Matematyka

W przypadku innych zastosowań zobacz Matematyka (ujednoznacznienie) .
„Matematyka” i „Matematyka” przekierowują tutaj. W przypadku innych zastosowań zobacz Matematyka (ujednoznacznienie) .

Matematyka
Obszary
Związek z naukami ścisłymi
Portal

Matematyka to dziedzina wiedzy , która obejmuje tematy dotyczące liczb, wzorów i powiązanych struktur, kształtów i przestrzeni, w których się one znajdują, oraz ilości i ich zmian. Tematy te są reprezentowane we współczesnej matematyce z głównymi subdyscyplinami, teorią liczb , algebrą , geometrią i analizą . Wśród matematyków nie ma ogólnej zgody co do wspólnej definicji ich dyscypliny akademickiej .

Większość działań matematycznych polega na odkrywaniu właściwości obiektów abstrakcyjnych i używaniu czystego rozumu do ich udowodnienia . Obiekty te składają się albo z abstrakcji natury, albo — we współczesnej matematyce — z bytów, którym przypisuje się pewne właściwości, zwane aksjomatami . Dowód składa się z kolejnych zastosowań reguł dedukcyjnych do już ustalonych wyników . Wyniki te obejmują wcześniej udowodnione twierdzenia , aksjomaty oraz – w przypadku abstrakcji z natury – niektóre podstawowe własności, które są uważane za prawdziwe punkty wyjścia rozważanej teorii.

Matematyka jest niezbędna w naukach przyrodniczych , inżynierskich , medycynie , finansach , informatyce i naukach społecznych . Chociaż matematyka jest szeroko stosowana do modelowania zjawisk, podstawowe prawdy matematyczne są niezależne od jakichkolwiek eksperymentów naukowych. Niektóre dziedziny matematyki, takie jak statystyka i teoria gier , są rozwijane w ścisłej korelacji z ich zastosowaniami i często zaliczane są do matematyki stosowanej . . Inne obszary są rozwijane niezależnie od jakiejkolwiek aplikacji (i dlatego nazywane są czystą matematyką ), ale często później znajdują zastosowania praktyczne. Na przykład problem faktoryzacji liczb całkowitych , który sięga czasów Euklidesa w 300 rpne, nie miał praktycznego zastosowania przed jego zastosowaniem w kryptosystemie RSA , obecnie szeroko stosowanym do zabezpieczania sieci komputerowych .

Historycznie rzecz biorąc, pojęcie dowodu i związany z nim rygor matematyczny pojawiły się po raz pierwszy w matematyce greckiej , zwłaszcza w Elementach Euklidesa . Od swoich początków matematyka zasadniczo dzieliła się na geometrię i arytmetykę (zarządzanie liczbami naturalnymi i ułamkami ), aż do XVI i XVII wieku, kiedy jako nowe dziedziny wprowadzono algebra i rachunek różniczkowy nieskończenie mały . Od tego czasu interakcja między innowacjami matematycznymi a odkryciami naukowymi doprowadził do szybkiego wzrostu w rozwoju obu. Pod koniec XIX wieku fundamentalny kryzys matematyki doprowadził do usystematyzowania metody aksjomatycznej , co zwiastowało dramatyczny wzrost liczby dziedzin matematyki i obszarów ich zastosowań. Współczesna Klasyfikacja Przedmiotów Matematyki wymienia ponad 60 obszarów matematyki pierwszego stopnia.

Etymologia

Słowo matematyka pochodzi od starogreckiego máthēma ( μάθημα ), co oznacza „to, czego się uczy”, „to, co się poznaje”, stąd także „studiować” i „nauka”. Słowo to zaczęło mieć węższe i bardziej techniczne znaczenie „studium matematycznego” nawet w czasach klasycznych . Jego przymiotnikiem jest mathēmatikós ( μαθηματικός ), co oznacza „związany z nauką” lub „pilny”, co również zaczęło oznaczać „matematyczny”. W szczególności, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; łac . ars mathematica ) oznaczało „sztukę matematyczną”.

Podobnie, jedna z dwóch głównych szkół myślenia w pitagoreanizmie była znana jako mathēmatikoi (μαθηματικοί) - co w tamtym czasie oznaczało raczej „uczących się” niż „matematyków” we współczesnym znaczeniu. Pitagorejczycy byli prawdopodobnie pierwszymi, którzy ograniczyli użycie tego słowa tylko do nauki arytmetyki i geometrii. Do czasów Arystotelesa (384–322 pne) znaczenie to zostało w pełni ustalone.

W języku łacińskim i angielskim do około 1700 roku termin matematyka częściej oznaczał „ astrologię ” (lub czasami „ astronomię ”) niż „matematykę”; znaczenie stopniowo zmieniało się na obecne od około 1500 do 1800 roku. Ta zmiana spowodowała kilka błędnych tłumaczeń: na przykład ostrzeżenie św. Augustyna , że ​​chrześcijanie powinni wystrzegać się mathematici , czyli „astrologów”, jest czasami błędnie tłumaczone jako potępienie matematyków .

Pozorna forma liczby mnogiej w języku angielskim sięga łacińskiej nijakiej liczby mnogiej mathematica ( Cicero ), opartej na greckiej liczbie mnogiej ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) i oznacza z grubsza „wszystkie rzeczy matematyczne”, chociaż jest prawdopodobne, że angielski zapożyczył tylko przymiotnik matematyczny ( al) i utworzył rzeczownik matematyka na nowo, na wzór fizyki i metafizyki , odziedziczony po grecku. W języku angielskim rzeczownik matematyka przyjmuje czasownik w liczbie pojedynczej. Często jest skracany do matematyki lub, w Ameryce Północnej, matematyki .

Obszary matematyki

Przed renesansem matematyka była podzielona na dwie główne dziedziny: arytmetykę — zajmującą się manipulacją liczbami i geometrię — zajmującą się badaniem kształtów. Niektóre rodzaje pseudonauki , takie jak numerologia i astrologia, nie były wówczas wyraźnie odróżniane od matematyki.

W okresie renesansu pojawiły się jeszcze dwa obszary. Notacja matematyczna doprowadziła do algebry , która z grubsza polega na badaniu i manipulowaniu formułami . Rachunek różniczkowy , składający się z dwóch poddziedzin rachunku różniczkowego i rachunku całkowego , to badanie funkcji ciągłych , które modelują typowo nieliniowe zależności między różnymi wielkościami, reprezentowanymi przez zmienne . Ten podział na cztery główne dziedziny – arytmetykę, geometrię, algebrę, rachunek różniczkowy – przetrwał do końca XIX wieku. Obszary takie jak mechanika nieba i mechanika ciał stałych były wówczas badane przez matematyków, ale obecnie są uważane za należące do fizyki. Przedmiot kombinatoryki był badany przez większą część pisanej historii, ale nie stał się odrębną gałęzią matematyki aż do XVII wieku.

Pod koniec XIX wieku fundamentalny kryzys w matematyce i wynikająca z niego systematyzacja metody aksjomatycznej doprowadziły do ​​eksplozji nowych dziedzin matematyki. Klasyfikacja przedmiotów Matematyka 2020 obejmuje nie mniej niż sześćdziesiąt trzy obszary pierwszego stopnia. Niektóre z tych obszarów odpowiadają starszemu podziałowi, tak jak w przypadku teorii liczb (współczesna nazwa wyższej arytmetyki ) i geometrii. Kilka innych obszarów pierwszego poziomu ma w nazwie „geometrię” lub w inny sposób jest powszechnie uważana za część geometrii. Algebra i rachunek różniczkowy nie pojawiają się jako obszary pierwszego poziomu, ale są odpowiednio podzielone na kilka obszarów pierwszego poziomu. Inne obszary pierwszego poziomu pojawiły się w XX wieku lub nie były wcześniej uważane za matematykę, takie jak logika matematyczna i podstawy .

Teoria liczb

Główny artykuł: Teoria liczb
To jest spirala Ulama , która ilustruje rozkład liczb pierwszych . Ciemne ukośne linie na spirali wskazują na hipotetyczną przybliżoną niezależność między byciem pierwszym a byciem wartością wielomianu kwadratowego, przypuszczenie znane obecnie jako hipoteza Hardy'ego i Littlewooda F .

Teoria liczb rozpoczęła się od manipulacji liczbami , czyli liczbami naturalnymi a później rozszerzyła się na liczby całkowite i liczby wymierne Teoria liczb była kiedyś nazywana arytmetyką, ale obecnie termin ten jest najczęściej używany do obliczeń numerycznych . Teoria liczb sięga starożytnego Babilonu i prawdopodobnie Chiny . Dwoma wybitnymi wczesnymi teoretykami liczb byli Euklides ze starożytnej Grecji i Diofant z Aleksandrii. Współczesne badania nad teorią liczb w jej abstrakcyjnej formie są w dużej mierze przypisywane Pierre'owi de Fermatowi i Leonhardowi Eulerowi . Dziedzina w pełni zaowocowała dzięki wkładowi Adrien-Marie Legendre i Carla Friedricha Gaussa .

