Równanie

Pierwsze użycie znaku równości, odpowiadającego 14 x + 15 = 71 we współczesnej notacji. Z The Whetstone of Witte autorstwa Roberta Recorde z Walii (1557).

W matematyce równanie jest formułą , która wyraża równość dwóch wyrażeń , łącząc je ze znakiem równości = . Słowo równanie i jego odpowiedniki w innych językach mogą mieć nieco inne znaczenie; na przykład w języku francuskim równanie definiuje się jako zawierające jedną lub więcej zmiennych , podczas gdy w języku angielskim równaniem jest każda prawidłowo sformułowana formuła składająca się z dwóch wyrażeń powiązanych ze znakiem równości.

Rozwiązanie równania zawierającego zmienne polega na określeniu, które wartości zmiennych powodują, że równość jest prawdziwa. Zmienne, dla których równanie ma zostać rozwiązane, nazywane są również niewiadomymi , a wartości niewiadomych, które spełniają równość, nazywane są rozwiązaniami równania. Istnieją dwa rodzaje równań: tożsamościowe i równania warunkowe. Tożsamość jest prawdziwa dla wszystkich wartości zmiennych. Równanie warunkowe jest prawdziwe tylko dla określonych wartości zmiennych.

Równanie jest zapisywane jako dwa wyrażenia , połączone znakiem równości ("="). Wyrażenia po obu stronach znaku równości nazywane są „lewą stroną” i „prawą stroną” równania. Bardzo często przyjmuje się, że prawa strona równania jest równa zeru. Założenie to nie zmniejsza ogólności, ponieważ można to zrealizować, odejmując prawą stronę od obu stron.

Najpopularniejszym typem równania jest równanie wielomianowe (powszechnie nazywane również równaniem algebraicznym ), w którym obie strony są wielomianami . Boki równania wielomianowego zawierają jeden lub więcej wyrazów . Na przykład równanie

{\ Displaystyle Ax ^ {2} + Bx + Cy = 0}

$która$ lewą stronę $,$ człony, i prawą stronę jednego . Nazwy zmiennych sugerują , że $x$ i $y$ są niewiadomymi, a $A$ , $B$ i $C$ są parametrami , ale zwykle jest to ustalane przez kontekst (w niektórych kontekstach $y$ może być parametrem lub $A$ , $B$ i $C$ mogą być zwykłymi zmiennymi).

Równanie jest analogiczne do wagi, na której umieszcza się odważniki. Kiedy jednakowe ciężary czegoś (np. zboża) zostaną umieszczone w dwóch szalkach, dwa ciężarki powodują, że waga jest w równowadze i mówi się, że są równe. Jeśli pewna ilość ziarna zostanie usunięta z jednej szalki wagi, taka sama ilość ziarna musi zostać usunięta z drugiej szalki, aby zachować równowagę wagi. Mówiąc bardziej ogólnie, równanie pozostaje w równowadze, jeśli ta sama operacja jest wykonywana po obu jego stronach.

W geometrii kartezjańskiej równania są używane do opisu figur geometrycznych . Ponieważ rozważane równania, takie jak równania implicite lub równania parametryczne , mają nieskończenie wiele rozwiązań, cel jest teraz inny: zamiast jawnego podawania rozwiązań lub ich liczenia, co jest niemożliwe, używa się równań do badania właściwości figur. Jest to początkowa idea geometrii algebraicznej , ważnej dziedziny matematyki.

Algebra bada dwie główne rodziny równań: równania wielomianowe , a wśród nich szczególny przypadek równań liniowych . Gdy jest tylko jedna zmienna, równania wielomianowe mają postać P ( x ) = 0, gdzie P jest wielomianem , a równania liniowe mają postać ax + b = 0, gdzie aib są parametrami . Aby rozwiązać równania z obu rodzin, stosuje się techniki algorytmiczne lub geometryczne wywodzące się z algebry liniowej lub analizy matematycznej . Algebra bada również równania diofantyczne , w których współczynniki i rozwiązania są liczbami całkowitymi . Stosowane techniki są różne i wywodzą się z teorii liczb . Te równania są ogólnie trudne; często szuka się tylko po to, aby znaleźć istnienie lub brak rozwiązania, a jeśli istnieją, policzyć liczbę rozwiązań.

