niestabilność Weibela

Niestabilność Weibela to niestabilność plazmy występująca w jednorodnych lub prawie jednorodnych plazmach elektromagnetycznych które posiadają anizotropię w przestrzeni pędu (prędkości). Ta anizotropia jest najczęściej rozumiana jako dwie temperatury w różnych kierunkach. Burton Fried wykazał, że tę niestabilność można zrozumieć prościej jako superpozycję wielu wiązek skierowanych w przeciwnych kierunkach. W tym sensie jest to jak niestabilność dwustrumieniowa, z wyjątkiem tego, że zakłócenia są elektromagnetyczne i powodują włóknienie, w przeciwieństwie do zaburzeń elektrostatycznych, które skutkowałyby skupieniem ładunków. W granicy liniowej niestabilność powoduje wykładniczy wzrost pól elektromagnetycznych w plazmie, które pomagają przywrócić izotropię przestrzeni pędu. W skrajnych przypadkach niestabilność Weibela jest związana z jedno- lub dwuwymiarowymi niestabilność strumienia .

Rozważmy plazmę elektronowo-jonową, w której jony są utrwalone, a elektrony są gorętsze w kierunku y niż w kierunku x lub z.

Aby zobaczyć, jak narastałoby zaburzenie pola magnetycznego, załóżmy, że pole B = B cos kx spontanicznie powstaje z szumu. Siła Lorentza zakrzywia następnie trajektorie elektronów, w wyniku czego elektrony poruszające się w górę ev x B gromadzą się w B, a poruszające się w dół w A. Wynikowy prąd ${\ Displaystyle j = -env_ {e }}$ arkusze generują pole magnetyczne, które wzmacnia pole pierwotne, przez co wzrastają zakłócenia.

Niestabilność Weibela jest również powszechna w plazmach astrofizycznych, takich jak bezkolizyjne powstawanie wstrząsów w pozostałościach supernowych i rozbłyski promienia ${\ displaystyle \ gamma}$ .

Prosty przykład niestabilności Weibela

Jako prosty przykład niestabilności Weibela rozważmy wiązkę elektronów o gęstości ${\ Displaystyle n_ {p0} = n_ {b0}}$$displaystyle$ początkowej w plazmie o gęstości $v_ {0} \ mathbf {z}}$ z prędkością ${\ Displaystyle -v_ {0} \ mathbf {z}}$ . Poniższa analiza pokaże, w jaki sposób zaburzenie elektromagnetyczne w postaci fali płaskiej powoduje niestabilność Weibela w tym prostym anizotropowym systemie plazmowym. Dla uproszczenia zakładamy nierelatywistyczną plazmę.

Zakładamy, że nie ma tła elektrycznego ani magnetycznego, tj. ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}} = \ mathbf {E_ {0}} = 0}$ . Zakłócenie zostanie potraktowane jako fala elektromagnetyczna rozchodząca się wzdłuż $k} = k \ mathbf {\ hat {x} } }$ ^ ${$ . Załóżmy, że pole elektryczne ma postać

${\ Displaystyle \ mathbf {E_ {1}} = Ae ^ {i (kx- \ omega t)} \ mathbf {z}}}$

Przy założonej zależności przestrzennej i czasowej możemy użyć ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ rightarrow -i \ omega}$ i ${\ styl wyświetlania \nabla \rightarrow ik\mathbf {\hat {x}}}$ . Z prawa Faradaya możemy otrzymać pole magnetyczne perturbacji

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {E_ {1}} = - { \frac {\częściowy \mathbf {B_{1}} }{\częściowy t}}\Strzałka w prawo i\mathbf {k} \times \mathbf {E_{1}} =i\omega \mathbf {B_{1}} \strzałka w prawo \mathbf {B_{1}} =\mathbf {\hat {y}} {\frac {k}{\omega}}E_{1}}$

Rozważ wiązkę elektronów. Zakładamy $_$ _ gęstość ${\ Displaystyle n_ {b} = n_ {b0} + n_ {b1}}$ . Celem jest znalezienie gęstości prądu perturbacyjnej wiązki elektronów

${\ Displaystyle \ mathbf {J_ {b1}} = - en_ {b} \ mathbf {v_ {b}} =-en_{b0}\mathbf {v_{b1}} -en_{b1}\mathbf {v_{b0}} }$

gdzie warunki drugiego rzędu zostały zaniedbane. Aby to zrobić, zaczynamy od równania pędu płynu dla wiązki elektronów

