łańcuch Harrisa

W matematycznym badaniu procesów stochastycznych łańcuch Harrisa jest łańcuchem Markowa , w którym łańcuch powraca do określonej części przestrzeni stanów nieograniczoną liczbę razy. Łańcuchy Harrisa są procesami regeneracyjnymi i zostały nazwane na cześć Theodore'a Harrisa . Teoria łańcuchów Harrisa i nawrotów Harrisa jest przydatna do leczenia łańcuchów Markowa w ogólnych (prawdopodobnie nieskończonych) przestrzeniach stanów.

Definicja

Niech $będzie$ łańcuchem Markowa w ogólnej $.$ _ $_$ _ Jądro reprezentuje uogólnione jednostopniowe prawo prawdopodobieństwa przejścia, tak że ${\ Displaystyle P (X_ {n + 1} \ w C \ mid X_ {n} = x) = K (x, C)}$ dla wszystkich stanów ${\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle \ Omega}$ i wszystkich mierzalne zbiory do $subseteq \ Omega}$ . Łańcuch jest łańcuchem Harrisa $,$ jeśli istnieje i $Omega, \ varepsilon >$ \ , and ${\ Displaystyle \ rho}$ z takim , że ${\ Displaystyle \ rho (\ Omega) = 1}$

Jeśli ${\ Displaystyle \ tau _ {A}: = \ inf \ {n \ geq 0: X_ {n} \ w A \}}$ , to ${\ Displaystyle P (\ tau _ {A}<\ infty \ mid X_ {0} = x) = 1}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ in \ Omega}$ .
Jeśli $)$ ${\ Displaystyle K (x, C) \ geq \ varepsilon \ rho (C)}$ gdzie $mierzalny$ to $)$ ε .

Pierwsza część definicji zapewnia, że łańcuch powraca do pewnego stanu w $1$ , niezależnie od tego, gdzie się zaczyna. Wynika $z$ tego, że odwiedza stan często (z prawdopodobieństwem 1). Druga część sugeruje, że gdy łańcuch Markowa znajdzie się w stanie $,$ następny stan można wygenerować za pomocą niezależnego rzutu monetą Bernoulliego. Aby to zobaczyć, najpierw zauważ, że parametr ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle C = \ Omega}$ pokazać, stosując drugą część definicji do zbioru do ). Niech teraz będzie punktem w $i$ $displaystyle$ , że $X_ {n} = x}$ . Aby wybrać następny stan , niezależnie rzuć tendencyjną monetą z prawdopodobieństwem sukcesu $+ 1$ $varepsilon}$ . $.$ $zgodnie$ , wybierz następny stan z W przeciwnym razie (i jeśli $,$ wybierz następny stan zgodnie z miarą $X ε < 1 {\$ ${\ Displaystyle P (X_ {n + 1} \ w C \ mid X_ {n} = x) = ( K (x, C) - \ varepsilon \ rho (C)) / (1- \ varepsilon)}$ (zdefiniowane dla wszystkich mierzalnych podzbiorów ${\ Displaystyle C \ subseteq \ Omega}$ ).

Dwa losowe procesy i ${\ Displaystyle$ $\ {Y_ {n} \}} , które mają$ z powyższym definicja może być połączona w następujący sposób: Załóżmy, że gdzie ${\ Displaystyle X_ {n} = x}$ i ${\ Displaystyle Y_ {n} = y}$ , gdzie ${\ displaystyle x}$ i ${\ styl wyświetlania y}$ są punktami w ${\ displaystyle A}$ . Używając tego samego rzutu monetą do decydowania o następnym stanie obu procesów, wynika z tego, że następne stany są takie same z prawdopodobieństwem co najmniej ${\ displaystyle \ varepsilon}$ .

