunkiem definiującym jest to, że każdy niezerowy element $można$ $displaystyle$ jako różnicę elementów dokładnie w $G}$ sposobów. W ten sposób powstaje termin „zestaw różnicowy”.

Podstawowe fakty

$,$ że istnieją dokładnie $elementów$ z ${\ Displaystyle k ^ {2} -k = (v-1) \ lambda}$ dadzą elementy nietożsamościowe, więc każdy zbiór różnic musi .
Jeśli jest zbiorem różnic i $\ Displaystyle g \ w G}$ ${$ to ${\ Displaystyle gD = \ {gd: d \ w D \}}$ $jest$ $zbiorem$ i jest nazywany tłumaczeniem ( w notacji addytywnej
Dopełnieniem $v,$ jest za $,$ zestaw różnic.
Zbiór wszystkich tłumaczeń zestawu różnic tworzy $symetryczny$ $D$ projekt $\ displaystyle dev (D)}$ $dev(D)$ zwany rozwojem i oznaczony przez $re$ $D$ . $W$ $v$ $projekcie$ $v$ są elementy ( zwykle nazywane punktami) i (podzbiory). $blokach$ $k$ blok projektu składa się z $w$ $k$ , każdy punkt jest zawarty . Dowolne $dwa$ $\lambda$ mają dokładnie $elementy$ $\lambda$ i dowolne dwa punkty są jednocześnie zawarte w dokładnie blokach. Grupa działa jako $projektu$ $G$ automorfizmu . Jest ostro przechodni zarówno w punktach, jak i blokach.
- W szczególności, jeśli $rzutową$ to zestaw daje płaszczyznę Przykładem zestawu różnic (7,3,1) w grupie ${1,2,4\}}$ \ $\ mathbb {Z}$ $7$ . Translacje tego zbioru różnic tworzą płaszczyznę Fano .
Ponieważ każdy zestaw różnic daje projekt symetryczny , zestaw parametrów musi spełniać twierdzenie Brucka – Rysera – Chowli .
Nie każdy projekt symetryczny daje zestaw różnic.

Równoważne i izomorficzne zbiory różnic

$w$ zestawy różnic w grupie ${\ Displaystyle D_ {2}}$ $displaystyle$ są równoważne re ${1}}$ \ jeśli istnieje ${$ grupowy między $\ Displaystyle G_ {1}}$ a ${\ Displaystyle G_ {2}}$ taki, że ${\ Displaystyle D_ {1} ^ {\ psi} = \ {d ^ {\ psi} \ dwukropek d \ w D_ {1} \} = gD_ {2}}$ dla pewnego ${\ styl wyświetlania g\w G_{2}}$ . ${1})$ dwa zestawy różnic są , i są $v ( re 1 )$ blok projekty.

Równoważne zbiory różnic są izomorficzne, ale istnieją przykłady izomorficznych zbiorów różnic, które nie są równoważne. W przypadku cyklicznego zbioru różnic wszystkie znane izomorficzne zbiory różnic są równoważne.

Mnożniki

Mnożnik zbioru $\$ w $displaystyle$ $jest$ automorfizmem grupy takim , że ${$ $^$ dla niektórych ${\ displaystyle g \ in G}$ . Jeśli $jest$ abelowy i $jest$ automorfizmem $,$ $odwzorowuje$ to _ lub mnożnik Halla .

Przypuszczano, że jeśli $p$ jest pierwszą dzielącą nie dzielącą v , to automorfizm grupowy zdefiniowany przez ${\ Displaystyle g \ mapsto g ^ {p}}$ niektóre tłumaczą D (jest to równoważne mnożnikowi). $o$ $,$ że jest to prawdziwe, gdy jest grupą abelową i jest to znane jako twierdzenie Bardziej ogólny znany wynik, Drugie Twierdzenie Mnożnikowe, mówi, że jeśli $jest$ ustawiona w grupie abelowej, $}$ $)} \ displaystyle$ $lambda$ $będzie$ wykładnika ( najmniejsza wspólna wielokrotność rzędów każdego elementu), niech $}$ całkowitą względnie pierwszą do ${\ displaystyle v$ . ${\ Displaystyle t \ równoważnik p ^ {i} \ {\ pmod {v ^ {*}}}}$ $taki$ dzielnik $,$ że dla każdej liczby m , istnieje całkowita i z , wtedy t jest dzielnikiem liczbowym.

Na przykład 2 jest mnożnikiem wspomnianego powyżej zestawu różnic (7,3,1).