Równania różniczkowe to równania obejmujące jedną lub więcej funkcji i ich pochodne. Rozwiązuje się je , znajdując wyrażenie dla funkcji, która nie obejmuje pochodnych. Równania różniczkowe służą do modelowania procesów obejmujących tempo zmian zmiennej i są wykorzystywane w takich dziedzinach, jak fizyka, chemia, biologia i ekonomia.

„ = ”, który pojawia się w każdym równaniu, został wynaleziony w 1557 roku przez Roberta Recorde , który uważał, że nic nie może być bardziej równe niż równoległe linie proste o tej samej długości.

Wstęp

Ilustracja analogiczna

Ilustracja prostego równania; x , y , z to liczby rzeczywiste, analogiczne do wag.

Równanie jest analogiczne do wagi , wagi lub huśtawki .

Każda strona równania odpowiada jednej stronie równowagi. Po każdej stronie można umieścić różne wielkości: jeśli ciężary po obu stronach są równe, waga się równoważy i analogicznie równość reprezentująca równowagę jest również zrównoważona (jeśli nie, to brak równowagi odpowiada przedstawionej nierówności przez nierówność ).

Na ilustracji x , y i z to różne wielkości (w tym przypadku liczby rzeczywiste ) reprezentowane jako okrągłe wagi, a każda z x , y i z ma inną wagę. Dodawanie odpowiada dodawaniu ciężaru, podczas gdy odejmowanie odpowiada usuwaniu ciężaru z tego, co już istnieje. Gdy zachodzi równość, całkowity ciężar po każdej stronie jest taki sam.

Parametry i niewiadome

Równania często zawierają terminy inne niż niewiadome. Te inne terminy, o których zakłada się, że są znane , są zwykle nazywane stałymi , współczynnikami lub parametrami .

Przykład równania, w którym x i y są niewiadomymi, a parametrem R jest

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}.}

Gdy wybrano R o wartości 2 ( R = 2), to równanie byłoby rozpoznawane we współrzędnych kartezjańskich jako równanie dla okręgu o promieniu 2 wokół początku układu współrzędnych. Stąd równanie z R jest ogólnym równaniem okręgu.

Zwykle niewiadome są oznaczane literami na końcu alfabetu, x , y , z , w , ..., natomiast współczynniki (parametry) są oznaczane literami na początku alfabetu, a , b , c , d , .. . . Na przykład ogólne równanie kwadratowe jest zwykle zapisywane ax ² + bx + c = 0.

Proces znajdowania rozwiązań lub, w przypadku parametrów, wyrażania niewiadomych za pomocą parametrów, nazywa się rozwiązywaniem równania . Takie wyrażenia rozwiązań pod względem parametrów są również nazywane rozwiązaniami .

Układ równań to zbiór jednoczesnych równań , zazwyczaj z kilkoma niewiadomymi, dla których poszukuje się wspólnych rozwiązań. Zatem rozwiązaniem układu jest zbiór wartości dla każdej z niewiadomych, które razem tworzą rozwiązanie każdego równania w układzie. Na przykład system

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 3x + 5y i = 2 \\ 5x + 8y i = 3 \ koniec {wyrównane}}}

ma unikalne rozwiązanie x = −1, y = 1.

Tożsamości

Tożsamość to równanie, które jest prawdziwe dla wszystkich możliwych wartości zmiennych, które zawiera . W algebrze i rachunku różniczkowym znanych jest wiele tożsamości. W procesie rozwiązywania równania tożsamość jest często używana do uproszczenia równania, dzięki czemu jest ono łatwiejsze do rozwiązania.

