paradoks Hoopera

paradoks Hoopera

Paradoks Hoopera to fałszywy paradoks oparty na złudzeniu optycznym. Geometryczny kształt o polu 32 jednostek jest dzielony na cztery części, które następnie składają się w prostokąt o polu tylko 30 jednostek.

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie paradoksu Hoopera. Brązowy równoległobok to obszar nakładania się dwóch trójkątów.

Po bliższym przyjrzeniu się można zauważyć, że trójkąty wypreparowanego kształtu nie są identyczne z trójkątami w prostokącie. Długość krótszego boku pod kątem prostym wynosi 2 jednostki w pierwotnym kształcie, ale tylko 1,8 jednostki w prostokącie. Oznacza to, że rzeczywiste trójkąty pierwotnego kształtu zachodzą na siebie w prostokącie. Obszar nakładania się to równoległobok, którego przekątne i boki można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa .

${\ Displaystyle d_ {1} = {\ sqrt {2 ^ {2} + 1 ^ {2}}} = {\ sqrt {5}}}$

${\ Displaystyle d_ {2} = {\ sqrt {3 ^ {2} + 10 ^ {2}}} = {\ sqrt {109}}} s$

$\ styl wyświetlania s_{1}={\sqrt {2^{2}+6^{2}}}={\sqrt {40}}}$

${\ Displaystyle s_ {2} = {\ sqrt {1 ^ {2} + 4 ^ {2}}} = {\ sqrt {17}}}$

Pole tego równoległoboku można wyznaczyć za pomocą wzoru Herona dla trójkątów. To daje

${\ Displaystyle s = {\ Frac {d_ {1} + s_ {1} + s_ {2}} {2}} = {\ Frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}}}{2}}}$

dla połowy obwodu trójkąta (połowa równoległoboku) i dla pola równoległoboku

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F & = 2 \ cdot {\ sqrt {s \ cdot (s-s_ {1}) \ cdot (s-s_{2})\cdot (s-d_{1})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {({\ sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot (-{\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}}) \cdot ({\sqrt {5}}-{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot ({\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}-{\sqrt { 40}})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {16}}\\[5pt]&=2\end{wyrównane}}}$ .

Tak więc nakładający się obszar dwóch trójkątów odpowiada dokładnie zanikniętemu obszarowi 2 jednostek.

Historia

William Hooper opublikował paradoks w 1774 roku w swojej książce Rational Recreations , w której nazwał go Pieniądz geometryczny . Wydanie jego książki z 1774 roku nadal zawierało fałszywy rysunek, który został poprawiony w wydaniu z 1782 roku. Jednak Hooper nie był pierwszym, który opublikował ten błąd geometryczny, ponieważ książka Hoopera była w dużej mierze adaptacją Nouvelles récréations physiques et mathétiques Edmé-Gillesa Guyota , który został opublikowany we Francji w 1769 roku. Opis w tej książce zawiera ten sam fałszywy rysunek, co w książce Hoopera, ale został poprawiony również w późniejszym wydaniu.

Zobacz też

• Paradoks szachownicy
• Brakująca kwadratowa łamigłówka

•   Martin Gardner : Matematyka, magia i tajemnica . Kurier (Dover), 1956, ISBN 9780486203355 , S. 129–155
•   Greg N. Frederickson: Sekcje: samolot i fantazyjne . Cambridge University Press, 2003, ISBN 9780521525824 , rozdział 23, s. 268–277, w szczególności s. 271–274 ( aktualizacja online do rozdziału 23 )
•   Simon Podczas: Współczesne zaklęcia: kulturowa siła świeckiej magii . Harvard University Press, 2004, ISBN 978-0674013711 , s. 87
• William Hooper: racjonalne rekreacje . Londyn, 1774, s. 286–287 (wydanie wadliwe)
• William Hooper: racjonalne rekreacje . Londyn, 1782, s. 286–287 (poprawione wydanie 2)

Linki zewnętrzne

• Paradoks Hoopera: jak to możliwe? auf cut-the-knot.org
• Mariano Tomatis: Klątwa kryształowych czaszek i inne łamigłówki znikających obszarów
• Rozrywki racjonalne autorstwa W. Hoopera