Tożsamość Pochożajewa

Tożsamość Pokhozhaeva jest relacją całkową spełnianą przez stacjonarne zlokalizowane rozwiązania nieliniowego równania Schrödingera lub nieliniowego równania Kleina-Gordona . Otrzymane zostało przez SI Pokhozhaeva i jest podobne do twierdzenia o wirusie . Zależność ta jest również znana jako twierdzenie DH Derricka . Podobne tożsamości można wyprowadzić dla innych równań fizyki matematycznej.

Tożsamość Pokhozhaeva dla stacjonarnego nieliniowego równania Schrödingera

Oto ogólna forma za H. Berestyckim i P.-L. Lwy .

Niech $)$${\ displaystyle g (0)$ wartość rzeczywistą, gdzie . Denote $G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt$. Let

${\ Displaystyle u \ w L _ {\ operatorname {loc } } ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u)\ w L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

być rozwiązaniem równania

${\ Displaystyle - \ nabla ^ {2} u = g (u)}$ ,

w sensie dystrybucji . Wtedy $_$ relację

${\ Displaystyle {\ Frac {n-2} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla u (x) | ^ {2} \, dx = n \ int _ { \mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$

Tożsamość Pokhozhaeva dla stacjonarnego nieliniowego równania Diraca

Istnieje postać wirialnej tożsamości stacjonarnego nieliniowego równania Diraca w trzech wymiarach przestrzennych (a także równaniach Maxwella-Diraca) i w dowolnym wymiarze przestrzennym. Niech ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}, \, N \ in \ mathbb {N}}$ i niech ${\ displaystyle \ alfa ^ {i} , \, 1 \ równoważnik i \ równoważnik n$$}$ będą samosprzężonymi macierzami Diraca rozmiaru ${\ displaystyle N \ razy N}$ :

${\ Displaystyle \ alfa ^ {i} \ alfa ^ {j} + \ alfa ^ {j} \ alfa ^ {i} = 2 \ delta _ {ij} I_ {N}, \ quad \ beta ^ {2} = I_{N},\quad \alpha ^{i}\beta +\beta \alpha ^{i}=0,\quad 1\równoważnik i,j\leq n.}$

Niech ${\ Displaystyle D_ {0} = - \ operatorname {i} \ alfa \ cdot \ nabla = - \ operatorname {i} \ suma _{i=1}^{n}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} będzie bezmasowym$ operatorem Diraca . Niech ciągły i ma wartość rzeczywistą, gdzie ${\ displaystyle g ($${\ displaystyle g (0) = 0}$ . Oznacz ${\ displaystyle G (s) = \ int _ {0} ^ {s} g (t) \, dt}$ . Niech ${\ Displaystyle \ phi \ in L _ {\ operatorname {loc}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {C } ^{N})}$ będzie rozwiązaniem o wartości spinorowej , które spełnia postać stacjonarną nieliniowe równanie Diraca ,

${\ Displaystyle \ omega \ phi = D_ {0} \ phi + g (\ phi ^ {\ ast} \ beta \ phi) \ beta \ phi, }$

$w$ sensie , . Zakładać, że

${\ Displaystyle \ phi \ in H ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {C} ^ {N}), \ qquad G (\ phi ^ {\ ast} \ beta \ phi) \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Wtedy $_$ relację

${\ Displaystyle \ omega \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ phi (x) ^ {\ ast} \ phi (x) \, dx = {\ Frac {n-1} {n}} \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }D_{0}\phi (x)\,dx+\int _{\mathbb {R} ^{n}} G(\phi (x)^{\ast }\beta \phi (x))\,dx.}$

Zobacz też

• Twierdzenie o wirusie
• Twierdzenie Derricka