Wiele łatwych do określenia problemów liczbowych ma rozwiązania, które wymagają wyrafinowanych metod, często z całej matematyki. Wybitnym przykładem jest ostatnie twierdzenie Fermata . To przypuszczenie zostało sformułowane w 1637 roku przez Pierre'a de Fermata, ale zostało udowodnione dopiero w 1994 roku przez Andrew Wilesa , który użył narzędzi obejmujących teorię schematów z geometrii algebraicznej , teorię kategorii i algebrę homologiczną . Innym przykładem jest hipoteza Goldbacha , zgodnie z którą każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczby pierwsze . Stwierdzona w 1742 roku przez Christiana Goldbacha , pozostaje niesprawdzona pomimo znacznych wysiłków.

Teoria liczb obejmuje kilka podobszarów, w tym analityczną teorię liczb , algebraiczną teorię liczb , geometrię liczb (zorientowaną na metody), równania diofantyczne i teorię transcendencji (zorientowaną na problem).

Geometria

Główny artykuł: Geometria
Na powierzchni kuli geometria euklidesowa ma zastosowanie tylko jako lokalne przybliżenie. Dla większych skal suma kątów trójkąta nie jest równa 180°.

Geometria jest jedną z najstarszych gałęzi matematyki. Zaczęło się od empirycznych receptur dotyczących kształtów, takich jak linie , kąty i okręgi , które zostały opracowane głównie na potrzeby geodezji i architektury , ale od tego czasu rozkwitły w wielu innych poddziedzinach.

Zasadniczą innowacją było wprowadzenie przez starożytnych Greków koncepcji dowodu , która wymaga, aby każde twierdzenie zostało udowodnione . Na przykład nie wystarczy zweryfikować za pomocą pomiaru , że powiedzmy dwie długości są równe; ich równość musi zostać udowodniona poprzez rozumowanie z wcześniej przyjętych wyników ( twierdzeń ) i kilku podstawowych stwierdzeń. Podstawowe twierdzenia nie podlegają dowodowi, ponieważ są oczywiste ( postulaty ) lub są częścią definicji przedmiotu badań ( aksjomaty ). Ta podstawowa dla całej matematyki zasada została po raz pierwszy rozwinięta dla geometrii i została usystematyzowana przez Euklidesa około 300 roku pne w jego książce Elementy .

Powstała geometria euklidesowa to badanie kształtów i ich układów zbudowanych z linii, płaszczyzn i okręgów w płaszczyźnie euklidesowej ( geometria płaszczyzny ) i trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej .

Geometria euklidesowa była rozwijana bez zmiany metod i zakresu aż do XVII wieku, kiedy René Descartes wprowadził tak zwane współrzędne kartezjańskie . Stanowiło to poważną zmianę paradygmatu : zamiast definiowania liczb rzeczywistych jako długości odcinków linii (patrz oś liczbowa ), umożliwiło reprezentację punktów za pomocą ich współrzędnych , które są liczbami. Algebry (a później rachunku różniczkowego) można zatem używać do rozwiązywania problemów geometrycznych. Geometria została podzielona na dwa nowe pola podrzędne: geometria syntetyczna , która wykorzystuje metody czysto geometryczne, oraz geometria analityczna , która wykorzystuje współrzędne systemowo.

Geometria analityczna umożliwia badanie krzywych niezwiązanych z okręgami i liniami. Takie krzywe można zdefiniować jako wykres funkcji , którego badanie doprowadziło do geometrii różniczkowej . Można je również zdefiniować jako równania niejawne , często równania wielomianowe (z których zrodziła się geometria algebraiczna ). Geometria analityczna umożliwia również rozważenie przestrzeni euklidesowych o wymiarach wyższych niż trzy.

W XIX wieku matematycy odkryli geometrie nieeuklidesowe , które nie są zgodne z postulatem równoległości . Kwestionując prawdziwość tego postulatu, odkrycie to było postrzegane jako połączenie paradoksu Russella w ujawnianiu fundamentalnego kryzysu matematyki . Ten aspekt kryzysu został rozwiązany przez usystematyzowanie metody aksjomatycznej i przyjęcie, że prawdziwość wybranych aksjomatów nie jest problemem matematycznym. Z kolei metoda aksjomatyczna pozwala na badanie różnych geometrii uzyskanych albo przez zmianę aksjomatów, albo przez rozważenie właściwości, które nie zmieniają się pod wpływem określonych przekształceń przestrzeni .

Dzisiejsze podobszary geometrii obejmują:

Algebra

Główny artykuł: algebra
Formuła kwadratowa , która zwięźle wyraża rozwiązania wszystkich równań kwadratowych
Grupa kostki Rubika to konkretne zastosowanie teorii grup

Algebra to sztuka manipulowania równaniami i wzorami. Diophantus (III wiek) i al-Khwarizmi (IX wiek) byli dwoma głównymi prekursorami algebry. Diofant rozwiązał niektóre równania z nieznanymi liczbami naturalnymi, wyprowadzając nowe relacje, aż uzyskał rozwiązanie. Al-Khwarizmi wprowadził systematyczne metody przekształcania równań, takie jak przenoszenie terminu z jednej strony równania na drugą. Termin algebra pochodzi od arabskiego słowa al-jabr co oznacza „ponowne połączenie zepsutych części”, którego użył do nazwania jednej z tych metod w tytule swojego głównego traktatu .

Algebra stała się samodzielnym obszarem dopiero wraz z François Viète (1540–1603), który wprowadził użycie zmiennych do reprezentacji nieznanych lub nieokreślonych liczb. Zmienne pozwalają matematykom opisywać operacje, które należy wykonać na liczbach reprezentowanych za pomocą wzorów matematycznych .

Do XIX wieku algebra polegała głównie na badaniu równań liniowych (obecnie algebra liniowa ) i równań wielomianowych z jedną niewiadomą , które nazywano równaniami algebraicznymi (termin nadal w użyciu, choć może być niejednoznaczny). W XIX wieku matematycy zaczęli używać zmiennych do reprezentowania rzeczy innych niż liczby (takich jak macierze , modułowe liczby całkowite i przekształcenia geometryczne ), na których często obowiązują uogólnienia operacji arytmetycznych. koncepcja struktura algebraiczna , składająca się ze zbioru , którego elementy są nieokreślone, operacji działających na elementach zbioru oraz reguł, których muszą przestrzegać te operacje. W ten sposób zakres algebry powiększył się, obejmując badanie struktur algebraicznych. Ten przedmiot algebry został nazwany nowoczesną algebrą lub algebrą abstrakcyjną , jak ustalono pod wpływem i pracami Emmy Noether . (Ten ostatni termin pojawia się głównie w kontekście edukacyjnym, w przeciwieństwie do algebry elementarnej , która zajmuje się starszym sposobem manipulowania formułami.)

Niektóre typy struktur algebraicznych mają użyteczne i często podstawowe właściwości w wielu dziedzinach matematyki. Ich badania stały się autonomicznymi częściami algebry i obejmują:

Badanie typów struktur algebraicznych jako obiektów matematycznych jest celem algebry uniwersalnej i teorii kategorii . To ostatnie dotyczy każdej struktury matematycznej (nie tylko algebraicznej). Na samym początku została wprowadzona wraz z algebrą homologiczną w celu umożliwienia algebraicznego badania obiektów niealgebraicznych, takich jak przestrzenie topologiczne ; ten szczególny obszar zastosowań nazywa się topologią algebraiczną .

Rachunek i analiza

Główne artykuły: rachunek różniczkowy i analiza matematyczna
Sekwencja Cauchy'ego składa się z elementów, które zbliżają się do siebie w miarę postępu sekwencji (od lewej do prawej).

Rachunek różniczkowy, dawniej nazywany rachunkiem nieskończenie małym, został wprowadzony niezależnie i jednocześnie przez siedemnastowiecznych matematyków Newtona i Leibniza . Zasadniczo jest to badanie relacji między zmiennymi, które są od siebie zależne. Rachunek różniczkowy został rozszerzony w XVIII wieku przez Eulera wraz z wprowadzeniem pojęcia funkcji i wielu innych wyników. Obecnie „rachunek” odnosi się głównie do elementarnej części tej teorii, a „analiza” jest powszechnie używana do części zaawansowanych.

Analiza jest dalej podzielona na analizę rzeczywistą , w której zmienne reprezentują liczby rzeczywiste , oraz analizę zespoloną , w której zmienne reprezentują liczby zespolone . Analiza obejmuje wiele podobszarów wspólnych dla innych dziedzin matematyki, które obejmują:

Matematyka dyskretna

Główny artykuł: Matematyka dyskretna
Diagram przedstawiający dwustanowy łańcuch Markowa . Stany są reprezentowane przez „A” i „E”. Liczby to prawdopodobieństwo odwrócenia stanu.