Przykłady

Przykład 1: Przeliczalna przestrzeń stanów

Niech Ω będzie przeliczalną przestrzenią stanów. Jądro K jest określone przez jednoetapowe warunkowe prawdopodobieństwa przejścia P [ X _{n +1} = y | X _n = x ] dla x , y ∈ Ω. Miara ρ jest funkcją masy prawdopodobieństwa na stanach, tak że ρ ( x ) ≥ 0 dla wszystkich x ∈ Ω, a suma prawdopodobieństw ρ (x) jest równa jeden. Załóżmy, że powyższa definicja jest spełniona dla danego zbioru A ⊆ Ω i zadany parametr ε > 0. Wtedy P[ X _{n +1} = c | X _n = x ] ≥ ερ ( do ) dla wszystkich x ∈ A i wszystkich c ∈ Ω.

Przykład 2: Łańcuchy o ciągłych gęstościach

Niech { X _n }, X _n ∈ R ^d będzie łańcuchem Markowa o jądrze absolutnie ciągłym względem miary Lebesgue'a :

K. ( x , dy ) = K. ( x , y ) dy

takie, że K ( x , y ) jest funkcją ciągłą .

₀₀₀₀₀₀ Wybierz ( x , y ) takie, że K ( x , y ) > 0 i niech A i Ω będą zbiorami otwartymi zawierającymi odpowiednio x i y , które są wystarczająco małe, aby K ( x , y ) ≥ ε > 0 na A × Ω . Pozwalając ρ ( do ) = |Ω ∩ do |/|Ω| gdzie |Ω| jest miarą Lebesgue'a Ω, mamy, że (2) w powyższej definicji zachodzi. Jeśli zachodzi (1), to { X _n } jest łańcuchem Harrisa.

Redukowalność i okresowość

R ${\ Displaystyle R: = \ inf \ {n \ geq 1: X_ {n} \ w A \}}$ ; tj. $ZA$ to pierwszy raz po czasie 0, kiedy proces wchodzi do regionu $\ displaystyle A}$ . Niech oznacza początkowy rozkład łańcucha Markowa, tj. $\$ $Displaystyle X_ {0} \ sim \ mu}$ .

$_$ : Jeśli dla $wszystkich$ , łańcuch _

$\ istnieje N}$ : ${\ Displaystyle$ się łańcuch Harrisa jest aperiodyczny , jeśli taki, że ${\ Displaystyle \ forall n \ geq N}$ , ${\ Displaystyle \ forall \ mu, P [X_ {n} \ w A | X_ {0} \ w A]> 0}$

$.$ : Niech będzie aperiodycznym, powtarzającym się łańcuchem Harrisa $rozkładzie$ Jeśli ${\ Displaystyle P [R <\ infty | X_ {0} \ w A] = 1}$ wtedy jako ${\ Displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ , ${\ Displaystyle || {\ mathcal {L}} (X_ {n} | X_ {0}) - \ pi ||_ {TV} \ rightarrow 0}$ gdzie ${\ displaystyle ||\ cdot ||_ {TV}}$ oznacza całkowitą zmienność dla miar ze znakiem zdefiniowanych w tej samej mierzalnej przestrzeni.

^ Asmussen, Soren (2003). „Dalsze tematy z teorii odnowy i procesów regeneracyjnych”. Stosowane prawdopodobieństwo i kolejki . Modelowanie stochastyczne i stosowane prawdopodobieństwo . Tom. 51. s. 186–219. doi : 10.1007/0-387-21525-5_7 . ISBN 978-0-387-00211-8 .
Bibliografia _ Prawdopodobieństwo: teoria i przykłady . Thomson, 2005. ISBN 0-534-42441-4 .

[1] Asmussen, Soren (2003). „Dalsze tematy z teorii odnowy i procesów regeneracyjnych”. Stosowane prawdopodobieństwo i kolejki . Modelowanie stochastyczne i stosowane prawdopodobieństwo . Tom. 51. s. 186–219. doi : 10.1007/0-387-21525-5_7 . ISBN 978-0-387-00211-8 .

[2] Bibliografia _ Prawdopodobieństwo: teoria i przykłady . Thomson, 2005. ISBN 0-534-42441-4 .