Obszerna książka o obliczaniu przez uzupełnianie i równoważenie

	Strona tytułowa, IX wiek
Autor	Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi
Oryginalny tytuł	كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة
Ilustrator	Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi
Kraj	Kalifat Abbasydów
Język	arabski
Temat	Algebra
Gatunek muzyczny	Matematyka
Oryginalny tekst	كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة w arabskim Wikiźródłach

The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing ( arab . الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muq ābalah ; łac . Liber Algebræ et Almucabola ), znany również jako l -Jabr ( Arabski : الجبر ) to arabski traktat matematyczny o algebrze napisany w Bagdadzie około 820 roku n.e. przez perskiego polityka Muḥammada ibn Mūsā al-Khwārizmī . Była to przełomowa praca w historii matematyki , ustanawiająca algebrę jako niezależną dyscyplinę.

Al-Jabr dostarczył wyczerpującego opisu rozwiązywania dodatnich pierwiastków równań wielomianowych do drugiego stopnia. Był to pierwszy tekst, w którym nauczano algebry elementarnej i pierwszy, w którym nauczano algebry dla niej samej. Wprowadził również podstawowe pojęcie „redukcji” i „równoważenia” (do którego pierwotnie odnosił się termin al-jabr ), transpozycji odejmowanych wyrazów na drugą stronę równania, tj. równanie. Pozdrowienia dla historyka matematyki Victora J. Katza Al-Jabr jako pierwszy prawdziwy tekst algebry, który wciąż istnieje. Przetłumaczona na łacinę przez Roberta z Chester w 1145 r., była używana aż do XVI wieku jako główny podręcznik matematyczny europejskich uniwersytetów.

Kilku autorów opublikowało również teksty pod tym nazwiskiem, w tym Abū Ḥanīfa al-Dīnawari , Abū Kāmil Shujā ibn Aslam , Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamid ibn Turk , Sind ibn ʿAlī, Sahl i bn Bišr i Šarafaddīn al-Ṭūsī .

Dziedzictwo

R. Rashed i Angela Armstrong piszą:

że tekst Al-Khwarizmi różni się nie tylko od tabliczek babilońskich , ale także od Arithmetica Diofantusa . Nie dotyczy już szeregu problemów do rozwiązania, ale wykładu rozpoczynającego się od terminów pierwotnych, w których kombinacje muszą dawać wszystkie możliwe prototypy równań, które odtąd wyraźnie stanowią prawdziwy przedmiot badań. Z drugiej strony idea równania sama w sobie pojawia się od początku i można powiedzieć ogólnie, o ile nie pojawia się po prostu w trakcie rozwiązywania problemu, ale jest specjalnie powołana do zdefiniuj nieskończoną klasę problemów.

JJ O'Connor i EF Robertson napisali w archiwum MacTutor History of Mathematics :

Być może jeden z najbardziej znaczących postępów matematyki arabskiej rozpoczął się w tym czasie od prac al-Khwarizmi, a mianowicie początków algebry. Ważne jest, aby zrozumieć, jak ważny był ten nowy pomysł. Było to rewolucyjne odejście od greckiej koncepcji matematyki, która była zasadniczo geometrią. Algebra była jednoczącą teorią, która pozwalała traktować liczby wymierne , niewymierne , wielkości geometryczne itp. jako „obiekty algebraiczne”. Dało to matematyce zupełnie nową ścieżkę rozwoju, o wiele szerszą w koncepcji niż ta, która istniała wcześniej, i dostarczyło narzędzia do przyszłego rozwoju przedmiotu. Innym ważnym aspektem wprowadzenia idei algebraicznych było to, że umożliwiło to zastosowanie matematyki do siebie w sposób, który nie miał wcześniej miejsca.

Książka

Książka była kompilacją i rozszerzeniem znanych reguł rozwiązywania równań kwadratowych i niektórych innych problemów i uważana za podstawę algebry, ustanawiając ją jako niezależną dyscyplinę. Słowo algebra pochodzi od nazwy jednej z podstawowych operacji na równaniach opisanych w tej książce, zgodnie z jej łacińskim tłumaczeniem dokonanym przez Roberta z Chester .