Mówiąc najogólniej, matematyka dyskretna to nauka o pojedynczych, policzalnych obiektach matematycznych. Przykładem jest zbiór wszystkich liczb całkowitych. Ponieważ przedmiot badań jest tutaj dyskretny, metody rachunku różniczkowego i analizy matematycznej nie mają bezpośredniego zastosowania. Algorytmy — zwłaszcza ich implementacja i złożoność obliczeniowa — odgrywają główną rolę w matematyce dyskretnej.

czterech kolorach i optymalne upakowanie sfer to dwa główne problemy matematyki dyskretnej rozwiązane w drugiej połowie XX wieku. Problem P kontra NP , który pozostaje otwarty do dziś, jest również ważny dla matematyki dyskretnej, ponieważ jego rozwiązanie potencjalnie wpłynęłoby na wiele trudnych obliczeniowo problemów.

Matematyka dyskretna obejmuje:

Logika matematyczna i teoria mnogości

Diagram Venna jest powszechnie stosowaną metodą ilustrowania relacji między zbiorami.
Główne artykuły: Logika matematyczna i teoria mnogości

Te dwa przedmioty, logika matematyczna i teoria mnogości, należą do matematyki od końca XIX wieku. Przed tym okresem zbiory nie były uważane za przedmioty matematyczne, a logika , chociaż używana do dowodów matematycznych, należała do filozofii i nie była specjalnie badana przez matematyków.

Przed badaniem zbiorów nieskończonych przez Cantora matematycy niechętnie brali pod uwagę zbiory rzeczywiście nieskończone i uważali, że nieskończoność jest wynikiem niekończącego się wyliczania . Praca Cantora uraziła wielu matematyków nie tylko przez rozważenie faktycznie nieskończonych zbiorów, ale przez wykazanie, że implikuje to różne rozmiary nieskończoności, zgodnie z argumentem Cantora po przekątnej . Doprowadziło to do kontrowersji wokół teorii mnogości Cantora .

W tym samym okresie różne dziedziny matematyki doszły do ​​wniosku, że dotychczasowe intuicyjne definicje podstawowych obiektów matematycznych były niewystarczające do zapewnienia matematycznej dyscypliny . Przykładami takich intuicyjnych definicji są: „zbiór to zbiór przedmiotów”, „liczba naturalna służy do liczenia”, „punkt to kształt o zerowej długości w każdym kierunku”, „krzywa to ślad pozostawiony przez ruchomy punkt" itp.

Stało się to fundamentalnym kryzysem matematyki. Ostatecznie został on rozwiązany w matematyce głównego nurtu poprzez usystematyzowanie metody aksjomatycznej wewnątrz sformalizowanej teorii mnogości . Z grubsza mówiąc, każdy obiekt matematyczny jest zdefiniowany przez zbiór wszystkich podobnych obiektów i właściwości, które te obiekty muszą mieć. Na przykład w arytmetyce Peano liczby naturalne są definiowane przez „zero jest liczbą”, „każda liczba ma unikalnego następcę”, „każda liczba oprócz zera ma unikalnego poprzednika” oraz pewne zasady rozumowania. Ta matematyczna abstrakcja od rzeczywistości ucieleśnia się we współczesnej filozofii formalizmu , założonej przez Davida Hilberta około 1910 roku.

„Natura” obiektów zdefiniowanych w ten sposób jest problemem filozoficznym, który matematycy pozostawiają filozofom, nawet jeśli wielu matematyków ma opinie na temat tej natury i wykorzystuje swoją opinię - czasami nazywaną „intuicją” - do kierowania swoimi badaniami i dowodami. Podejście to pozwala traktować „logiki” (czyli zbiory dozwolonych reguł dedukcji), twierdzenia, dowody itp. jako obiekty matematyczne i dowodzić twierdzeń o nich. Na przykład twierdzenia Gödla o niezupełności stwierdzają, z grubsza mówiąc, że w każdym spójnym systemie formalnym który zawiera liczby naturalne, istnieją twierdzenia, które są prawdziwe (to jest dowodliwe w silniejszym systemie), ale nie do udowodnienia wewnątrz systemu. To podejście do podstaw matematyki zostało zakwestionowane w pierwszej połowie XX wieku przez matematyków kierowanych przez Brouwera , który promował logikę intuicjonistyczną , w której wyraźnie brakuje prawa wyłączonego środka .

Te problemy i debaty doprowadziły do ​​​​szerokiej ekspansji logiki matematycznej, z podobszarami, takimi jak teoria modeli (modelowanie niektórych teorii logicznych w innych teoriach), teoria dowodu , teoria typów , teoria obliczalności i teoria złożoności obliczeniowej . Chociaż te aspekty logiki matematycznej zostały wprowadzone przed powstaniem komputerów , ich wykorzystanie w projektowaniu kompilatorów , certyfikacji programów , asystentach sprawdzających i innych aspektach informatyki , przyczyniły się z kolei do rozszerzenia tych teorii logicznych.

Statystyka i inne nauki decyzyjne

Główne artykuły: Statystyka i teoria prawdopodobieństwa
Niezależnie od postaci losowego rozkładu populacji (μ), średnia z próbkowania (x̄) dąży do rozkładu Gaussa , a jej wariancja (σ) jest określona przez centralne twierdzenie graniczne teorii prawdopodobieństwa.

Dziedzina statystyki to aplikacja matematyczna wykorzystywana do gromadzenia i przetwarzania próbek danych przy użyciu procedur opartych na metodach matematycznych, zwłaszcza teorii prawdopodobieństwa . Statystycy generują dane za pomocą losowego doboru próby lub losowych eksperymentów . Projekt próby statystycznej lub eksperymentu określa metody analityczne, które zostaną użyte. Analiza danych z badań obserwacyjnych odbywa się za pomocą modeli statystycznych i teorii wnioskowania , za pomocą selekcji modeli i oszacowanie . Modele i wynikające z nich przewidywania powinny następnie zostać przetestowane w odniesieniu do nowych danych .

Teoria statystyki bada problemy decyzyjne, takie jak minimalizacja ryzyka ( oczekiwanej straty ) działania statystycznego, na przykład stosowanie procedury w szacowaniu parametrów , testowaniu hipotez i wybieraniu najlepszych . W tych tradycyjnych obszarach statystyki matematycznej problem statystyczno-decyzyjny jest formułowany poprzez minimalizację funkcji celu , takiej jak oczekiwana strata lub koszt , przy określonych ograniczeniach. Na przykład zaprojektowanie ankiety często wiąże się z minimalizacją kosztów oszacowania średniej populacji przy danym poziomie ufności. Ze względu na zastosowanie optymalizacji matematyczna teoria statystyki pokrywa się z innymi naukami decyzyjnymi , takimi jak badania operacyjne , teoria sterowania i ekonomia matematyczna .

Matematyka obliczeniowa

Główny artykuł: Matematyka obliczeniowa

Matematyka obliczeniowa to badanie problemów matematycznych , które są zwykle zbyt duże dla ludzkich zdolności liczbowych. Analiza numeryczna bada metody rozwiązywania problemów w analizie z wykorzystaniem analizy funkcjonalnej i teorii aproksymacji ; analiza numeryczna szeroko obejmuje badanie aproksymacji i dyskretyzacji ze szczególnym uwzględnieniem błędów zaokrągleń . Analiza numeryczna i szerzej informatyka naukowa badają również nieanalityczne tematy nauk matematycznych, zwłaszcza algorytmiki- teoria macierzy i grafów . Inne dziedziny matematyki obliczeniowej obejmują algebrę komputerową i obliczenia symboliczne .

Historia

Osobny artykuł: Historia matematyki

Starożytny

Historia matematyki to stale rosnąca seria abstrakcji. Mówiąc ewolucyjnie, pierwszą odkrytą abstrakcją, podzielaną przez wiele zwierząt, była prawdopodobnie abstrakcja liczb: uświadomienie sobie, że na przykład kolekcja dwóch jabłek i kolekcja dwóch pomarańczy (powiedzmy) mają coś wspólnego, a mianowicie że jest ich dwóch . Jak dowodzą liczby znalezione na kościach, oprócz umiejętności liczenia przedmiotów fizycznych, ludy prehistoryczne mogły również wiedzieć, jak liczyć wielkości abstrakcyjne, takie jak dni, pory roku czy lata.

