Arytmetyka

	Okładka wydania z 1621 r., przetłumaczona na łacinę z greki przez Claude'a Gasparda Bacheta de Méziriac .
Autor	Diofant

Arithmetica ( grecki : Ἀριθμητικά ) to starogrecki tekst o matematyce napisany przez matematyka Diofantusa ( ok. 200/214 ne - ok. 284/298 ne ) w III wieku naszej ery. Jest to zbiór 130 algebraicznych dających numeryczne rozwiązania równań oznaczonych (tych z unikalnym rozwiązaniem) i równań nieokreślonych .

Streszczenie

Równania w książce są obecnie nazywane równaniami diofantycznymi . Metoda rozwiązywania tych równań jest znana jako analiza diofantyczna . Większość Arithmetica prowadzi do równań kwadratowych .

W Księdze 3 Diophantus rozwiązuje problemy znajdowania wartości, które przekształcają dwa wyrażenia liniowe jednocześnie w kwadraty lub sześciany. W księdze 4 znajduje wymierne potęgi między podanymi liczbami. $,$ że liczby postaci nie mogą sumą dwóch kwadratów Wydaje się również, że Diofant wie, że każdą liczbę można zapisać jako sumę czterech kwadratów. Gdyby znał ten wynik (w sensie udowodnienia go, a nie tylko przypuszczenia), jego zrobienie tego byłoby naprawdę niezwykłe: nawet Fermat, który podał wynik, nie przedstawił na to dowodu i nie zostało to rozstrzygnięte dopóki Joseph Louis Lagrange nie udowodnił tego na podstawie wyników Leonharda Eulera .

Arytmetyka została pierwotnie spisana w trzynastu księgach, ale greckie rękopisy, które przetrwały do dziś, zawierają nie więcej niż sześć ksiąg. W 1968 roku Fuat Sezgin znalazł cztery nieznane wcześniej księgi Arithmetica w świątyni imama Rezy w świętym islamskim mieście Meszhed w północno-wschodnim Iranie. Uważa się, że cztery księgi zostały przetłumaczone z greckiego na arabski przez Qusta ibn Luqa (820–912). Norbert Schappacher napisał:

[Cztery brakujące księgi] pojawiły się ponownie około 1971 roku w Bibliotece Astan Quds w Meshed (Iran) w kopii z 1198 roku. Nie został skatalogowany pod nazwą Diophantus (ale pod imieniem Qusta ibn Luqa ), ponieważ bibliotekarz najwyraźniej nie był w stanie odczytać głównej linii okładki, na której imię Diofantusa pojawia się w geometrycznej kaligrafii Kufi .

Arithmetica stała się znana matematykom w świecie islamskim w X wieku, kiedy Abu'l-Wefa przetłumaczył ją na arabski.

Algebra synkopowana

Diofantus był hellenistycznym matematykiem, który żył około 250 rne, ale niepewność co do tej daty jest tak duża, że może być przesunięta o ponad sto lat. Znany jest z napisania Arithmetica , traktatu, który pierwotnie składał się z trzynastu ksiąg, z których przetrwało tylko sześć pierwszych. Arytmetyka ma bardzo niewiele wspólnego z tradycyjną matematyką grecką, ponieważ jest oderwana od metod geometrycznych, a różni się od matematyki babilońskiej tym, że Diofantos zajmuje się przede wszystkim dokładnymi rozwiązaniami, zarówno określonymi, jak i nieokreślonymi, zamiast prostych przybliżeń.

W Arithmetica Diophantus jako pierwszy użył symboli dla nieznanych liczb, a także skrótów dla potęg liczb, relacji i operacji; dlatego użył tego, co jest obecnie znane jako algebra synkopowana . Główna różnica między synkopowaną algebrą diofantyczną a współczesną notacją algebraiczną polega na tym, że w tej pierwszej brakowało specjalnych symboli operacji, relacji i wykładników. Na przykład, co byłoby zapisane we współczesnej notacji jako

{\ Displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} + 10x-1 = 5,}

co można przepisać jako

{\ Displaystyle \ lewo ({x ^ {3}} 1 + {x} 10 \ prawej) - \ lewo ({x ^ {2}}2+{x^{0}}1\prawo)={x^{0}}5,}

byłoby zapisane w notacji synkopowanej Diofantusa jako

{\ Displaystyle \ operatorname {K} ^ {\ upsilon } {\ overline {\ alfa}} \; \ zeta {\ overline {\iota}}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta}}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha}}\,\; }