Równania kwadratowe

Strony z XIV-wiecznej arabskiej kopii książki, przedstawiające geometryczne rozwiązania dwóch równań kwadratowych

Książka klasyfikuje równania kwadratowe do jednego z sześciu podstawowych typów i podaje algebraiczne i geometryczne metody rozwiązywania podstawowych. Historyk Carl Boyer zwraca uwagę na brak współczesnych abstrakcyjnych zapisów w książce:

... algebra al-Khwarizmi jest całkowicie retoryczna, bez żadnej synkopy (patrz Historia algebry ) znalezionej w greckiej Arithmetica lub w pracy Brahmagupty . Nawet liczby zostały zapisane słowami, a nie symbolami!

— Carl B. Boyer, Historia matematyki

W ten sposób równania są opisane werbalnie za pomocą „kwadratów” (co dzisiaj oznaczałoby „ x ² ”), „pierwiastków” (co dzisiaj oznaczałoby „ x ”) i „liczb” („stałe”: zwykłe liczby wypisane, takie jak 'czterdzieści dwa'). Sześć typów, z nowoczesnymi zapisami, to:

kwadraty równe pierwiastki ( ax ² = bx )
kwadraty są równe ( ax ² = c )
pierwiastki równa liczba ( bx = c )
kwadraty i pierwiastki są równe ( ax ² + bx = c )
kwadraty i liczba równych pierwiastków ( ax ² + c = bx )
pierwiastki i liczba równych kwadratów ( bx + c = ax ² )

Muzułmańscy matematycy, w przeciwieństwie do Hindusów, w ogóle nie zajmowali się liczbami ujemnymi; stąd równanie takie jak bx + c = 0 nie pojawia się w klasyfikacji, ponieważ nie ma rozwiązań dodatnich, jeśli wszystkie współczynniki są dodatnie. Podobnie wyróżniono typy równań 4, 5 i 6, które wyglądają na odpowiedniki współczesnego oka, ponieważ wszystkie współczynniki muszą być dodatnie. ^{[ potrzebna strona ]}

Operacja al-ğabr („wymuszanie”, „przywracanie”) polega na przesunięciu niedostatecznej ilości z jednej strony równania na drugą. W przykładzie al-Khwarizmi (we współczesnej notacji) „ x ² = 40 x - 4 x ² ” jest przekształcane przez al-ğabr na „5 x ² = 40 x ”. Wielokrotne stosowanie tej reguły eliminuje z obliczeń wielkości ujemne.

Al-Muqabala ( المقابله , „równoważenie” lub „odpowiadanie”) oznacza odejmowanie tej samej wielkości dodatniej z obu stron: „ x ² + 5 = 40 x + 4 x ² ” zamienia się w „5 = 40 x + 3 x ^2” Wielokrotne stosowanie tej zasady powoduje, że wielkości każdego typu („kwadrat”/„pierwiastek”/„liczba”) pojawiają się w równaniu co najwyżej raz, co pomaga zobaczyć, że istnieje tylko 6 podstawowych rozwiązywalnych typów problemu, gdy ograniczone do dodatnich współczynników i rozwiązań.

Kolejne części książki nie polegają na rozwiązywaniu równań kwadratowych.

Powierzchnia i objętość

Drugi rozdział katalogów książek zawiera metody wyznaczania powierzchni i objętości . Obejmują one przybliżenia liczby pi (π), podane na trzy sposoby, jako 3 1/7, √ 10 i 62832/20000. To ostatnie przybliżenie, równe 3,1416, pojawiło się wcześniej w indyjskim Āryabhaṭīya (499 n.e.).

Inne tematy

Al-Khwārizmī objaśnia kalendarz żydowski i 19-letni cykl opisany przez zbieżność miesięcy księżycowych i lat słonecznych.

Mniej więcej połowa książki dotyczy islamskich reguł dziedziczenia , które są złożone i wymagają umiejętności posługiwania się równaniami algebraicznymi pierwszego rzędu.

Notatki

Cytaty

Dalsza lektura

Barnabas B. Hughes, ed., Robert of Chester 's Latin Translation of Al-Khwarizmi's Al-Jabr: A New Critical Edition , (po łacinie ) Wiesbaden: F. Steiner Verlag, 1989. ISBN 3-515-04589-9
Boyer, Carl B. (1991). „Arabska hegemonia”. Historia matematyki (wyd. Drugie). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7 .
R. Rashed, Rozwój matematyki arabskiej: między arytmetyką a algebrą , Londyn, 1994. ^{[ Brak ISBN ]}