Babilońska tabliczka matematyczna Plimpton 322 , datowana na 1800 pne

Dowody na bardziej złożoną matematykę pojawiają się dopiero około 3000 rpne , kiedy Babilończycy i Egipcjanie zaczęli używać arytmetyki, algebry i geometrii do podatków i innych obliczeń finansowych, do budowy i konstrukcji oraz do astronomii. Najstarsze teksty matematyczne z Mezopotamii i Egiptu pochodzą z okresu od 2000 do 1800 pne. Wiele wczesnych tekstów wspomina o trójkach Pitagorasa , a zatem, wnioskując, twierdzenie Pitagorasa wydaje się być najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym pojęciem matematycznym po podstawowej arytmetyce i geometrii. Tak jest w matematyce babilońskiej elementarna arytmetyka ( dodawanie , odejmowanie , mnożenie i dzielenie ) pojawia się po raz pierwszy w zapisach archeologicznych. Babilończycy posiadali również system wartości miejsc i używali sześćdziesiętnego systemu liczbowego, który jest nadal używany do mierzenia kątów i czasu.

W VI wieku pne matematyka grecka zaczęła wyłaniać się jako odrębna dyscyplina i wydawało się, że niektórzy starożytni Grecy, tacy jak pitagorejczycy , uważali ją za odrębny przedmiot. Około 300 rpne Euklides zorganizował wiedzę matematyczną za pomocą postulatów i pierwszych zasad, które przekształciły się w metodę aksjomatyczną stosowaną obecnie w matematyce, składającą się z definicji, aksjomatu, twierdzenia i dowodu. Jego książka Elements jest powszechnie uważana za najbardziej udany i wpływowy podręcznik wszechczasów. Za największego matematyka starożytności często uważa się Archimedesa (ok. 287–212 pne) z Syrakuz . Opracował wzory do obliczania pola powierzchni i objętości brył obrotowych i wykorzystał metodę wyczerpania do obliczenia pola pod łukiem paraboli z sumowaniem nieskończonego szeregu , w sposób niezbyt odmienny od współczesnego rachunku różniczkowego. Inne godne uwagi osiągnięcia matematyki greckiej to przekroje stożkowe ( Apoloniusz z Perge , III wpne), trygonometria ( Hiparch z Nicei , II w. p.n.e.) i początki algebry (Diofant, III w. n.e.).

Liczby używane w manuskrypcie Bakhshali , datowanym na okres od II wieku pne do II wieku naszej ery

Hindusko -arabski system liczbowy i zasady korzystania z jego operacji, używane obecnie na całym świecie, ewoluowały w ciągu pierwszego tysiąclecia naszej ery w Indiach i zostały przekazane światu zachodniemu za pośrednictwem matematyki islamskiej . Inne godne uwagi osiągnięcia matematyki indyjskiej obejmują współczesną definicję i przybliżenie sinusa i cosinusa oraz wczesną formę nieskończonych szeregów .

Średniowieczne i późniejsze

Strona z Algebry al-Khwārizmī

W Złotym Wieku Islamu , zwłaszcza w IX i X wieku, w matematyce pojawiło się wiele ważnych innowacji opartych na matematyce greckiej. Najbardziej godnym uwagi osiągnięciem matematyki islamskiej był rozwój algebry. Inne osiągnięcia okresu islamu to postęp w trygonometrii sferycznej i dodanie kropki dziesiętnej do systemu liczb arabskich. Wielu wybitnych matematyków z tego okresu było Persami, na przykład Al-Khwarismi, Omar Khayyam i Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī . Greckie i arabskie teksty matematyczne zostały z kolei przetłumaczone na łacinę w średniowieczu i udostępnione w Europie.

We wczesnym okresie nowożytnym matematyka zaczęła rozwijać się w Europie Zachodniej w coraz szybszym tempie , wraz z innowacjami, które zrewolucjonizowały matematykę, takimi jak wprowadzenie zmiennych i notacji symbolicznej przez François Viète (1540–1603), wprowadzenie współrzędnych przez René Descartesa ( 1596-1650) za sprowadzenie geometrii do algebry oraz rozwój rachunku różniczkowego przez Izaaka Newtona (1642-1726/27) i Gottfrieda Leibniza (1646-1716) w XVII wieku. Leonhard Euler (1707–1783), najwybitniejszy matematyk XVIII wieku, połączył te innowacje w jeden korpus ze znormalizowaną terminologią i uzupełnił je odkryciem i dowodem wielu twierdzeń. Być może czołowym matematykiem XIX wieku był niemiecki matematyk Carl Gauss, który wniósł liczne wkłady w dziedziny takie jak algebra, analiza, geometria różniczkowa , teoria macierzy , teoria liczb i statystyka . Na początku XX wieku Kurt Gödel przekształcił matematykę, publikując swoje twierdzenia o niezupełności, które częściowo pokazują, że każdy spójny system aksjomatyczny – jeśli jest wystarczająco silny, aby opisać arytmetykę – będzie zawierał prawdziwe twierdzenia, których nie można udowodnić.

Od tego czasu matematyka znacznie się rozwinęła i doszło do owocnej interakcji między matematyką a naukami ścisłymi , z korzyścią dla obu stron. Do dziś dokonuje się odkryć matematycznych. Według Michaiła B. Sevryuka w wydaniu Biuletynu Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego ze stycznia 2006 r . „Liczba artykułów i książek zawartych w Mathematical Review Baza danych od 1940 roku (pierwszy rok działalności MR) liczy obecnie ponad 1,9 miliona, a każdego roku do bazy trafia ponad 75 tysięcy pozycji. Przytłaczająca większość prac w tym oceanie zawiera nowe twierdzenia matematyczne i ich dowody”.

Notacja symboliczna i terminologia

Główne artykuły: notacja matematyczna , język matematyki i słownik matematyki
notacji sumowania sigma (Σ).

Notacja matematyczna jest szeroko stosowana w nauce i inżynierii do przedstawiania złożonych pojęć i właściwości w zwięzły, jednoznaczny i dokładny sposób. Notacja ta składa się z symboli służących do przedstawiania operacji , nieokreślonych liczb, relacji i wszelkich innych obiektów matematycznych, a następnie składania ich w wyrażenia i wzory. Mówiąc dokładniej, liczby i inne obiekty matematyczne są reprezentowane przez symbole zwane zmiennymi, które na ogół są łacińskie lub greckie liter i często zawierają indeksy dolne . Operacje i relacje są generalnie reprezentowane przez określone symbole lub glify , takie jak + ( plus ), × ( mnożenie ) , ( , = ( równość i < ( mniej niż ). Wszystkie te symbole są ogólnie pogrupowane zgodnie z określonymi zasadami tworzenia wyrażeń i formuł. Zwykle wyrażenia i formuły nie pojawiają się same, ale są zawarte w zdaniach bieżącego języka, gdzie wyrażenia odgrywają rolę wyrażeń rzeczownikowych, a formuły pełnią rolę klauzul .

Matematyka rozwinęła bogatą terminologię obejmującą szeroki zakres dziedzin, które badają właściwości różnych abstrakcyjnych, wyidealizowanych obiektów i ich wzajemne oddziaływanie. Opiera się na rygorystycznych definicjach , które stanowią standardową podstawę komunikacji. Aksjomat lub postulat jest twierdzeniem matematycznym, które przyjmuje się za prawdziwe bez potrzeby dowodu. Jeśli stwierdzenie matematyczne nie zostało jeszcze udowodnione (lub obalone), nazywa się je przypuszczeniem . Poprzez serię rygorystycznych argumentów wykorzystujących rozumowanie dedukcyjne , stwierdzenie, które zostało udowodnione być prawdziwym, staje się twierdzeniem. Specjalistyczne twierdzenie, które jest używane głównie do udowodnienia innego twierdzenia, nazywa się lematem . Udowodniona instancja, która stanowi część bardziej ogólnego ustalenia, nazywana jest konsekwencją .

Liczne terminy techniczne używane w matematyce to neologizmy , takie jak wielomian i homeomorfizm . Inne terminy techniczne to słowa używane w powszechnym języku, które są używane w dokładnym znaczeniu, które może nieznacznie różnić się od ich powszechnego znaczenia. Na przykład w matematyce „ lub ” oznacza „jeden, drugi lub oba”, podczas gdy w języku potocznym jest albo niejednoznaczny, albo oznacza „jeden lub drugi, ale nie oba” (w matematyce to drugie jest nazywane „ wyłącznym Lub "). Wreszcie, wiele terminów matematycznych to powszechnie używane słowa, które mają zupełnie inne znaczenie. Może to prowadzić do zdań, które są poprawnymi i prawdziwymi twierdzeniami matematycznymi, ale wydają się być nonsensem dla osób, które nie mają wymaganego doświadczenia. Na przykład , „każdy wolny moduł jest płaski ” i „ pole jest zawsze pierścieniem ”.

Związek z naukami ścisłymi

Matematyka jest wykorzystywana w większości nauk ścisłych do modelowania zjawisk, co następnie umożliwia przewidywanie na podstawie praw eksperymentalnych. Niezależność prawdy matematycznej od jakichkolwiek eksperymentów implikuje, że dokładność takich przewidywań zależy tylko od adekwatności modelu. Niedokładne prognozy nie wynikają z błędnych koncepcji matematycznych, ale implikują potrzebę zmiany stosowanego modelu matematycznego. Na przykład peryhelium precesji Merkurego można było wyjaśnić dopiero po pojawieniu się ogólnej teorii względności Einsteina , która zastąpiła Prawo grawitacji Newtona jako lepszy model matematyczny.