$\ Displaystyle m ({\ Frac {\ częściowe \ mathbf {v_ {b}}} {\ częściowe t}}+(\mathbf {v_{b}} \cdot \nabla )\mathbf {v_{b}} )=-e\mathbf {E} -e\mathbf {v_{b}} \times \mathbf { B} }$

co można uprościć, zauważając, że ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {v_ {b0}}} {\ częściowe t}} = \ nabla \ cdot \ mathbf { v_{b0}} =0}$ i pomijając wyrazy drugiego rzędu. Przy założeniu fali płaskiej dla pochodnych równanie pędu staje się

${\ Displaystyle -i \ omega m \ mathbf {v_ {b1}} = -e \ mathbf {E_ {1}} -e \ mathbf {v_{b0}} \times \mathbf {B_{1}} }$

Możemy rozłożyć powyższe równania na składowe, zwracając uwagę na iloczyn krzyżowy po prawej stronie i otrzymać niezerowe składowe zaburzenia prędkości wiązki:

${\ Displaystyle v_ {b1z} = {\ Frac {eE_ {1}} {mi \ omega}}}$

${\ Displaystyle v_ {b1x} = {\ Frac {eE_ {1}} {mi \ omega}} {\ Frac {kv_ {b0}} {\ omega}}}$

Aby znaleźć gęstość zaburzeń , używamy równania ciągłości płynu dla wiązki elektronów n ${\ displaystyle n_ {b1}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe n_ {b}} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot (n_ {b} \ mathbf {v_ { b}} )=0}$

co ponownie można uprościć, zauważając, że i zaniedbując ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe n_ {b0}} {\ częściowe t}} = \ nabla n_ {b0} = 0}$ terminy drugiego rzędu. Wynik to

${\ Displaystyle n_ {b1} = n_ {b0} {\ Frac {k} {\ omega}} v_ {b1x}}$

Korzystając z tych wyników, możemy użyć podanego powyżej równania na gęstość prądu perturbacyjnego wiązki, aby znaleźć

${\ Displaystyle J_ {b1x} = - n_ {b0} e ^ {2} E_ {1} {\ Frac {kv_ {b0}} {im \ omega ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle J_ {b1z} = - n_ {b0} e ^ {2} E_ {1} {\ Frac {1} {im \ omega}} (1 + {\ Frac {k ^ {2} v_ {b0} ^{2}}{\omega^{2}}})}$

Analogiczne wyrażenia można zapisać dla gęstości prądu perturbacyjnego poruszającej się w lewo plazmy. Zauważając, że składowa x gęstości prądu perturbacyjnego jest proporcjonalna do , widzimy, że przy naszych założeniach dotyczących gęstości i prędkości wiązki i plazmy w stanie niezakłóconym, składowa x gęstości prądu netto będzie wynosić v {\ displaystyle v_ $}$$znikną$ , podczas gdy składowe z, które są proporcjonalne do dodane. Zatem zaburzenie gęstości prądu netto wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {J_ {1}} = -2n_ {b0} e ^ {2} E_{1}{\frac {1}{im\omega}}(1+{\frac {k^{2}v_{b0}^{2}}{\omega^{2}}})\mathbf { \kapelusz {z}} }$

Relację dyspersji można teraz znaleźć na podstawie równań Maxwella:

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {E_ {1}} = i \ omega \ mathbf {B_ {1}}}$

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {B_ {1}} = \ mu _ {0} \ mathbf {J_ {1}} -i \ omega \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} \ mathbf {E_{1}}}$

${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo \ nabla \ razy \ nabla \ razy \ mathbf {E_ {1}} = - \ nabla ^ {2} \ mathbf {E_ {1}} + \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {E_ { 1}} )=k^{2}\mathbf {E_{1}} +i\mathbf {k} (i\mathbf {k} \cdot \mathbf {E_{1}} )=k^{2}\ mathbf {E_{1}} =i\omega \nabla \times \mathbf {B_{1}} ={\frac {i\omega }{c^{2}\epsilon _{0}}}\mathbf {J_ {1}} +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\mathbf {E_{1}}}$

gdzie ${\ Displaystyle c = {\ Frac {1} {\ sqrt {\ epsilon _ {0} \ mu _ {0}}}}}$ to prędkość światła w wolnej przestrzeni. $0}m}}}$${\ Displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {\ Frac {2n_ {b0} e ^ {2}} {\ epsilon _$ { , powyższe równanie daje

