Świetna elipsa

Sferoida _

Elipsa wielka to elipsa przechodząca przez dwa punkty sferoidy i mająca ten sam środek co sferoida. Równoważnie, jest to elipsa na powierzchni sferoidy i wyśrodkowana na początku lub krzywej utworzonej przez przecięcie sferoidy płaszczyzną przechodzącą przez jej środek. W przypadku punktów, które są oddzielone mniej niż około jednej czwartej obwodu ziemi , około ${\ Displaystyle 10 \ 000 \ \ operatorname {km}}$ , długość wielkiej elipsy łączącej punkty jest bliska (z dokładnością do jednej części na 500 000) odległości geodezyjnej . Dlatego wielka elipsa jest czasami proponowana jako odpowiednia trasa do nawigacji morskiej. Wielka elipsa jest szczególnym przypadkiem ścieżki przekroju ziemi .

Wstęp

Załóżmy, że sferoida, elipsoida obrotu, ma promień równikowy $displaystyle$ biegunową półoś $b}$ . fa $\ Displaystyle f = (ab) / a}$ ${\ Displaystyle e = {\ sqrt {f (2-f)} }}$ mimośrodowość mi , a drugi mimośród ${\ Displaystyle e '= e / (1-f)}$ . $ϕ$ dwa punkty: na (geograficznej) szerokości geograficznej $\ Displaystyle \ phi _ {1}}$ i długości geograficznej ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}}$ i na szerokości geograficznej ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {2}}$ i długość geograficzna ${\ Displaystyle \ lambda _ {2}}$ . Łącząca wielka elipsa (od ${\ displaystyle A}$ do ${$ ma długość $\ Displaystyle$ ma azymuty $alpha _ {1}}$ \ i $\ Displaystyle \ alpha _ {2}$ dwa punkty końcowe.

Istnieją różne sposoby odwzorowania elipsoidy na kulę o promieniu $za {\ displaystyle a}$ taki sposób, aby odwzorować wielką elipsę na wielkie koło, co pozwala na zastosowanie metod nawigacji po ortodromie :

Elipsoidę można rozciągnąć w kierunku równoległym do osi obrotu; odwzorowuje $kuli o$ punkt o szerokości geograficznej $elipsoidzie$ do punktu na szerokości geograficznej parametrycznej .
Punkt na elipsoidzie można odwzorować promieniowo na kuli wzdłuż linii łączącej go ze środkiem elipsoidy; odwzorowuje to punkt o szerokości geograficznej $elipsoidzie$ do punktu na kuli o szerokości $geograficznej$ szerokości geocentrycznej .
Elipsoidę można rozciągnąć do wydłużonej elipsoidy z biegunową półosią, $na$ kulę; $zachowuje$ to szerokość geograficzną - szerokość geograficzna na szerokość geograficzna .

Ostatnia metoda umożliwia łatwe wygenerowanie kolejnych punktów nawigacyjnych na wielkiej elipsie łączącej dwa znane punkty $displaystyle$ ZA $A}$ . Rozwiąż wielkie koło pomiędzy ${\ Displaystyle (\ phi _ {1}, \ lambda _ {1})}$ i ${\ Displaystyle (\ phi _ {2} ,\lambda _{2})}$ i znajdź punkty nawigacyjne na okręgu wielkim . Odwzorowują one punkty nawigacyjne na odpowiedniej wielkiej elipsie.

Odwzorowanie wielkiej elipsy na wielkie koło

Jeśli potrzebne są odległości i nagłówki, najprościej jest użyć pierwszego z odwzorowań. Szczegółowo mapowanie wygląda następująco (ten opis pochodzi z ):

Szerokość geograficzna
${\ Displaystyle a \ tan \ beta = b \ tan \ phi.}$
$elipsoidy$ do parametrycznej szerokości geograficznej kuli, $gdzie$
Długość $niezmieniona$ .
Azymut mapach elipsoidy do azymutu $na$ $,$ gdzie
${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tan \ alfa & = {\ Frac {\ tan \ gamma}} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ beta}}}, \\\ tan \gamma &={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi }}},\end{aligned}}} i$
ćwiartki ${\ displaystyle \ alpha}$ $i$ takie same.
Pozycje na wielkim okręgu o promieniu $przecięcia$ sparametryzowane długością łuku $od północnego$ równika. Wielka elipsa ma półosie $\$ 1 $Displaystyle a {\ sqrt {1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma _ {$ , where $\gamma _{0}$ is the great-circle azimuth at the northward equator crossing, and ${\ displaystyle \ sigma}$ to parametryczny kąt na elipsie.

(Podobne mapowanie do sfery pomocniczej przeprowadza się w rozwiązaniu geodezyjnym na elipsoidzie . Różnice polegają na tym, że azymut $displaystyle$ zachowany w mapowaniu, podczas gdy długość geograficzna odwzorowuje λ $\ lambda}$ do „sferycznej” długości $Równoważna$ elipsa używana do obliczania odległości ma półosie ${\ Displaystyle b {\ sqrt {1 + e' ^ {2} \ cos ^ {2} \ alfa _ {0}}}}$ i ${\ Displaystyle b}$ .)

Rozwiązanie problemu odwrotnego

„Problem odwrotny” to określenie , $s_$ , biorąc $}$ uwagę pozycje s $\$ z ZA $\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ . $}$ to rozwiązać, obliczając i rozwiązując ortodrom pomiędzy $\ displaystyle \ beta _ {1}$ ${\ Displaystyle (\ beta _ {1}, \ lambda _ {1})}$ i ${\ Displaystyle (\ beta _ {2}, \ lambda _ {2} })}$ .

Sferyczne azymuty są ponownie $)$ jako $od$ . Zatem ${\ Displaystyle \ gamma _ {0}}$ , ${\ Displaystyle \ gamma _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ gamma _ {2}}$ oraz sferyczne azymuty na równiku i ${ \ Displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ . Azymuty punktów końcowych wielkiej elipsy ${\ Displaystyle \ alpha _ {1}}$ i są obliczane na podstawie $\$ $Displaystyle \ gamma _ {1}}$ i ${2}}$ .

Półosie wielkiej elipsy można znaleźć za pomocą wartości ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$ .

Jako część rozwiązania problemu koła wielkiego określono również długości łuków ${01}}}$ { \ ${\ Displaystyle A}$ $_$ i ${\ Displaystyle B}$ . Odległość $łuk$ obliczana przez obliczenie długości części obwodu elipsy za pomocą wzoru podającego południka w kategoriach szerokości . Stosując ten wzór, użyj półosi dla wielkiej elipsy (zamiast południka) i zastąp β ${01}}$ ${\ displaystyle \ beta}$ { Displaystyle $_$ .

Rozwiązanie „bezpośredniego problemu”, określające położenie podane i $\ Displaystyle A}$ $,$ α $\ Displaystyle \ alpha _ {1}}$ i ${\ Displaystyle s_ {12} }$ , można znaleźć podobnie (wymaga to dodatkowo wzoru na odległość południka odwrotnego ). Umożliwia to również znalezienie punktów nawigacyjnych (np. serii równomiernie rozmieszczonych punktów pośrednich) w rozwiązaniu problemu odwrotnego.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Implementacja w Matlabie rozwiązań problemów prostych i odwrotnych dla wielkich elips.