Nadal toczy się filozoficzna debata, czy matematyka jest nauką. Jednak w praktyce matematyków zazwyczaj łączy się z naukowcami, a matematyka ma wiele wspólnego z naukami fizycznymi. Podobnie jak oni, jest falsyfikowalna , co w matematyce oznacza, że ​​jeśli wynik lub teoria jest błędna, można to udowodnić, podając kontrprzykład . Podobnie jak w nauce, teorie i wyniki (twierdzenia) często uzyskuje się z eksperymentów . W matematyce eksperymentowanie może polegać na obliczeniach na wybranych przykładach lub na badaniu figur lub innych reprezentacji obiektów matematycznych (często reprezentacji umysłowych bez fizycznego wsparcia). Na przykład, zapytany, jak doszedł do swoich twierdzeń, Gauss odpowiedział kiedyś „durch planmässiges Tattonieren” (poprzez systematyczne eksperymenty). Jednak niektórzy autorzy podkreślają, że matematyka różni się od współczesnego pojmowania nauki tym, że nie opierając się na dowodach empirycznych.


Matematyka czysta i stosowana

Główne artykuły: Matematyka stosowana i Matematyka czysta
Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Isaac Newton (po lewej) i Gottfried Wilhelm Leibniz opracowali rachunek różniczkowy nieskończenie mały.

Aż do XIX wieku rozwój matematyki na Zachodzie był motywowany głównie potrzebami techniki i nauki i nie było wyraźnego rozróżnienia między matematyką czystą i stosowaną. Na przykład liczby naturalne i arytmetykę wprowadzono na potrzeby liczenia, a geometrię motywowano geodezją, architekturą i astronomią. Później Isaac Newton wprowadził rachunek nieskończenie mały do ​​wyjaśnienia ruchu planet z jego prawem grawitacji. Co więcej, większość matematyków była również naukowcami, a wielu naukowców było także matematykami. Jednak godny uwagi wyjątek wystąpił w tradycji czystej matematyki w starożytnej Grecji .

W XIX wieku matematycy tacy jak Karl Weierstrass i Richard Dedekind coraz bardziej koncentrowali swoje badania na problemach wewnętrznych, czyli czystej matematyce . Doprowadziło to do podziału matematyki na matematykę czystą i matematykę stosowaną , przy czym ta ostatnia jest często uważana za mającą niższą wartość wśród matematycznych purystów. Jednak granice między nimi często się zacierają.

Następstwa II wojny światowej doprowadziły do ​​gwałtownego rozwoju matematyki stosowanej w Stanach Zjednoczonych i innych krajach. Wiele teorii opracowanych do zastosowań okazało się interesujących z punktu widzenia czystej matematyki, a wiele wyników czystej matematyki miało zastosowania poza matematyką; z kolei badanie tych zastosowań może dać nowe spojrzenie na „czystą teorię”.

Przykładem pierwszego przypadku jest teoria dystrybucji , wprowadzona przez Laurenta Schwartza do sprawdzania poprawności obliczeń wykonywanych w mechanice kwantowej , która od razu stała się ważnym narzędziem (czystej) analizy matematycznej. Przykładem drugiego przypadku jest rozstrzygalność teorii liczb rzeczywistych pierwszego rzędu , problem czystej matematyki, którego prawdziwość udowodnił Alfred Tarski , z algorytmem niemożliwym do zaimplementowania ze względu na zbyt dużą złożoność obliczeniową. Aby uzyskać algorytm, który można zaimplementować i który może rozwiązywać układy równań i nierówności wielomianowych, George Collins wprowadził cylindryczny rozkład algebraiczny , który stał się podstawowym narzędziem w rzeczywistej geometrii algebraicznej .

W dzisiejszych czasach rozróżnienie między matematyką czystą i stosowaną jest bardziej kwestią osobistych celów badawczych matematyków niż podziału matematyki na szerokie obszary. Klasyfikacja przedmiotów z matematyki zawiera sekcję dotyczącą „matematyki ogólnej stosowanej”, ale nie wspomina o „matematyce czystej”. Jednak terminy te są nadal używane w nazwach niektórych uniwersyteckich , na przykład na Wydziale Matematyki Uniwersytetu w Cambridge .

Nieuzasadniona skuteczność

Nierozsądna efektywność matematyki to zjawisko, które zostało nazwane i po raz pierwszy wyjaśnione przez fizyka Eugene'a Wignera . Faktem jest, że wiele teorii matematycznych, nawet te „najczystsze”, ma zastosowania poza pierwotnym przedmiotem. Zastosowania te mogą całkowicie wykraczać poza ich początkowy obszar matematyki i mogą dotyczyć zjawisk fizycznych, które były całkowicie nieznane, gdy wprowadzano teorię matematyczną. Przykłady nieoczekiwanych zastosowań teorii matematycznych można znaleźć w wielu dziedzinach matematyki.

Godnym uwagi przykładem jest rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze , który został odkryty ponad 2000 lat przed jego powszechnym zastosowaniem do bezpiecznej komunikacji internetowej za pośrednictwem kryptosystemu RSA . Drugim historycznym przykładem jest teoria elips . Były badane przez starożytnych greckich matematyków jako przekroje stożkowe (czyli przecięcia stożków z płaszczyznami). Prawie 2000 lat później Johannes Kepler odkrył trajektorie planet to elipsy.

W XIX wieku wewnętrzny rozwój geometrii (matematyki czystej) doprowadził do zdefiniowania i zbadania geometrii nieeuklidesowych, przestrzeni o wymiarze większym niż trzy oraz rozmaitości . W tamtym czasie koncepcje te wydawały się całkowicie oderwane od fizycznej rzeczywistości, ale na początku XX wieku Albert Einstein opracował teorię względności , która zasadniczo wykorzystuje te koncepcje. W szczególności czasoprzestrzeń szczególnej teorii względności jest przestrzenią nieeuklidesową o wymiarze czwartym, a czasoprzestrzeń ogólnej teorii względności jest (zakrzywioną) rozmaitością o wymiarze czwartym.

Uderzającym aspektem interakcji między matematyką a fizyką jest to, że matematyka napędza badania w fizyce. Ilustrują to odkrycia pozytonu i barionu W obu przypadkach równania teorii miały niewyjaśnione rozwiązania, co doprowadziło do przypuszczenia istnienia nieznanej cząstki i przeszukania tych cząstek. W obu przypadkach cząstki te odkryto kilka lat później w drodze specjalnych eksperymentów.

Nauki szczegółowe

Fizyka

Główny artykuł: Związek między matematyką a fizyką
Schemat wahadła

Matematyka i fizyka wzajemnie wpływały na swoją współczesną historię. Współczesna fizyka obficie wykorzystuje matematykę i jest również motywacją do głównych osiągnięć matematycznych. Powyżej podano przykłady tej silnej interakcji.

Przetwarzanie danych

Dalsze informacje: Informatyka teoretyczna i Matematyka obliczeniowa

Rozwój technologii w XX wieku otworzył drogę nowej nauce: informatyce . Dziedzina ta jest ściśle związana z matematyką na kilka sposobów. Informatyka teoretyczna ma zasadniczo charakter matematyczny. Technologie komunikacyjne wykorzystują gałęzie matematyki, które mogą być bardzo stare (np. arytmetyka), zwłaszcza w odniesieniu do bezpieczeństwa transmisji, w kryptografii i teorii kodowania . Matematyka dyskretna jest przydatna w wielu dziedzinach informatyki, takich jak teoria złożoności , teoria informacji , teoria grafów i tak dalej. [ potrzebne źródło ]

W zamian komputery stały się również niezbędne do uzyskiwania nowych wyników. Jest to grupa technik znanych jako matematyka eksperymentalna , która polega na wykorzystaniu eksperymentów do odkrywania spostrzeżeń matematycznych. Najbardziej znanym przykładem jest twierdzenie o czterech kolorach , które zostało udowodnione w 1976 roku za pomocą komputera. Zrewolucjonizowało to tradycyjną matematykę, w której obowiązywała zasada, że ​​matematyk powinien weryfikować każdą część dowodu. W 1998 roku hipoteza Keplera o upakowaniu sfer wydawało się być również częściowo udowodnione przez komputer. Od tego czasu międzynarodowy zespół pracował nad napisaniem formalnego dowodu; został ukończony (i zweryfikowany) w 2015 roku.

Formalnie napisany dowód można zweryfikować za pomocą programu zwanego asystentem dowodu . Programy te są przydatne w sytuacjach, gdy nie ma pewności co do poprawności dowodu.

Głównym otwartym problemem w informatyce teoretycznej jest P kontra NP. Jest to jeden z siedmiu problemów nagrody milenijnej .