Wspomniano, że liczbowy mnożnik zbioru różnic $D$ grupie abelowej ustala tłumaczenie , ale można również wykazać, że istnieje tłumaczenie $displaystyle$ $}$ z , który jest ustalony przez wszystkie mnożniki liczbowe . $\ displaystyle D$ $}$ .

Parametry

Znane zestawy różnic lub ich uzupełnienia mają jeden z następujących zestawów parametrów:

${\ Displaystyle ((q ^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-1),(q^{n}-1)/(q-1)) } -$ zestaw różnic dla pewnej potęgi pierwszej $displaystyle$ pewnej dodatniej liczby całkowitej $n}$ . Są one znane jako parametry klasyczne i istnieje wiele konstrukcji zbiorów różnicowych mających te parametry.
${\ Displaystyle (4n-1,2n-1, n-1)} -$ zestaw różnic dla pewnej dodatniej liczby całkowitej ${\ Displaystyle n}$ . Zbiory różnic z v = 4 n - 1 nazywane są zbiorami różnic typu Paleya .
${\ Displaystyle (4n ^ {2}, 2n ^ {2} -n, n ^ {2} -n)} -$ zestaw różnic dla pewnej dodatniej liczby całkowitej ${\ displaystyle n}$ . Zbiór różnic z tymi parametrami jest zbiorem różnic Hadamarda .
$1)}} - zestaw różnic dla pewnej$ ${\ Displaystyle (q ^ {n + 1} (1 + (q ^ {n + 1} -1) / (q-1)), q ^ {n} (q ^ {n + 1} -1) / (q-1), q ^ {n} (q ^ {n} -1) / (q$ $-$ potęgi pierwszej pewnej dodatniej liczba całkowita ${\ displaystyle n}$ . Znane jako parametry McFarlanda .
${\ Displaystyle (3 ^ {n + 1 }(3^{n+1}-1)/2,3^{n}(3^{n+1}+1)/2,3^{n}(3^{n}+1)/2 )} -$ zestaw różnic dla pewnej dodatniej liczby całkowitej ${\ displaystyle n}$ . Znane jako parametry Spence'a .
${\ Displaystyle (4q ^ {2n} (q ^ {2n} -1) / (q-1), q ^ {2n-1 }(1+2(q^{2n}-1)/(q+1)),q^{2n-1}(q^{2n-1}+1)(q-1)/(q+1 }}}$ - zestaw różnic dla pewnej potęgi pierwszej $displaystyle$ pewnej dodatniej liczby całkowitej $n}$ . Zbiory różnicowe z tymi parametrami nazywane są zbiorami różnicowymi Davisa-Jedwaba-Chena .

Znane zbiory różnic

W wielu konstrukcjach zbiorów różnic używane grupy są powiązane z addytywnymi i multiplikatywnymi grupami ciał skończonych. Notacja używana do oznaczenia tych dziedzin różni się w zależności od dyscypliny. W $tej$ $gdzie$ polem porządku $pierwszą$ lub . _ Dodawana grupa jest oznaczona przez ${\ Displaystyle G = ({\ rm {GF}} (q), +)}$ , podczas gdy ${\ displaystyle { \rm {GF}}(q)^{*}}$ jest multiplikatywną grupą niezerowych elementów.

Paley ${\ Displaystyle (4n-1,2n-1, n-1)} -$ zestaw różnic:

Niech

{\ Displaystyle q = 4n -1}

być potęgą pierwszą.

W

grupie

}

będzie zbiorem wszystkich niezerowych sol } (q), + kwadraty.

Piosenkarz ${\ Displaystyle ((( q^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-1),(q^{n}-1)/(q-1) )} -$ zestaw różnic:

niech

{\ Displaystyle G = {\ rm {GF}} (q ^ {n + 2}) ^ {*} /{\rm {GF}}(q)^{*}}

. Wtedy zbiór

{\ Displaystyle D = \ {x \ w G ~ | ~ {\ rm {Tr}} _ {q ^ {n + 2} / q} (x) = 0\}}

jest za

{\ Displaystyle ((q ^ {n + 2} -1) / (q-1), (q ^ {n + 1} -1) / (q-1), (q ^ {n} -1) / (q-1))}

-zbiór różnic, gdzie

{\ Displaystyle {\ rm {Tr}} _ {q ^ { n+2}/q}:{\rm {GF}}(q^{n+2})\rightarrow {\rm {GF}}(q)} to

funkcja śledzenia

{\ Displaystyle {\ rm {Tr}} _ {q ^ {n + 2}/q} (x) = x + x ^ {q} + \ cdots +x^{q^{n+1}}}

.