ἴ

{\ Displaystyle \ sigma \; \ \ operatorname {M} {\ overline {\ varepsilon}}}

gdzie symbole oznaczają:

Symbol	Co reprezentuje
${\ Displaystyle {\ overline {\ alfa}}}$	1 ( Alfa to pierwsza litera alfabetu greckiego )
${\ Displaystyle {\ overline {\ beta}}}$	2 ( Beta to druga litera alfabetu greckiego)
${\ Displaystyle {\ overline {\ varepsilon}}}$	5 ( epsilon to piąta litera alfabetu greckiego)
${\ Displaystyle {\ overline {\ jota}}}$	10 ( Jota jest dziewiątą literą współczesnego alfabetu greckiego , ale była to dziesiąta litera starożytnego archaicznego alfabetu greckiego , w którym litera digamma (duża litera: Ϝ, mała litera: ϝ) znajdowała się na szóstej pozycji między epsilon ε a zeta ζ.)
ἴσ	„równa się” (skrót od ἴσος )
${\ Displaystyle \ widły}$	reprezentuje odejmowanie wszystkiego, co następuje ${\ Displaystyle \ Pitchfork}$ aż do ἴσ
${\ Displaystyle \ operatorname {M}}$	potęga zerowa (to znaczy stała)
${\ Displaystyle \ zeta}$	nieznana ilość (ponieważ liczba podniesiona do pierwszej potęgi to po prostu $,}$ $x$ można to traktować jako „pierwszą potęgę”) x {\ displaystyle x}
${\ Displaystyle \ Delta ^ {\ upsilon}}$	druga potęga, z greckiego δύναμις , oznaczająca siłę lub moc
${\ Displaystyle \ operatorname {K} ^ {\ upsilon}}$	trzecia potęga, z greckiego κύβος , oznaczająca sześcian
${\ Displaystyle \ Delta ^ {\ upsilon} \ Delta}$	czwarta potęga
${\ Displaystyle \ Delta \ operatorname {K} ^ {\ upsilon}}$	piąta potęga
${\ Displaystyle \ operatorname {K} ^ {\ upsilon} \ operatorname {K}}$	szósta potęga

W przeciwieństwie do nowoczesnej notacji, współczynniki występują po zmiennych, a dodanie to jest reprezentowane przez zestawienie terminów. Dosłowne tłumaczenie synkopowanego równania Diofantusa metodą symbol-za-symbol na współczesne równanie symboliczne byłoby następujące:

{\ Displaystyle {x ^ {3}} 1 {x} 10- {x ^ {2}} 2 {x ^ {0}} 1 = {x ^ {0}}5}

gdzie wyjaśnić, jeśli używane są współczesne nawiasy i plus, to powyższe równanie można przepisać jako:

{\ Displaystyle \ lewo ({x ^ {3}} 1 + {x} 10 \ prawej) - \ lewo ({x ^ { 2}}2+{x^{0}}1\prawo)={x^{0}}5}

Arithmetica jest zbiorem około 150 rozwiązanych problemów z określonymi liczbami i nie ma rozwinięcia postulatywnego ani wyraźnie wyjaśnionej ogólnej metody, chociaż ogólność metody mogła być zamierzona i nie ma próby znalezienia wszystkich rozwiązań równań. Arithmetica zawiera rozwiązane problemy dotyczące kilku nieznanych wielkości, które rozwiązuje się, jeśli to możliwe, wyrażając nieznane wielkości za pomocą tylko jednej z nich. Arithmetica wykorzystuje również tożsamości:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane do} {4} \ lewo (a ^ {2} + b ^ {2} \ prawo) \ lewo (c ^ {2} + d ^ {2} \ prawo) & = (ac +db)^{2}+(bc-ad)^{2}\\&=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}\\\koniec{wyrównanydat}}}

Zobacz też

Cytaty

Boyer, Carl B. (1991). Historia matematyki (wyd. Drugie). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7 .
Cooke, Roger (1997). Historia matematyki: krótki kurs . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3 .
Derbyshire, John (2006). Nieznana ilość: prawdziwa i urojona historia algebry . Józefa Henryka Pressa. ISBN 0-309-09657-X .

Linki zewnętrzne

Diophantus Alexandrinus, Pierre de Fermat, Claude Gaspard Bachet de Meziriac, Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri 6, et De numeris multangulis liber unus . Dyplom kom. C(laude) G(aspar) Bacheti et obserwacjaibus P(ierre) de Fermat. wg. doctrinae analyticae inventum novum, coll. ex variis eiu. Tolosae 1670, doi : 10.3931/e-rara-9423 .