Biologia i chemia

Główne artykuły: biologia matematyczna i teoretyczna oraz chemia matematyczna
Skóra tej gigantycznej rozdymki ma wzór Turinga , który można modelować za pomocą systemów reakcyjno-dyfuzyjnych .

Biologia szeroko posługuje się prawdopodobieństwem - na przykład w ekologii lub neurobiologii . Jednak większość dyskusji na temat prawdopodobieństwa w biologii koncentruje się na koncepcji dostosowania ewolucyjnego .

Ekologia intensywnie wykorzystuje modelowanie do symulacji dynamiki populacji , badania ekosystemów, takich jak model drapieżnik-ofiara, pomiaru rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń lub oceny zmian klimatu. Dynamikę populacji można modelować za pomocą sprzężonych równań różniczkowych, takich jak równania Lotki – Volterry . Istnieje jednak problem walidacji modelu . Jest to szczególnie dotkliwe, gdy wyniki modelowania wpływają na decyzje polityczne; istnienie sprzecznych modeli mogłoby pozwolić narodom wybrać najkorzystniejszy model.

Ewolucję genotypu można modelować za pomocą zasady Hardy'ego-Weinberga . [ potrzebne źródło ]

Filogeografia wykorzystuje modele probabilistyczne. [ potrzebne źródło ]

Medycyna wykorzystuje statystyczne testowanie hipotez , oparte na danych z badań klinicznych , w celu ustalenia, czy nowe leczenie działa. [ potrzebne źródło ]

Od początku XX wieku chemia wykorzystuje komputery do modelowania cząsteczek w trzech wymiarach. Okazuje się, że postać makrocząsteczek w biologii jest zmienna i determinuje działanie. Takie modelowanie wykorzystuje geometrię euklidesową; sąsiednie atomy tworzą wielościan , którego odległości i kąty są ustalone przez prawa interakcji. [ potrzebne źródło ]

Nauka o ziemi

Główny artykuł: Geomatematyka

Geologia strukturalna i klimatologia wykorzystują modele probabilistyczne do przewidywania ryzyka katastrof naturalnych. [ Potrzebne źródło ] Podobnie meteorologia , oceanografia i planetologia również wykorzystują matematykę ze względu na intensywne wykorzystanie modeli. [ potrzebne źródło ]

Nauki społeczne

Dalsze informacje: ekonomia matematyczna i dynamika historyczna

Dziedziny matematyki wykorzystywane w naukach społecznych to rachunek prawdopodobieństwa/statystyka oraz równania różniczkowe ( stochastyczne lub deterministyczne). [ potrzebne źródło ] Obszary te są wykorzystywane w takich dziedzinach jak socjologia , psychologia , ekonomia , finanse i językoznawstwo. [ potrzebne źródło ]

Krzywe podaży i popytu , takie jak ta, są podstawą ekonomii matematycznej.

  Podstawowym postulatem ekonomii matematycznej jest postulat racjonalnego indywidualnego aktora – Homo oeconomicus ( dosł. „człowiek ekonomiczny”). W tym modelu każdy dąży wyłącznie do zgromadzenia jak największego zysku i zawsze dokonuje optymalnych wyborów, korzystając z doskonałych informacji . [ potrzebne lepsze źródło ] To atomistyczne spojrzenie na ekonomię pozwala stosunkowo łatwo zmatematyzować swoje myślenie, ponieważ indywidualne obliczenia są przekładane na obliczenia matematyczne. Takie modelowanie matematyczne pozwala na zbadanie mechanizmów ekonomicznych, które byłyby bardzo trudne do odkrycia za pomocą analizy „literackiej”. [ potrzebne źródło ] Na przykład wyjaśnienia cykli gospodarczych nie są trywialne. Bez modelowania matematycznego trudno wyjść poza proste obserwacje statystyczne lub niesprawdzone spekulacje. [ potrzebne źródło ]

Jednak wiele osób odrzuciło lub skrytykowało koncepcję Homo oeconomicus . [ potrzebne lepsze źródło ] Ekonomiści zauważają, że prawdziwi ludzie mają zwykle ograniczone informacje i często dokonują złych wyborów. [ potrzebne lepsze źródło ] Ponadto, jak pokazują eksperymenty laboratoryjne, ludziom zależy na sprawiedliwości, a czasem na altruizmie, a nie tylko na osobistych korzyściach. [ potrzebne lepsze źródło ] Zdaniem krytyków, matematyzacja jest przykrywką, która pozwala na naukową waloryzację materiału. [ potrzebne źródło ]

Na początku XX wieku pojawił się ruch wyrażania ruchów historycznych w formułach. [ potrzebne źródło ] W 1922 roku Nikołaj Kondratiew odkrył około 50-letni cykl Kondratiewa , który wyjaśnia fazy wzrostu gospodarczego lub kryzysu. Pod koniec XIX wieku Nicolas-Remi Brück [ fr ] i Charles Henri Lagrange [ fr ] rozszerzyli swoją analizę na geopolitykę . Chcieli ustalić historyczne istnienie rozległych ruchów, które doprowadziły ludy do ich apogeum, a następnie do ich upadku. [ Konieczna weryfikacja ] Niedawno Peter Turchin od lat 90. pracował nad rozwojem kliodynamiki . (W szczególności odkrył cykl Turchina, który przewiduje, że skoki przemocy występują w krótkich cyklach wynoszących około 50 lat, nałożonych na dłuższy cykl wynoszący około 200–300 lat).

Mimo to matematyzacja nauk społecznych nie jest pozbawiona niebezpieczeństw. W kontrowersyjnej książce Fashionable Nonsense (1997) Sokal i Bricmont potępili bezpodstawne lub nadużycia terminologii naukowej, zwłaszcza z matematyki lub fizyki, w naukach społecznych. Badanie systemów złożonych (ewolucja bezrobocia, kapitału biznesowego, ewolucja demograficzna populacji itp.) wykorzystuje elementarną wiedzę matematyczną. Jednak wybór kryteriów liczenia, zwłaszcza bezrobocia, lub modeli może budzić kontrowersje. [ potrzebny cytat ]

Związek z astrologią i ezoteryką

od dawna ma ścisły związek z astrologią . Nastawiony na motywy astralne, motywował do studiowania astronomii. Znani matematycy byli również uważani za znanych astrologów; na przykład Ptolemeusz , astronomowie arabscy, Regiomantus , Cardano , Kepler czy John Dee . W średniowieczu astrologia była uważana za naukę obejmującą matematykę. W swojej encyklopedii Theodor Zwinger napisał, że astrologia jest nauką matematyczną, która bada „aktywny ruch ciał, gdy działają one na inne ciała”. Zastrzegł dla matematyki potrzebę „obliczenia z prawdopodobieństwem wpływów [gwiazd]”, aby przewidzieć ich „koniunkcje i przeciwieństwa”. Współczesne wschodnie teorie astrologiczne szczycą się stosowaniem metod naukowych. W szczególności, astrologia statystyczna wykorzystuje testy statystyczne, aby dostarczyć dowodów na ewentualne korelacje między pozycjami gwiazd a przyszłością ludzi. Mimo to, od 2009 roku badania Paula Choisnarda [ fr ] i Michela Gauquelina , prowadzone na marginesie badań naukowych, nie znalazły żadnych dopuszczalnych dowodów na związek przyczynowo-skutkowy.

Matematyka jest również składnikiem ezoteryki . Bardzo często sami matematycy ulegali pokusie znalezienia w cyfrach lub liczbach ukrytego znaczenia, które służy jako klucz do odkrywania świata. W szkole pitagorejskiej każda liczba miała znaczenie symboliczne, a przysięgę wtajemniczonych recytowała tetraktys . Podobnie Platon nie zadowalał się wyliczaniem brył noszących jego imię; każdemu przypisał też naturę (woda, powietrze, ogień, ziemia, wszechświat). Arytmozofia [ wymagane wyjaśnienie ] , numerologia i gematria skłonni byli, za pomocą obliczeń z liczbami, odnajdywać w tekstach ukryte znaczenia lub wydobywać z nich moc predykcyjną. Ta fascynacja liczbami i figurami trwa do dziś, gdyż niektórzy przypisują ukryte cnoty pentagramowi czy złotemu podziałowi .

Od XXI wieku dyscypliny te nie są już uważane za nauki.

Filozofia

Osobny artykuł: Filozofia matematyki

Rzeczywistość

Związek między matematyką a materialną rzeczywistością był przedmiotem filozoficznych debat co najmniej od czasów Pitagorasa . Starożytny filozof Platon argumentował, że abstrakcje, które odzwierciedlają rzeczywistość materialną, same mają rzeczywistość istniejącą poza przestrzenią i czasem. W rezultacie filozoficzny pogląd, że obiekty matematyczne w jakiś sposób istnieją samodzielnie w abstrakcji, jest często określany jako platonizm . Niezależnie od ich ewentualnych poglądów filozoficznych, współczesnych matematyków można ogólnie uważać za platoników, ponieważ myślą o swoich przedmiotach badań i mówią o nich jako o przedmiotach rzeczywistych.

