Aksjomat Baumgartnera

W matematycznej teorii mnogości aksjomat Baumgartnera (BA) może być jednym z trzech różnych aksjomatów wprowadzonych przez Jamesa Earla Baumgartnera .

${1}}$ podzbiór ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ rzeczywistej jest $Displaystyle$ , jeśli co dwa punkty są oddzielone dokładnie innymi punktami, gdzie \ \ aleph to najmniejsza niepoliczalna liczność . Byłoby to prawdą dla samej linii rzeczywistej w ramach hipotezy kontinuum . Aksjomat wprowadzony przez Baumgartnera (1973) stwierdza, że ​​​​wszystkie $że$ podzbiory linii rzeczywistej są izomorficzne rzędu , zapewniając analog o większej liczności twierdzenia o izomorfizmie Cantora, ​​policzalne gęste podzbiory są izomorficzny. Aksjomat Baumgartnera jest konsekwencją właściwego aksjomatu wymuszającego . Jest to zgodne z kombinacją ZFC , aksjomatu Martina i zaprzeczenia hipotezy kontinuum , ale nie wynika z tych hipotez.

Inny aksjomat wprowadzony przez Baumgartnera (1975) stwierdza, że ​​aksjomat Martina dla zbiorów częściowo uporządkowanych MA _P ( κ ) jest prawdziwy dla wszystkich zbiorów częściowo uporządkowanych P , które są policzalne domknięte, dobrze spełnione i ℵ ₁ -połączone i wszystkie kardynały κ mniejsze niż 2 ^{ℵ ₁} .

Baumgartnera A jest aksjomatem dla zbiorów częściowo uporządkowanych wprowadzonym w ( Baumgartner 1983 , sekcja 7). Mówi się, że porządek częściowy ( P , ≤) spełnia aksjomat A, jeśli istnieje rodzina ≤ _n porządków częściowych na P dla n = 0, 1, 2, ... taka, że

1. ₀ ≤ jest tym samym co ≤
2. Jeśli p ≤ _{n +1} q wtedy p ≤ _n q
3. Jeśli istnieje ciąg p _n z p _{n +1} ≤ _n p _n to istnieje q z q ≤ _n p _n dla wszystkich n .
4. Jeśli I jest niekompatybilnym parami podzbiorem P , to dla wszystkich p i dla wszystkich liczb naturalnych n istnieje q takie, że q ≤ _n p i liczba elementów I zgodnych z q jest policzalna.

• Baumgartner, James E. (1975), uogólniający aksjomat Martina , niepublikowany rękopis
•    Baumgartner, James E. (1983), „Iterated forcing” , w Mathias, ARD (red.), Surveys in mnogości , London Math. soc. Notatka z wykładu Ser., tom. 87, Cambridge: Cambridge Univ. Prasa, s. 1–59, ISBN 0-521-27733-7 , MR 0823775
•     Kunen, Kenneth (2011), Teoria mnogości , Studia nad logiką, tom. 34, Londyn: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9 , MR 2905394 , Zbl 1262.03001