Podwójna moc pierwsza ${\ Displaystyle \ lewo (q ^ {2} + 2q, {\ Frac {q ^ {2} } + 2q-1 {2}}, {\ Frac {q ^ {2} + 2q-3} {4}} \ prawej)} -$ różnica ustawiona, gdy ${\ displaystyle q}$ i ${\ displaystyle q + 2}$ to obie potęgi pierwsze:

W grupie

{\ Displaystyle G = ({\ rm {GF}} (q ),+)\oplus ({\rm {GF}}(q+2),+)}

, niech

{\ Displaystyle D = \ {(x, y) \ dwukropek y = 0 {\ tekst {lub}} x {\ tekst {i}} y {\ tekst {są niezerowe i oba są kwadratami lub oba nie są kwadraty}}\}.}

Historia

Systematyczne stosowanie cyklicznych zbiorów różnic i metod do konstruowania symetrycznych projektów bloków sięga czasów RC Bose i jego przełomowej pracy z 1939 r. Jednak różne przykłady pojawiły się wcześniej, takie jak „Zestawy różnic Paleya”, które sięgają wstecz do 1933 r. Uogólnienie koncepcji cyklicznego zbioru różnic na bardziej ogólne grupy jest spowodowane przez RH Brucka w 1955 r. Mnożniki zostały wprowadzone przez Marshalla Halla Jr. w 1947 r.

Aplikacja

Giannakis stwierdzili, że zestawy różnic mogą być użyte do skonstruowania złożonego wektorowego słownika , który osiąga trudną granicę Welcha dla maksymalnej amplitudy korelacji krzyżowej. Tak skonstruowany słownik tworzy również tzw. Grassmanna .

Uogólnienia

ZA ${\ Displaystyle (v, k, \ lambda, s)}$ różnica rodzina to zbiór podzbiorów $s} \}}$ ${\ Displaystyle B = \ {B_$ $displaystyle G} b_ {i}}$ $grupy$ $,$ takiej , że kolejność jest równa ${\ displaystyle v}$ rozmiar sol ja \ $jest$ dla , a $każdy$ element nietożsamości $można$ wyrazić jako iloczyn $displaystyle d_ {$ $elementów$ dla niektórych $}$ . zarówno $}}$ $d_ {1}, d_ {\ Displaystyle D_ {1}, d_ {$ $pochodzą$ z tych $.$ dokładnie

Zbiór różnic to rodzina różnic z ${\ displaystyle s = 1}$ . Powyższe równanie parametru uogólnia się na ${\ Displaystyle s (k ^ {2} -k) = (v-1) \ lambda}$ . re $+ g: i = 1, \ ldots ,s,g\in G\}}$ z rodziny różnicowej to 2-projekt . Każdy projekt 2 z regularną grupą automorfizmów jest dla jakiejś rodziny różnic. $\ displaystyle$ $dev (B)$ }

Zobacz też

Projekt kombinatoryczny

Notatki

Beata, Tomasz; Jungnickel, Dieter ; Lenz, Hanfried (1986), Teoria projektowania , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-33334-2 , Zbl 0602.05001
Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs , Discrete Mathematics and its Applications (wyd. 2), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 1-58488-506-8 , Zbl 1101.05001
van Lint, JH; Wilson, RM (1992), Kurs kombinatoryki , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-42260-4 , Zbl 0769.05001
Wallis, WD (1988). Projekty kombinatoryczne . Marcela Dekkera. ISBN 0-8247-7942-8 . Zbl 0637.05004 .

Dalsza lektura

Moore, EH; Pollastek, HSK (2013). Zestawy różnic: łączenie algebry, kombinatoryki i geometrii . AMS. ISBN 978-0-8218-9176-6 .
Magazynier, Thomas (1967). Cyklotomia i zestawy różnicowe . Chicago: Markham Publishing Company. Zbl 0157.03301 .
Xia, Pengfei; Zhou, Shengli; Giannakis, Georgios B. (2005). „Osiągnięcie granicy Welcha za pomocą zestawów różnicowych” (PDF) . Transakcje IEEE dotyczące teorii informacji . 51 (5): 1900–1907. doi : 10.1109/TIT.2005.846411 . ISSN 0018-9448 . Zbl 1237.94007 . .

Xia, Pengfei; Zhou, Shengli; Giannakis, Georgios B. (2006). „Poprawka do `` Osiągnięcie Welcha związanego ze zbiorami różnic”. IEEE Trans. Inf. Teoria . 52 (7): 3359. doi : 10.1109/tit.2006.876214 . Zbl 1237.94008 .

Zwillinger, Daniel (2003). Standardowe tabele matematyczne i wzory CRC . Prasa CRC. P. 246 . ISBN 1-58488-291-3 .