W algebrze przykładem tożsamości jest różnica dwóch kwadratów :

{\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = (x + y) (xy)}

co jest prawdziwe dla wszystkich x i y .

Trygonometria to dziedzina, w której istnieje wiele tożsamości; są one przydatne w manipulowaniu lub rozwiązywaniu równań trygonometrycznych . Dwie z wielu, które obejmują sinus i cosinus to:

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} (\ teta) + \ sałata ^ {2} (\ teta) = 1}

I

{\ Displaystyle \ sin (2 \ teta) = 2 \ grzech (\ teta) \ cos (\ teta)}

które są prawdziwe dla wszystkich wartości θ .

Na przykład, aby znaleźć wartość θ spełniającą równanie:

{\ Displaystyle 3 \ sin (\ teta) \ cos (\ teta) = 1 \,,}

gdzie θ jest ograniczone do zakresu od 0 do 45 stopni, można użyć powyższej tożsamości dla iloczynu, aby uzyskać:

{\ Displaystyle {\ Frac {3} {2}} \ sin (2 \ teta) = 1 \,,}

otrzymując następujące rozwiązanie dla θ:

{\ Displaystyle \ theta = {\ Frac {1} {2}} \ arcsin \ lewo ({\ Frac {2} {3}} \ prawo) \ około 20,9 ^ {\ circ}.}

Ponieważ funkcja sinus jest funkcją okresową , istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli nie ma ograniczeń na θ . W tym przykładzie ograniczenie θ do zakresu od 0 do 45 stopni ograniczy rozwiązanie tylko do jednej liczby.

Nieruchomości

Dwa równania lub dwa układy równań są równoważne , jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań. Następujące operacje przekształcają równanie lub układ równań na równoważne – pod warunkiem, że operacje te mają znaczenie dla wyrażeń, do których są stosowane:

Dodawanie lub odejmowanie tej samej wielkości po obu stronach równania. To pokazuje, że każde równanie jest równoważne równaniu, w którym prawa strona jest równa zeru.
Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez niezerową wielkość.
Stosowanie tożsamości w celu przekształcenia jednej strony równania. Na przykład rozszerzenie produktu lub faktoring sumy.
W przypadku systemu: dodanie do obu stron równania odpowiedniej strony innego równania, pomnożonej przez tę samą wielkość.

Jeśli jakaś funkcja zostanie zastosowana do obu stron równania, otrzymane równanie ma wśród swoich rozwiązań rozwiązania równania początkowego, ale może mieć dalsze rozwiązania zwane rozwiązaniami obcymi . Na przykład równanie ma rozwiązanie Podnosząc obie strony do wykładnika 2 (co oznacza zastosowanie funkcji $^ {2}} po$ $}$ $\ displaystyle x$ $ma$ stronach równania) zmienia równanie na , poprzednie rozwiązanie, wprowadza również obce rozwiązanie, $Ponadto$ , jeśli funkcja nie jest zdefiniowana przy niektórych wartościach (takich jak 1/ x , które nie jest zdefiniowane dla x = 0), istniejące rozwiązania przy tych wartościach mogą zostać utracone. Dlatego należy zachować ostrożność przy stosowaniu takiego przekształcenia do równania.

Powyższe przekształcenia są podstawą większości elementarnych metod rozwiązywania równań , jak również niektórych mniej elementarnych, jak eliminacja Gaussa .

Algebra

Równania wielomianowe

Rozwiązania –1 i 2 równania wielomianowego x ² – x + 2 = 0 to = x ² – x + 2 punkty, w których wykres funkcji kwadratowej y przecina oś x .

Ogólnie równanie algebraiczne lub równanie wielomianowe jest równaniem postaci

{\ Displaystyle P = 0}

lub

{\ Displaystyle P = Q}

gdzie P i Q są wielomianami ze współczynnikami w jakimś ciele (np. liczby wymierne , liczby rzeczywiste , liczby zespolone ). Równanie algebraiczne jest jednowymiarowe, jeśli obejmuje tylko jedną zmienną . Z drugiej strony równanie wielomianowe może obejmować kilka zmiennych, w takim przypadku nazywa się je wielowymiarowym (wiele zmiennych, x, y, z itd.).

