ranga U

W teorii modeli , gałęzi logiki matematycznej, U-rank jest jedną z miar złożoności typu (kompletnego) w kontekście teorii stabilnych . Jak zwykle wyższy stopień U wskazuje na mniejsze ograniczenia, a istnienie stopnia U dla wszystkich typów we wszystkich zbiorach jest równoznaczne z ważnym warunkiem teorii modelu: w tym przypadku superstabilnością .

Definicja

Ranking U jest definiowany indukcyjnie w następujący sposób dla dowolnego (pełnego) p typu n w dowolnym zbiorze A:

• U ( p ) ≥ 0
• Jeśli δ jest graniczną liczbą porządkową, to U ( p ) δ dokładnie wtedy, gdy U ( p ) ≥ α dla wszystkich α mniejszych od δ
• Dla dowolnego α = β + 1, U ( p ) ≥ α dokładnie wtedy, gdy istnieje rozwidlenie q z p z U ( q ) ≥ β

Mówimy, że U ( p ) = α , gdy U ( p ) ≥ α , ale nie U ( p ) ≥ α + 1.

Jeśli U ( p ) ≥ α dla wszystkich liczb porządkowych α , mówimy, że stopień U jest nieograniczony lub U ( p ) = ∞.

$x)$ -rank jest formalnie oznaczony , gdzie p n. Ten indeks dolny jest zwykle pomijany, gdy nie może dojść do pomyłki.

Teorie rankingowe

U-rank jest monotonny w swojej domenie. To znaczy, załóżmy, że p jest kompletnym typem nad A i B jest podzbiorem A . Wtedy dla q ograniczenie p do B , U ( q ) ≥ U ( p ).

Jeśli przyjmiemy, że B (powyżej) jest puste, to otrzymamy, co następuje: jeśli istnieje n -typ p , nad pewnym zestawem parametrów, z rangą co najmniej α , to istnieje typ nad pustym zbiorem rangi w najmniej α . Zatem możemy zdefiniować dla kompletnej (stabilnej) teorii T , ${\ Displaystyle U_ {n} (T) = \ sup \ {U_ {n} (p): p \ w S (T) \}}$ .

Otrzymujemy wtedy zwięzłą charakterystykę superstabilności; stabilna teoria T jest superstabilna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle U_ {n} (T) <\ infty }$ dla każdego n .

Nieruchomości

• Jak wspomniano powyżej, ranga U jest monotonna w swojej dziedzinie.
• Jeśli p ma U-rank α , to dla dowolnego β < α , istnieje rozszerzenie rozwidlenia q p z U-rank β ​​.
• Jeśli p jest typem b nad A , istnieje jakiś zbiór B rozciągający się na A , gdzie q jest typem b nad B .
• Jeśli p nie jest uszeregowane (to znaczy p ma rangę U ∞), to istnieje rozszerzenie rozwidlenia q z p , które również nie jest uszeregowane.
• Nawet przy braku superstabilności istnieje porządkowa β , która jest najwyższą rangą wszystkich typów uszeregowanych, a dla dowolnego α < β istnieje typ p rangi α , a jeśli ranga p jest większa niż β , to musi być ∞.

Przykłady

• U ( p ) > 0 dokładnie wtedy, gdy p jest niealgebraiczne.
• Jeśli T jest teorią pól algebraicznie zamkniętych (o dowolnej ustalonej charakterystyce), to ${\ Displaystyle U_ {1} (T) = 1}$ . Ponadto, jeśli A jest dowolnym zbiorem parametrów, a K jest polem generowanym przez A , to p typu 1 nad A ma rangę 1, jeśli (wszystkie realizacje) p są transcendentalne względem K , a 0 w przeciwnym razie. Bardziej ogólnie, p typu n nad A ma rangę U k , stopień transcendencji (nad K ) jakiejkolwiek jego realizacji.

  Pillay, Anand (2008) [1983]. Wprowadzenie do teorii stabilności . Dover. P. 57. ISBN 978-0-486-46896-9 .