Armand Borel podsumował ten pogląd na rzeczywistość matematyczną w następujący sposób i podał cytaty GH Hardy'ego , Charlesa Hermite'a , Henri Poincaré i Alberta Einsteina, które potwierdzają jego poglądy.

Coś staje się obiektywne (w przeciwieństwie do „subiektywnego”), gdy tylko jesteśmy przekonani, że istnieje w umysłach innych w takiej samej postaci jak w naszej i że możemy o tym wspólnie myśleć i dyskutować. Ponieważ język matematyki jest tak precyzyjny, idealnie nadaje się do definiowania pojęć, dla których istnieje taki konsensus. Moim zdaniem to wystarczy, aby dać nam poczucie obiektywnej egzystencji, rzeczywistości matematyki…

Niemniej jednak platonizm i towarzyszące mu poglądy na temat abstrakcji nie wyjaśniają nieuzasadnionej skuteczności matematyki.

Proponowane definicje

Główny artykuł: Definicje matematyki

Nie ma ogólnego konsensusu co do definicji matematyki ani jej statusu epistemologicznego — to znaczy jej miejsca wśród innych działań człowieka. Wielu zawodowych matematyków nie interesuje się definicją matematyki lub uważa ją za niedefiniowalną. Nie ma nawet zgody co do tego, czy matematyka jest sztuką, czy nauką. Niektórzy mówią po prostu: „matematyka jest tym, czym zajmują się matematycy”. Ma to sens, ponieważ istnieje wśród nich silna zgoda co do tego, czym jest matematyka, a czym nie jest. Większość proponowanych definicji próbuje zdefiniować matematykę na podstawie jej przedmiotu badań.

Arystoteles zdefiniował matematykę jako „naukę o ilości” i ta definicja obowiązywała aż do XVIII wieku. Jednak Arystoteles zauważył również, że samo skupienie się na ilości może nie odróżnić matematyki od nauk ścisłych, takich jak fizyka; jego zdaniem abstrakcja i badanie ilości jako właściwości „oddzielnej w myśli” od rzeczywistych przypadków odróżnia matematykę. W XIX wieku, kiedy matematycy zaczęli zajmować się tematami — takimi jak zbiory nieskończone — które nie mają wyraźnego związku z rzeczywistością fizyczną, podano wiele nowych definicji. Przy dużej liczbie nowych dziedzin matematyki, które pojawiły się od początku XX wieku i wciąż się pojawiają, zdefiniowanie matematyki przez ten przedmiot badań staje się zadaniem niemożliwym do wykonania.

Innym podejściem do definiowania matematyki jest użycie jej metod. Tak więc obszar badań można zakwalifikować jako matematykę, gdy tylko można udowodnić twierdzenie - twierdzenia, których ważność opiera się na dowodzie, czyli dedukcji czysto logicznej. Inni przyjmują perspektywę, że matematyka jest badaniem aksjomatycznej teorii mnogości, ponieważ ta nauka jest obecnie podstawową dyscypliną dla większości współczesnej matematyki.

Rygor

Zobacz też: Logika

Rozumowanie matematyczne wymaga dyscypliny . Oznacza to, że definicje muszą być absolutnie jednoznaczne, a dowody muszą być redukowane do kolejnych zastosowań reguł wnioskowania , bez użycia dowodów empirycznych i intuicji . Rygorystyczne rozumowanie nie jest specyficzne dla matematyki, ale w matematyce standard rygoru jest znacznie wyższy niż gdzie indziej. zwięzłości matematyki , przedstawienie rygorystycznych dowodów może wymagać setek stron. Pojawienie się proofów wspomaganych komputerowo umożliwiło dalsze zwiększenie długości proofów, takich jak 255-stronicowy Twierdzenie Feita-Thompsona . Wynikiem tego nurtu jest filozofia dowodu quasi-empirystycznego , którego nie można uznać za nieomylny, ale ma on związane z nim prawdopodobieństwo.

Pojęcie rygoru w matematyce sięga starożytnej Grecji, gdzie ich społeczeństwo zachęcało do logicznego, dedukcyjnego rozumowania. Jednak to rygorystyczne podejście zniechęcałoby do poszukiwania nowych podejść, takich jak liczby niewymierne i koncepcje nieskończoności. Metoda wykazania rygorystycznego dowodu została udoskonalona w XVI wieku poprzez zastosowanie notacji symbolicznej. W XVIII wieku przemiany społeczne doprowadziły do ​​tego, że matematycy zarabiali na utrzymanie poprzez nauczanie, co doprowadziło do dokładniejszego przemyślenia podstawowych koncepcji matematyki. Dało to bardziej rygorystyczne podejście, przechodząc od metod geometrycznych do algebraicznych, a następnie arytmetycznych dowodów.

Pod koniec XIX wieku okazało się, że definicje podstawowych pojęć matematycznych nie były wystarczająco dokładne, aby uniknąć paradoksów (geometrie nieeuklidesowe i funkcja Weierstrassa ) i sprzeczności (paradoks Russella). Zostało to rozwiązane przez włączenie aksjomatów do apodyktycznych reguł wnioskowania teorii matematycznych; ponowne wprowadzenie metody aksjomatycznej zapoczątkowanej przez starożytnych Greków. Wynika z tego, że „rygor” nie jest już istotnym pojęciem w matematyce, ponieważ dowód jest albo poprawny, albo błędny, a „rygoryczny dowód” jest po prostu pleonazmem . Specjalna koncepcja rygoru wchodzi w grę w uspołecznionych aspektach dowodu, w których inni matematycy mogą ją wyraźnie obalić. Po zaakceptowaniu dowodu przez wiele lat, a nawet dziesięcioleci, można go uznać za wiarygodny.

Niemniej jednak pojęcie „rygoru” może pozostać przydatne do nauczania początkujących, czym jest dowód matematyczny.

Trening i praktyka

Edukacja

Główny artykuł: Edukacja matematyczna

Matematyka ma niezwykłą zdolność przekraczania granic kulturowych i okresów. Jako działalność ludzka praktyka matematyki ma stronę społeczną, która obejmuje edukację , karierę , uznanie , popularyzację i tak dalej. W edukacji matematyka jest podstawową częścią programu nauczania i stanowi ważny element dyscyplin STEM . Wybitne kariery zawodowych matematyków obejmują nauczyciela lub profesora matematyki, statystyka , aktuariusza , analityka finansowego , ekonomista , księgowy , handlarz towarami lub konsultant komputerowy .

Dowody archeologiczne wskazują, że nauczanie matematyki miało miejsce już w drugim tysiącleciu pne w starożytnej Babilonii. Odkryto porównywalne dowody na nauczanie matematyki skrybów na starożytnym Bliskim Wschodzie , a następnie w świecie grecko-rzymskim, począwszy od około 300 roku pne. Najstarszym znanym podręcznikiem do matematyki jest papirus Rhinda , datowany na około 1650 r. p.n.e. w Eygpt. Ze względu na niedostatek książek nauki matematyczne w starożytnych Indiach były przekazywane za pomocą zapamiętanej tradycji ustnej od okresu wedyjskiego ( ok. 1500 r . - C. 500 pne ). W cesarskich Chinach w czasach dynastii Tang (618–907 n.e.) przyjęto program nauczania matematyki do egzaminu do służby cywilnej , aby dołączyć do biurokracji państwowej.

Po średniowieczu nauczanie matematyki w Europie odbywało się w szkołach religijnych w ramach Quadrivium . Formalne nauczanie pedagogiki rozpoczęło się w szkołach jezuickich w XVI i XVII wieku. Większość programów nauczania matematyki utrzymywała się na poziomie podstawowym i praktycznym aż do XIX wieku, kiedy to zaczęła rozkwitać we Francji i Niemczech. Najstarszym czasopismem poświęconym nauczaniu matematyki był L'Enseignement Mathématique , którego publikację rozpoczęto w 1899 r. Zachodni postęp w nauce i technologii doprowadził do ustanowienia scentralizowanych systemów edukacji w wielu państwach narodowych, z matematyką jako podstawowym elementem — początkowo do zastosowań wojskowych. Chociaż treść kursów jest różna, obecnie prawie we wszystkich krajach naucza się matematyki przez znaczną ilość czasu.

W szkole zdolności matematyczne i pozytywne oczekiwania mają silny związek z zainteresowaniami karierą w tej dziedzinie. Czynniki zewnętrzne, takie jak motywacja zwrotna ze strony nauczycieli, rodziców i grup rówieśniczych, mogą wpływać na poziom zainteresowania matematyką. Niektórzy uczniowie studiujący matematykę mogą odczuwać obawę lub strach przed wynikami z tego przedmiotu. Nazywa się to lękiem przed matematyką lub fobii matematycznej i jest uważane za najbardziej widoczne zaburzenie wpływające na wyniki w nauce. Lęk przed matematyką może rozwinąć się z powodu różnych czynników, takich jak postawy rodziców i nauczycieli, stereotypy społeczne i cechy osobiste. Pomoc w przeciwdziałaniu lękowi może pochodzić ze zmian w podejściu do nauczania, interakcji z rodzicami i nauczycielami oraz indywidualnie dostosowanych terapii.