Na przykład,

{\ Displaystyle x ^ {5} -3x + 1 = 0}

jest jednowymiarowym równaniem algebraicznym (wielomianowym) ze współczynnikami całkowitymi i

{\ Displaystyle y ^ {4} + {\ Frac {xy} {2}} = {\ Frac {x ^ {3}} {3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}

jest wielowymiarowym równaniem wielomianowym nad liczbami wymiernymi.

Niektóre równania wielomianowe ze współczynnikami wymiernymi mają rozwiązanie, które jest wyrażeniem algebraicznym , ze skończoną liczbą operacji obejmujących tylko te współczynniki (tj. można je rozwiązać algebraicznie ). Można to zrobić dla wszystkich takich równań stopnia pierwszego, drugiego, trzeciego lub czwartego; ale równań stopnia piątego lub wyższego nie zawsze można rozwiązać w ten sposób, jak twierdzenie Abela-Ruffiniego .

Wiele badań poświęcono obliczeniu skutecznie dokładnych przybliżeń rzeczywistych lub zespolonych rozwiązań jednowymiarowego równania algebraicznego (patrz Znajdowanie pierwiastków wielomianów ) i wspólnych rozwiązań kilku wielowymiarowych równań wielomianowych (patrz Układ równań wielomianowych ).

Układy równań liniowych

Dziewięć rozdziałów o sztuce matematycznej to anonimowa chińska książka z II wieku, proponująca metodę rozwiązywania równań liniowych.

Układ równań liniowych (lub układ liniowy ) to zbiór równań liniowych obejmujących jedną lub więcej zmiennych . Na przykład,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {7} 3x &&\; + \;&& 2y&&\; -\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{ 2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{wyrównanydat}}}

jest układem trzech równań w trzech zmiennych $x, y, z$ . Rozwiązaniem układu liniowego jest takie przypisanie liczb do zmiennych, aby wszystkie równania były jednocześnie spełnione . Rozwiązanie powyższego układu podaje wzór

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {2} x & \, = \, & 1 \\ y & \, = \, & - 2 \\ z & \, = \, & -2\koniec{wyrównanydat}}}

ponieważ sprawia, że wszystkie trzy równania są ważne. Słowo „ system ” wskazuje, że równania należy rozpatrywać zbiorczo, a nie indywidualnie.

W matematyce teoria systemów liniowych jest podstawową częścią algebry liniowej , przedmiotu używanego w wielu częściach współczesnej matematyki. Algorytmy obliczeniowe do znajdowania rozwiązań są ważną częścią numerycznej algebry liniowej i odgrywają znaczącą rolę w fizyce , inżynierii , chemii , informatyce i ekonomii . Układ równań nieliniowych często można aproksymować układem liniowym (patrz linearyzacja ), techniką pomocną przy tworzeniu modelu matematycznego lub symulacji komputerowej stosunkowo złożonego układu.

Geometria

Geometria analityczna

Linia niebieska i czerwona to zbiór wszystkich punktów ( x , y ) takich, że odpowiednio x + y = 5 i - x +2 y = 4. Ich punkt przecięcia (2,3) spełnia oba równania.

Przekrój stożkowy to przecięcie płaszczyzny i stożka obrotowego.

