szereg Kempnera

Szereg Kempnera jest modyfikacją szeregu harmonicznego , utworzonego przez pominięcie wszystkich wyrazów, których mianownik wyrażony w podstawie 10 zawiera cyfrę 9. Czyli jest to suma

${\ Displaystyle {\ sideset {}{'} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty}} {\ Frac {1} {n}}}$

gdzie liczba pierwsza wskazuje, że n przyjmuje tylko wartości, których rozwinięcie dziesiętne nie zawiera dziewiątek. Szereg został po raz pierwszy zbadany przez AJ Kempnera w 1914 r. Szereg jest sprzeczny z intuicją , ponieważ w przeciwieństwie do szeregu harmonicznego jest zbieżny. Kempner wykazał, że suma tego szeregu jest mniejsza niż 90. Baillie wykazał, że zaokrąglona do 20 miejsc po przecinku rzeczywista suma wynosi 22,92067 66192 64150 34816 (sekwencja A082838 w OEIS ).

Heurystycznie ten szereg jest zbieżny, ponieważ większość dużych liczb całkowitych zawiera każdą cyfrę. Na przykład losowa 100-cyfrowa liczba całkowita najprawdopodobniej zawiera co najmniej jedną „9”, co powoduje wykluczenie jej z powyższej sumy.

Schmelzer i Baillie znaleźli skuteczny algorytm dla bardziej ogólnego problemu dowolnego pominiętego ciągu cyfr. Na przykład suma 1 / n , gdzie n nie ma wystąpień „42”, wynosi około 228,44630 41592 30813 25415 . Inny przykład: suma 1 / n , gdzie n nie występuje w ciągu cyfr „314159”, wynosi około 2302582,33386 37826 07892 02376 . (Wszystkie wartości są zaokrąglane do ostatniego miejsca po przecinku.)

Konwergencja

Dowód zbieżności Kempnera jest powtarzany w niektórych podręcznikach, na przykład Hardy i Wright, a także pojawia się jako ćwiczenie w Apostol. Terminy sumy grupujemy według liczby cyfr w mianowniku. Liczba n -cyfrowych dodatnich liczb całkowitych, które nie mają cyfry równej „9”, wynosi 8 × 9 ^{n -1} , ponieważ istnieje 8 możliwości wyboru (od 1 do 8) dla pierwszej cyfry i 9 niezależnych wyborów (od 0 do 8) dla każdej pozostałych n −1 cyfr. Każda z tych liczb bez „9” jest większa lub równa 10 ^{n −1} , więc odwrotność każdej z tych liczb jest mniejsza lub równa 10 ^{1− n} . Dlatego wkład tej grupy do sumy odwrotności jest mniejszy niż 8 × ( 9 / 10 ) ^{n −1} . Zatem cała suma odwrotności wynosi co najwyżej

${\ Displaystyle 8 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo ({\ Frac {9} {10}} \ prawej) ^ {n-1}=80.}$

Ten sam argument działa dla każdej pominiętej cyfry niezerowej. Liczba n -cyfrowych dodatnich liczb całkowitych, które nie mają „0”, wynosi 9 ⁿ , więc suma 1 / n , gdzie n nie ma cyfry „0”, wynosi co najwyżej

${\ Displaystyle 9 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo ({\ Frac {9} {10}} \ prawej) ^ {n-1}=90.}$

Szeregi są również zbieżne, jeśli pominie się ciągi k cyfr, na przykład jeśli pominiemy wszystkie mianowniki, które mają ciąg dziesiętny 42. Można to udowodnić prawie w ten sam sposób. Najpierw zauważamy, że możemy pracować z liczbami o podstawie 10 ^k i pominąć wszystkie mianowniki, w których podany ciąg jest „cyfrą”. Argument analogiczny do przypadku o podstawie 10 pokazuje, że szereg ten jest zbieżny. Przechodząc teraz z powrotem do podstawy 10, widzimy, że ten szereg zawiera wszystkie mianowniki, które pomijają podany ciąg, a także mianowniki, które go zawierają, jeśli nie jest na „ k granica -cyfrowa. Na przykład, jeśli pomijamy 42, seria podstawowa 100 pominie 4217 i 1742, ale nie 1427, więc jest większa niż seria, która pomija wszystkie 42.

Farhi rozważał uogólniony szereg Kempnera, a mianowicie sumy S ( d , n ) odwrotności dodatnich liczb całkowitych, które mają dokładnie n wystąpień cyfry d , gdzie 0 ≤ d ≤ 9 (tak, że oryginalny szereg Kempnera to S (9, 0)). Pokazał, że dla każdego d ciąg wartości S ( d , n ) dla n ≥ 1 jest malejący i zbiega się do 10 ln 10. Ciąg na ogół nie jest malejący począwszy od n = 0; na przykład dla oryginalnego szeregu Kempnera mamy S (9, 0) ≈ 22,921 < 23,026 ≈ 10 ln 10 < S (9, n ) dla n ≥ 1.

Metody aproksymacyjne

Szereg zbiega się bardzo wolno. Baillie zauważa, że ​​po zsumowaniu 10 ²⁴ wyrazów reszta jest nadal większa niż 1.

Górna granica 80 jest bardzo surowa. W 1916 roku Irwin wykazał, że wartość szeregu Kempnera mieści się w przedziale od 22,4 do 23,3, ponieważ udoskonalona do wartości powyżej, 22,92067...

Baillie rozważył sumę odwrotności j -tych potęg jednocześnie dla wszystkich j . Opracował rekursję, która wyraża j -tej potęgi z bloku ( k + 1)-cyfrowego pod względem wszystkich wkładów wyższych mocy bloku k -cyfrowego. Dlatego przy niewielkiej ilości obliczeń można dokładnie oszacować oryginalny szereg (który jest wartością dla j = 1, zsumowaną po wszystkich k ).

Zobacz też

• Mały zestaw
• Lista sum odwrotności

Linki zewnętrzne

• „Podsumowanie ciekawych, powoli zbieżnych, harmonicznych podserii” . Preprint artykułu autorstwa Thomasa Schmelzera i Roberta Baillie.
• „Podsumowanie ciekawej (powoli zbieżnej) serii Kempnera” . Pakiet Mathematica autorstwa Thomasa Schmelzera i Roberta Bailliego implementujący ich algorytm.