Psychologia (estetyka, kreatywność i intuicja)

Ważność twierdzenia matematycznego zależy tylko od rygoru jego dowodu, który teoretycznie mógłby zostać przeprowadzony automatycznie przez program komputerowy . Nie oznacza to, że w pracy matematycznej nie ma miejsca na kreatywność. Wręcz przeciwnie, wiele ważnych wyników (twierdzeń) matematycznych jest rozwiązaniami problemów, których nie udało się rozwiązać innym matematykom, a wynalezienie sposobu ich rozwiązania może być fundamentalnym sposobem procesu rozwiązywania. Skrajnym przykładem jest twierdzenie Apery'ego : Roger Apery dostarczył tylko pomysłów na dowód, a dowód formalny został przedstawiony dopiero kilka miesięcy później przez trzech innych matematyków.

Kreatywność i dyscyplina nie są jedynymi psychologicznymi aspektami działalności matematyków. Niektórzy matematycy mogą postrzegać swoją działalność jako grę, a dokładniej jako rozwiązywanie zagadek . Ten aspekt działalności matematycznej jest podkreślany w matematyce rekreacyjnej .

Matematycy mogą znaleźć w matematyce wartość estetyczną . Podobnie jak piękno , jest trudne do zdefiniowania, jest powszechnie związane z elegancją , która obejmuje takie cechy jak prostota , symetria , kompletność i ogólność. GH Hardy w A Mathematician's Apology wyraził przekonanie, że względy estetyczne same w sobie wystarczają, aby uzasadnić studiowanie czystej matematyki. Zidentyfikował również inne kryteria, takie jak znaczenie, nieoczekiwanie i nieuchronność, które przyczyniają się do matematycznej estetyki. Paula Erdősa wyraził to uczucie bardziej ironicznie, mówiąc o „Księdze”, rzekomym boskim zbiorze najpiękniejszych dowodów. Książka Dowody z KSIĘGI z 1998 roku, zainspirowana Erdősem, jest zbiorem szczególnie zwięzłych i odkrywczych argumentów matematycznych. Niektóre przykłady szczególnie eleganckich wyników to dowód Euklidesa, że ​​istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych i szybka transformata Fouriera do analizy harmonicznej .

Niektórzy uważają, że uznanie matematyki za naukę oznacza bagatelizowanie jej kunsztu i historii w siedmiu tradycyjnych sztukach wyzwolonych . Jednym ze sposobów, w jaki rozgrywa się ta różnica punktów widzenia, jest filozoficzna debata na temat tego, czy wyniki matematyczne są tworzone (jak w sztuce), czy odkrywane (jak w nauce). Popularność matematyki rekreacyjnej jest kolejną oznaką przyjemności, jaką wielu czerpie z rozwiązywania problemów matematycznych.

W XX wieku matematyk LEJ Brouwer zapoczątkował nawet perspektywę filozoficzną zwaną intuicjonizmem , która przede wszystkim utożsamia matematykę z pewnymi procesami twórczymi w umyśle. Intuicjonizm jest z kolei odmianą postawy znanej jako konstruktywizm , która uważa obiekt matematyczny za ważny tylko wtedy, gdy może być skonstruowany bezpośrednio, a nie tylko pośrednio gwarantowany przez logikę. To prowadzi zaangażowanych konstruktywistów do odrzucenia pewnych wyników, w szczególności argumentów takich jak dowody egzystencjalne oparte na prawie wyłączonego środka.

Ostatecznie ani konstruktywizm, ani intuicjonizm nie wyparły matematyki klasycznej ani nie uzyskały akceptacji głównego nurtu. Jednak programy te motywowały określone zmiany, takie jak logika intuicjonistyczna i inne fundamentalne spostrzeżenia, które są doceniane same w sobie.

Wpływ kulturowy

Artystyczna ekspresja

Główny artykuł: Matematyka i sztuka
Strona tytułowa Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels autorstwa Jean-Philippe'a Rameau

Nuty, które dobrze brzmią dla zachodniego ucha, to dźwięki, których podstawowe częstotliwości wibracji są w prostych proporcjach. Na przykład oktawa podwaja częstotliwość, a kwinta doskonała mnoży ją przez . [ potrzebne lepsze źródło ]

Ten związek między częstotliwościami a harmonią został omówiony w Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels przez Jean-Philippe Rameau , francuskiego kompozytora barokowego i teoretyka muzyki. Opiera się na analizie harmonicznych (zaznaczone od 2 do 15 na poniższym rysunku) podstawowego Do (zaznaczone 1); pierwsze harmoniczne i ich oktawy dobrze ze sobą współgrają.

Harmoniczne na pięciolinii

Krzywa zaznaczona na czerwono ma kształt logarytmiczny , który odzwierciedla dwa zjawiska:

  • Wysokość dźwięku, która w naszym układzie słuchowym jest proporcjonalna do logarytmu częstotliwości dźwięku.
  • Częstotliwości harmoniczne, które są całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej.
Fraktal z symetrią skalującą i symetrią centralną

Ludzie, podobnie jak niektóre inne zwierzęta, uważają symetryczne wzory za piękniejsze. Z matematycznego punktu widzenia symetrie obiektu tworzą grupę znaną jako grupa symetrii .

przykład grupa leżąca u podstaw symetrii to grupa elementów Test Rorschacha jest figurą niezmienną dzięki tej symetrii, podobnie jak motyl i ogólnie ciała zwierząt (przynajmniej na powierzchni). [ potrzebne źródło ] Fale na powierzchni morza posiadają symetrię translacji: przesunięcie punktu widzenia o odległość między grzbietami fal nie zmienia widoku morza. [ potrzebne źródło ] Ponadto fraktale posiadają (zwykle przybliżone [ potrzebne źródło ] ) samopodobieństwo . [ potrzebne lepsze źródło ]

Popularyzacja

Główny artykuł: Matematyka popularna

Matematyka popularna to akt przedstawiania matematyki bez terminów technicznych. Prezentowanie matematyki może być trudne, ponieważ ogół społeczeństwa cierpi z powodu matematycznego niepokoju , a przedmioty matematyczne są wysoce abstrakcyjne. Jednak popularne pisanie matematyki może temu zaradzić, używając aplikacji lub powiązań kulturowych. Mimo to matematyka rzadko jest tematem popularyzacji w mediach drukowanych lub telewizyjnych.

Literatura i film

Kategoria główna: Prace o matematyce

Istnieje wiele biografii matematyków, ale matematyka jest słabo zbadanym tematem w literaturze i filmie, chociaż jest obecna.

powieści

Szczegóły okładki z Flatland

Filmy

sztuki

  • Dowód (2000), David Auburn
  • One zero show: spectacle arithmétique en 0 acte et 1 tableau… blanc; (suivi de) Du point… à la ligne: spectacle géométrique en ligne… et en surface (2001) , Denis Guedj
  • L'affaire 3.14 autorstwa Cédrica Aubouya
  • Galois Poincaré, Mytes et Maths , Cédric Aubouy i David Latini

serial telewizyjny

Nagrody i problemy z nagrodami

Kategoria główna: Nagrody matematyczne
Awers Medalu Fieldsa z ilustracją przedstawiającą greckiego polityka Archimedesa

Najbardziej prestiżową nagrodą w dziedzinie matematyki jest Medal Fieldsa , ustanowiony w 1936 roku i przyznawany co cztery lata (z wyjątkiem okresu II wojny światowej ) maksymalnie czterem osobom. Jest uważana za matematyczny odpowiednik Nagrody Nobla .

Inne prestiżowe nagrody matematyczne to:

Słynna lista 23 otwartych problemów , zwana „ problemami Hilberta ”, została opracowana w 1900 roku przez niemieckiego matematyka Davida Hilberta. Ta lista zyskała wielką sławę wśród matematyków, a od 2022 roku co najmniej trzynaście problemów (w zależności od tego, jak niektóre są interpretowane) zostało rozwiązanych.

Nowa lista siedmiu ważnych problemów, zatytułowana „ Problemy nagrody milenijnej ”, została opublikowana w 2000 roku. Tylko jeden z nich, hipoteza Riemanna , powiela jeden z problemów Hilberta. Rozwiązanie któregokolwiek z tych problemów wiąże się z nagrodą w wysokości 1 miliona dolarów. rozwiązano tylko jeden z tych problemów, hipotezę Poincarégo .

Zobacz też

Notatki

Bibliografia

Dalsza lektura


Zasoby biblioteczne dotyczące matematyki
Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematics&oldid=1142378424 ”