punkt DNSS

Punkty DNSS , znane również jako punkty Sethi-Skiba, powstają w optymalnych problemach sterowania, które wykazują wiele optymalnych rozwiązań. Punkt DNSS nazwany alfabetycznie na cześć Deckerta i Nishimury, Sethiego i Skiby $jeden$$punktem$ obojętnym w optymalnym problemie sterowania, tak że zaczynając od takiego punktu, problem ma więcej niż optymalne rozwiązania. Dobre omówienie takich punktów można znaleźć w Grass et al.

Definicja

Szczególnie interesujące są tu zdyskontowane problemy sterowania optymalnego o nieskończonym horyzoncie , które są autonomiczne. Problemy te można sformułować jako

${\ Displaystyle \ max _ {u (t) \ in \ omega} \ int _ {0} ^ {\infty}e^{-\rho t}\varphi \left(x(t),u(t)\right)dt}$

ul

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} (t) = f \ lewo (x (t), u ( t)\prawo),x(0)=x_{0},}$

gdzie ${\ Displaystyle \ rho > 0}$ to stopa dyskontowa, ${\ Displaystyle x (t)}$ i ${\ Displaystyle u (t)}$ to odpowiednio zmienne stanu i kontrolne, $t$ czasie zakłada się $\ displaystyle$ funkcje i funkcje są różniczkowalne w sposób ciągły w odniesieniu do ich argumentów i nie zależą one jawnie od czasu t { $}$$\ displaystyle t}$ i jest $zbiorem$ wykonalnych kontroli, a także jest wyraźnie niezależny od czasu $\ displaystyle t}$ . Ponadto zakłada się, że całka jest zbieżna dla dowolnego dopuszczalnego rozwiązania ${\ Displaystyle \ lewo (x (.), U (.) \ prawo)}$ . W takim problemie z jednowymiarową zmienną stanu $.$$punktem$ nazywany jest DNSS, jeśli system zaczynający się od niego wykazuje wiele optymalnych rozwiązań lub równowag Tak więc, przynajmniej w sąsiedztwie , system przesuwa się do jednej równowagi dla $x> x_ {0}}$$displaystyle$ i do drugiej dla $\ displaystyle x < x_{0}}$ . W tym sensie $.$ punkt obojętności, z którego system może przejść do jednej z dwóch równowag

W przypadku dwuwymiarowych problemów optymalnej kontroli Grass i in. oraz Zeiler i in. przedstaw przykłady przedstawiające krzywe DNSS.

Niektóre odniesienia dotyczące stosowania punktów DNSS to Caulkins i in. oraz Zeiler i in.

Historia

Suresh P. Sethi zidentyfikował takie punkty obojętności po raz pierwszy w 1977 roku. Ponadto Skiba, Sethi oraz Deckert i Nishimura zbadali te punkty obojętności w modelach ekonomicznych. Termin punkty DNSS (Deckert, Nishimura, Sethi, Skiba), wprowadzony przez Grassa i in., rozpoznaje (alfabetycznie) wkład tych autorów.

Te punkty obojętności były wcześniej określane w literaturze jako punkty Skiba lub punkty DNS .

Przykład

φ ${\ Displaystyle \ varphi \ lewo (x, u \ prawej) = xu,$${ \ Displaystyle f \ lewo (x, u \ prawej) = -x + u,}$ i ${\ Displaystyle \ Omega = \ lewo [-1,1 \ prawej]}$ . Jest to pokazane w Grass i in. że ${\ Displaystyle x_ {0}=0}$$albo$ punktem DNSS dla tego problemu, ponieważ optymalna ścieżka ( $Displaystyle \ lewo (1-e ^ {- t} \ prawo)}$ lub ${\ Displaystyle \ lewo (-1 + e ^ {- t} \ prawo)}$ . Zauważ, że optymalna ścieżka dla $t$$Displaystyle x (t) = -1 + e ^$ i dla ${\ Displaystyle x_ {0}> 0}$ optymalna ścieżka to ${\ Displaystyle x (t) = 1 + e ^ {- t \ lewo (x_ {0} -1 \ prawo)}}$ .

Rozszerzenia

Po dalsze szczegóły i rozszerzenia odsyłamy czytelnika do Grassa i in.