1s Funkcja typu Slatera

Znormalizowana funkcja 1s typu Slatera jest funkcją używaną w opisach atomów i szerzej w opisie atomów w cząsteczkach. Jest to szczególnie ważne, ponieważ dokładny opis teorii kwantowej najmniejszego wolnego atomu, wodoru. Ma formę

${\ Displaystyle \ psi _ {1s} (\ zeta, \ mathbf {rR}) = \ lewo ({\ Frac {\ zeta ^ {3}} {\ pi}} \ prawej) ^ {1 \ ponad 2} \ ,e^{-\zeta |\mathbf {rR} |}.}$

Jest to szczególny przypadek orbitalu typu Slatera (STO), w którym główna $wykładnikiem$ kwantowa n wynosi 1. Parametr nazywany jest orbity Slatera . Powiązane zestawy funkcji można wykorzystać do skonstruowania zestawów bazowych STO-nG , które są używane w chemii kwantowej .

Zastosowania dla układów atomowych podobnych do wodoru

Atom podobny do wodoru lub atom wodoru to atom z jednym elektronem . Z wyjątkiem samego atomu wodoru (który jest neutralny) atomy te mają ładunek dodatni ${\ Displaystyle e (\ mathbf {Z} -1)$ gdzie $}$ jest liczba atomowa atomu. Ponieważ atomy podobne do wodoru są układami dwucząsteczkowymi, których oddziaływanie zależy tylko od odległości między dwiema cząstkami, ich (nierelatywistyczne) równanie Schrödingera można dokładnie rozwiązać w postaci analitycznej. Rozwiązania są funkcjami jednoelektronowymi i są określane jako orbitale atomowe podobne do wodoru . Elektroniczny hamiltonian (w jednostkach atomowych) układu wodorowego jest określony przez ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {H}} _ {e} = - {\ frac {\ nabla ^ {2}}{2}} - {\ Frac {\ mathbf {Z}} {r}}}$$,$ gdzie jest ładunkiem jądrowym wodorowego układu atomowego Elektron 1s układu wodorowego można dokładnie opisać za pomocą odpowiedniego orbitalu Slatera: $prawej) ^ {0,50} e ^ {- \ zeta r}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ psi} _ {1s} = \ lewo ({\ frac {\ zeta ^ {3}} {\ pi}}$$,$ gdzie jest wykładnikiem Slatera. Ten stan, stan podstawowy, jest jedynym stanem, który można opisać orbitalem Slatera. Orbitale Slatera nie mają węzłów promieniowych, podczas gdy stany wzbudzone atomu wodoru mają węzły promieniowe.

Dokładna energia atomu podobnego do wodoru

Energię układu wodorowego można dokładnie obliczyć analitycznie w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} = {\ Frac {\ langle \ psi _ {1s} | \ mathbf {\ kapelusz {H}} _ {e} | \ psi _ {1s} \rangle }{\langle \psi _{1s}|\psi _{1s}\rangle }}}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {\ langle \ psi _ {1s}|\ psi _ {1s} \ rangle} = 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} = \ langle \ psi _ {1s} |\ mathbf {-} {\ Frac {\ nabla ^ {2}} {2}} - {\ Frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} = \ langle \ psi _ {1s} |\ mathbf {-} {\ Frac {\ nabla ^ {2}} {2}} | \ psi _ {1s}\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} = \ langle \ psi _ {1s} |\ mathbf {-} {\ Frac {1} {2r ^ {2}}}} {\ Frac {\ częściowy }{\częściowy r}}\left(r^{2}{\frac {\częściowy }{\częściowy r}}\right)|\psi _{1s}\rangle +\langle \psi _{1s} |-{\frac {\mathbf {Z}}}{r}}|\psi _{1s}\rangle}$ . Używając wyrażenia na orbitę Slatera, ${\ Displaystyle \ mathbf {\ psi} _ {1s} = \ lewo ({\ Frac {\ zeta ^ {3}}} \pi }}\right)^{0,50}e^{-\zeta r}}$ całki można dokładnie rozwiązać. Zatem ${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} = \ lewo \ langle \ lewo ({\ Frac {\ zeta ^ {3}} {\ pi}} \ prawej) ^ {0,50} e ^ { -\zeta r}\right|\left.-\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}\left[{ \frac {-2r\zeta +r^{2}\zeta ^{2}}{2r^{2}}}\right]\right\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac { \mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} = {\ Frac {\ zeta ^ {2}} {2}} - \ zeta \ mathbf {Z}.}$

Optymalną wartość dla $uzyskuje$$zrównanie$ energii względem zera. ${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {E} _ {1s}} {d \ zeta}} = \ zeta - \ mathbf {Z} = 0}$ . Zatem ${\ Displaystyle \ mathbf {\ zeta} = \ mathbf {Z}.}$

Energia nierelatywistyczna

Poniższe wartości energii są zatem obliczane przy użyciu wyrażeń na energię i na wykładnik Slatera.

H ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} = 1}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {\ zeta} = 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} = }$ -0,5 mi h _mi $\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} =}$ -13,60569850 eV ${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} =}$ -313,75450000 kcal / mol

Złoto : Au (78+) ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} = 79}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {\ zeta} = 79}$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} =}$ -3120,5 mi _h ${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} =}$ -84913,16433850 eV ${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} =}$ -1958141,8345 kcal/mol.

Relatywistyczna energia atomowych układów wodoru

Wodorowe układy atomowe są odpowiednimi modelami do demonstrowania relatywistycznych efektów w układach atomowych w prosty sposób. Wartość oczekiwaną energii można obliczyć za pomocą orbitali Slatera z uwzględnieniem poprawki relatywistycznej dla wykładnika Slatera lub $niej$ . Relatywistycznie skorygowany wykładnik Slatera $_ { rel}={\frac {\mathbf {Z}}} {\sqrt {1-\mathbf {Z} ^{2}/c^{2}}}}}$ podany jako $=$ . Relatywistyczną energię elektronu na orbicie 1s wodorowego układu atomowego uzyskuje się rozwiązując równanie Diraca . ${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} ^ {rel} = - (c ^ {2} + \ mathbf {Z} \zeta )+{\sqrt {c^{4}+\mathbf {Z} ^{2}\zeta ^{2}}}}$ . Poniższa tabela ilustruje relatywistyczne poprawki do energii i można zobaczyć, jak relatywistyczna poprawka skaluje się z liczbą atomową układu.

Układ atomowy	${\ Displaystyle \ mathbf {Z}}$	${\ Displaystyle \ mathbf {\ zeta} _ {nonrel}}$	${\ Displaystyle \ mathbf {\ zeta} _ {rel}}$	${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} ^ {nonrel}}$	${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} ^ {rel}}$ przy użyciu ${\ Displaystyle \ mathbf {\ zeta} _ {nonrel}}$	${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1s} ^ {rel}}$ przy użyciu ${\ Displaystyle \ mathbf {\ zeta} _ {rel}}$
H	1	1.00000000	1.00002663	−0,50000000 E godz	−0,50000666 E godz	−0,50000666 E godz
				−13,60569850 eV	−13,60587963 eV	−13,60587964 eV
				−313,75450000 kcal/mol	−313,75867685 kcal/mol	−313,75867708 kcal/mol
Au(78+)	79	79.00000000	96.68296596	−3120,50000000 E godz	−3343,96438929 E godz	−3434,58676969 E godz
				−84913,16433850 eV	−90993,94255075 eV	−93459,90412098 eV
				−1958141,83450000 kcal/mol	−2098367,74995699 kcal/mol	−2155234,10926142 kcal/mol