${\ Displaystyle k ^ {2} - {\ Frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = - {\ Frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {c ^ {2 }}}(1+{\frac {k^{2}v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}})\strzałka w prawo \omega ^{4}-\omega ^{2}( \omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})-\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}=0}$

To dwukwadratowe równanie można łatwo rozwiązać, otrzymując zależność dyspersji

${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = {\ Frac { 1}{2}}(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2}\pm {\sqrt {(\omega_{p}^{2}+k^{2 }c^{2})^{2}+4\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}})}$

$($ szukamy ${\ Displaystyle Im (\ omega) \ neq 0}$ przyjmuje się, że jest rzeczywisty). Dlatego musimy przyjąć zależność/tryb dyspersji odpowiadający znakowi minus w powyższym równaniu.

Aby uzyskać dalszy wgląd w niestabilność, warto wykorzystać nasze nierelatywistyczne założenie, aby uprościć pierwiastek kwadratowy, zauważając, że ${\ displaystyle v_ {0}<<c}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {(\ omega _ {p} ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2}) ^ {2} + 4 \ omega _ {p} ^ {2} k ^ {2 }v_{0}^{2}}}=(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})(1+{\frac {4\omega _{p}^ {2}k^{2}v_{0}^{2}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}}})^{ 1/2}\około (\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})(1+{\frac {2\omega _{p}^{2}k^{ 2}v_{0}^{2}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}}})}$

Wynikowa relacja dyspersji jest wtedy znacznie prostsza

${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = {\ Frac {- \ omega _ {p} ^ {2} k ^ {2} v_{0}^{2}}{\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2}}}<0}$

${\ displaystyle \ omega}$ jest czysto urojone. ω ${\ Displaystyle \ omega = i \ gamma$

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {\ omega _{p}kv_{0}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{1/2}}}=\omega _{p}{ \frac {v_{0}}{c}}{\frac {1}{(1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{k^{2}c^{2}}} )^{1/2}}}}$

widzimy, że rzeczywiście odpowiada to niestabilności. ${\ displaystyle Im (\ omega)> 0}$

Pola elektromagnetyczne mają wtedy postać

$\ Displaystyle \ mathbf {E_ {1}} = A \ mathbf {\ kapelusz {z}} e ^ {\ gamma t} e ^ {ikx}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B_ {1}} = \ mathbf {\ kapelusz {y}} {\ Frac {k} {\ omega}} E_ {1} = \ mathbf {\ kapelusz {y}} {\ frac { k}{i\gamma }}Ae^{\gamma t}e^{ikx}}$

Dlatego pola elektryczne i magnetyczne są $przesunięte$ i zauważając, że

${\ Displaystyle {\ Frac {| B_ {1} |} {| E_ {1} |}} = {\ Frac {k} {\ gamma}} \ propto {\ Frac { c}{v_{0}}}>>1}$

więc widzimy, że jest to przede wszystkim zaburzenie magnetyczne, chociaż istnieje niezerowe zaburzenie elektryczne. Wzrost pola magnetycznego skutkuje charakterystyczną strukturą włóknistą niestabilności Weibela. Nasycenie nastąpi, gdy tempo wzrostu będzie rzędu częstotliwości cyklotronu elektronowego ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ gamma \ sim \ omega _ {p} {\ Frac {v_ {0}}} {c}} \ sim \ omega _ { c}\strzałka w prawo B\sim {\frac {m}{e}}\omega _{p}{\frac {v_{0}}{c}}}$

•   Weibel, Erich S. (1959-02-01). „Spontanicznie rosnące fale poprzeczne w plazmie w wyniku anizotropowego rozkładu prędkości”. Fizyczne listy przeglądowe . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 2 (3): 83–84. doi : 10.1103/physrevlett.2.83 . ISSN 0031-9007 .
•   Smażone, Burton D. (1959). „Mechanizm niestabilności poprzecznych fal plazmy”. Fizyka płynów . Wydawnictwo AIP. 2 (3): 337. doi : 10.1063/1.1705933 . ISSN 0031-9171 .
• Wykład [1]

Zobacz też

• Niestabilność chromo-Weibela