W geometrii euklidesowej możliwe jest powiązanie zestawu współrzędnych z każdym punktem w przestrzeni, na przykład za pomocą siatki ortogonalnej. Metoda ta pozwala scharakteryzować figury geometryczne za pomocą równań. ${\ Displaystyle a, b, c}$ $za$ postaci , i ${\ Displaystyle d}$ to liczby rzeczywiste i ${\ Displaystyle x, y, z}$ to niewiadome odpowiadające współrzędnym punktu w podanym systemie przez siatkę ortogonalną. Wartości $płaszczyzny$ współrzędnymi wektora prostopadłego do Linia jest wyrażona jako przecięcie dwóch płaszczyzn, to znaczy jako zbiór rozwiązań pojedynczego równania liniowego o wartościach w lub jako zbiór rozwiązań dwóch równań liniowych z ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ wartości w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}$

Przekrój stożkowy $_$ przecięcie stożka z _ Innymi słowy, w przestrzeni wszystkie stożki są zdefiniowane jako zbiór rozwiązań równania płaszczyzny i równania właśnie podanego stożka. Ten formalizm pozwala określić pozycje i właściwości ognisk stożka.

Użycie równań pozwala odwołać się do dużego obszaru matematyki do rozwiązywania problemów geometrycznych. Kartezjański współrzędnych przekształca problem geometryczny w problem analityczny, gdy figury zostaną przekształcone w równania; stąd nazwa geometria analityczna . Ten punkt widzenia, zarysowany przez Kartezjusza , wzbogaca i modyfikuje typ geometrii, jaki wymyślili starożytni greccy matematycy.

Obecnie geometria analityczna wyznacza aktywną gałąź matematyki. Chociaż nadal wykorzystuje równania do charakteryzowania figur, wykorzystuje również inne wyrafinowane techniki, takie jak analiza funkcjonalna i algebra liniowa .

Równania kartezjańskie

Kartezjański układ współrzędnych to układ współrzędnych , który określa każdy punkt na płaszczyźnie w sposób unikalny za pomocą pary współrzędnych numerycznych , które są odległościami ze znakiem od punktu do dwóch ustalonych prostopadłych skierowanych linii, które są oznaczone przy użyciu tej samej jednostki długości .

Na tej samej zasadzie można określić położenie dowolnego punktu w przestrzeni trójwymiarowej za pomocą trzech współrzędnych kartezjańskich, które są znakami odległości do trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn (lub równoważnie przez jego prostopadły rzut na trzy wzajemnie prostopadłe proste ).

Kartezjański układ współrzędnych z okręgiem o promieniu 2 wyśrodkowanym w początku zaznaczonym na czerwono. Równanie okręgu to ( x − a ) ² + ( y − b ) ² = r ² gdzie aib to współrzędne środka ( a , b ) a r to promień.

Wynalezienie współrzędnych kartezjańskich w XVII wieku przez René Descartesa ( nazwa łacińska : Cartesius ) zrewolucjonizowało matematykę, zapewniając pierwsze systematyczne powiązanie między geometrią euklidesową a algebrą . Korzystając z kartezjańskiego układu współrzędnych, kształty geometryczne (takie jak krzywe ) można opisać równaniami kartezjańskimi : równaniami algebraicznymi obejmującymi współrzędne punktów leżących na kształcie. Na przykład okrąg o promieniu 2 na płaszczyźnie, którego środkiem jest określony punkt zwany początkiem, można opisać jako zbiór wszystkich punktów, których współrzędne x i y spełniają równanie x ² + y ² = 4 .

Równania parametryczne

Równanie parametryczne dla krzywej wyraża współrzędne punktów krzywej jako funkcje zmiennej , zwanej parametrem . Na przykład,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = \ sałata t \\ y & = \ sin t \ koniec {wyrównane}}}

są równaniami parametrycznymi dla okręgu jednostkowego , gdzie t jest parametrem. Razem równania te nazywane są parametryczną reprezentacją krzywej.

Pojęcie równania parametrycznego zostało uogólnione na powierzchnie , rozmaitości i rozmaitości algebraiczne o wyższym wymiarze , przy czym liczba parametrów jest równa wymiarowi rozmaitości lub rozmaitości, a liczba równań jest równa wymiarowi przestrzeni, w której brana jest pod uwagę rozmaitość lub rozmaitość (dla krzywych wymiar to jeden i jeden parametr, dla powierzchni wymiar dwa i dwa parametry itd.).

