macierz Wilsona

Macierz Wilsona to następująca macierz, której elementami są liczby całkowite: ${\ displaystyle 4 \ razy 4}$

$i 5 \\ 7 i 10 i 8 i 7 \\ 6 i 8 i 10 i 9 \\ 5 i 7 i 9 i 10 \ koniec {bmatrix}}}$

To jest macierz współczynników następującego układu równań liniowych rozważanych w artykule J. Morrisa opublikowanym w 1946 roku:

${\ Displaystyle {\ tekst {(S1)}} \ quad {\ rozpocząć {wyrównane} 5x + 7y + 6z + 5u & = 23 \\ 7x + 10y + 8z + 7u & = 32 \\ 6x + 8y + 10z + 9u & = 33\\5x+7y+9z+10u&=31\end{wyrównane}}}$

Morris przypisuje źródło zestawu równań jednemu TS Wilsonowi, ale nie podano żadnych szczegółów na temat Wilsona. Szczególny układ równań został wykorzystany przez Morrisa do zilustrowania koncepcji źle uwarunkowanego układu równań. Macierz była przez lata używana jako przykład i do celów testowych w wielu artykułach naukowych i $książkach$$.$ odniósł się do „notorycznej matrycy W TS Wilsona”

Nieruchomości

1. $symetryczną$ macierzą . _
2. $dodatnio$ określony . _
3. Wyznacznikiem jest $displaystyle$ { $\$ 1 .
4. W {\ Displaystyle $W}$ jest ${\begin{bmatrix}68&-41&-17&10\\-41&25&10&-6\\-17&10&5&-3\\10&-6&-3&2\end{bmatrix}}}$${\ Displaystyle W ^ {- 1$ }
5. Charakterystyczny wielomian W ${\ Displaystyle W}$$+ 146 \ lambda ^ {2} }-100\lambda +1}$ 100 .
6. Wartości własne W ${\ displaystyle W}$$quad 3,858057455944953,\$ \ quad .
7. Ponieważ jest symetryczny, liczba warunków $W )$ -normowych wynosi $Displaystyle \kappa _{2}(W)=({\text{maksymalna wartość własna}})/({\text{min wartość własna}})=30,28868534580213/0,01015004839789187=2984,09270167549}$$/$ .
8. Rozwiązaniem układu równań ${\ Displaystyle (S1)}$ jest ${\ Displaystyle x = y = z = u = 1}$ .
9. Faktoryzacja Cholesky'ego to $R {\ Displaystyle W =$$R}$ } = ${\ Displaystyle R = {\ rozpocząć {bmatrix} {\ sqrt {5}} & {\ Frac {7} {\ sqrt {5}}} & {\ Frac {6} {\ sqrt {5}}} & { \sqrt {5}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}&-{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0\\0&0&{\sqrt {2}} &{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$ .
10. ${\ Displaystyle W}$ ma rozkład na czynniki ${\ Displaystyle W = LDL ^ {T}}$ gdzie ${\ Displaystyle L = {\ rozpocząć {bmatrix} 1&0&0&0 \\{\ Frac {7}{5}}&1&0&0\\{\ Frac {6}{5}}&-2&1&0\\1&0&{\frac {3} 2}}&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&{\frac {1}{2 }}\end{bmacierz}}}$ .
11. ${\ Displaystyle W}$ ma rozkład na czynniki ${\ Displaystyle W = Z ^ {T} Z}$ z ${\ Displaystyle Z}$ jako macierz liczb całkowitych ${\ Displaystyle Z = {\ rozpocząć {bmatrix} 2 i 3 i 2 i 2 \\ 1 i 1 i 2 i 1 \\ 0 i 0 i 1 i 2 \\ 0 i 0 i 1 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$ .

Problemy badawcze zrodzone z macierzy Wilsona

Uwzględnienie numeru stanu macierzy Wilsona zrodziło kilka interesujących problemów badawczych związanych z numerami warunków macierzy w pewnych specjalnych klasach macierzy posiadających niektóre lub wszystkie cechy specjalne macierzy Wilsona. W szczególności zbadano następujące specjalne klasy macierzy:

1. ${\ displaystyle S =}$ zbiór $.$ , symetrycznych macierzy z liczbami całkowitymi od 1
2. ${\ displaystyle P =}$ zbiór dodatnio określonych, symetrycznych macierzy z liczbami całkowitymi od $1$

Wyczerpujące obliczenie numerów warunków macierzy w powyższych zestawach dało następujące wyniki:

1. S ${\ displaystyle S}$ , maksymalna liczba warunków wynosi ${\ Displaystyle 7,6119 \ razy 10 ^ {4}}$ i to maksimum jest osiągane przez ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 2 i 7 i 10 i 10 \\ 7 i 10 i 10 i 9 \\ 10 i 10 i 10 i 1 \\ 10 i 9 i 1 i 10 \ koniec {bmatrix}}}$ .
2. Wśród elementów maksymalna liczba warunków wynosi $3,5529 \ razy 10 ^ {4}}$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 9 i 1 i 1 i 5 \\ 1 i 10 i 1 i 9 \\ 1 i 1 i 10 i 1 \\ 5 i 9 i 1 i 10 \ koniec {bmatrix}}}$$Displaystyle$ i to maksimum osiąga macierz .