Teoria liczb

Równania diofantyczne

Równanie diofantyczne to równanie wielomianowe z dwiema lub większą liczbą niewiadomych, dla którego szuka się tylko rozwiązań całkowitych (rozwiązanie całkowite to takie rozwiązanie, w którym wszystkie niewiadome przyjmują wartości całkowite). Liniowe równanie diofantyczne to równanie między dwiema sumami jednomianów stopnia zero lub jeden. Przykładem liniowego równania diofantycznego jest $ax + by = c$ , gdzie a , b i c są stałymi. Wykładnicze równanie diofantyczne to takie, dla którego wykładniki wyrazów równania mogą być niewiadomymi.

Problemy diofantyczne mają mniej równań niż nieznane zmienne i wymagają znalezienia liczb całkowitych, które działają poprawnie dla wszystkich równań. Używając bardziej technicznego języka, definiują krzywą algebraiczną , powierzchnię algebraiczną lub bardziej ogólny obiekt i pytają o znajdujące się na nim punkty sieci .

Słowo Diofantyna odnosi się do hellenistycznego matematyka z III wieku, Diofantusa z Aleksandrii , który badał takie równania i był jednym z pierwszych matematyków, którzy wprowadzili symbolikę do algebry . Matematyczne badanie problemów diofantycznych, które zapoczątkował Diofantus, nazywa się obecnie analizą diofantyczną .

Liczby algebraiczne i przestępne

Liczba algebraiczna to liczba będąca rozwiązaniem niezerowego równania wielomianowego w jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych (lub równoważnie — przez wyczyszczenie mianowników — o współczynnikach całkowitych ). O liczbach takich jak $π$ , które nie są algebraiczne, mówimy, że są przestępne . Prawie wszystkie liczby rzeczywiste i zespolone są przestępne.

Geometria algebraiczna

Geometria algebraiczna to dział matematyki zajmujący się klasycznie rozwiązywaniem równań wielomianowych . Nowoczesna geometria algebraiczna opiera się na bardziej abstrakcyjnych technikach algebry abstrakcyjnej , zwłaszcza algebry przemiennej , z językiem i problemami geometrii .

Podstawowym przedmiotem badań geometrii algebraicznej są rozmaitości algebraiczne , które są geometrycznymi przejawami rozwiązań układów równań wielomianowych . Przykładami najczęściej badanych klas rozmaitości algebraicznych są: płaskie krzywe algebraiczne , które obejmują proste , okręgi , parabole , elipsy , hiperbole , krzywe sześcienne , takie jak krzywe eliptyczne i krzywe kwartalne, takie jak lemniskaty , oraz owale Cassiniego . Punkt płaszczyzny należy do krzywej algebraicznej, jeśli jego współrzędne spełniają dane równanie wielomianowe. Podstawowe pytania obejmują badanie punktów szczególnego zainteresowania, takich jak punkty osobliwe , punkty przegięcia i punkty w nieskończoności . Bardziej zaawansowane pytania dotyczą topologii krzywej i relacji między krzywymi określonymi różnymi równaniami.

Równania różniczkowe

Dziwny atraktor , który powstaje przy rozwiązywaniu pewnego równania różniczkowego

Równanie różniczkowe jest równaniem matematycznym , które wiąże pewną funkcję z jej pochodnymi . W zastosowaniach funkcje zwykle reprezentują wielkości fizyczne, pochodne reprezentują tempo ich zmian, a równanie określa związek między nimi. Ponieważ takie relacje są niezwykle powszechne, równania różniczkowe odgrywają znaczącą rolę w wielu dyscyplinach, w tym w fizyce , inżynierii , ekonomii i biologii .

W czystej matematyce równania różniczkowe są badane z kilku różnych perspektyw, głównie dotyczących ich rozwiązań — zestawu funkcji spełniających równanie. Tylko najprostsze równania różniczkowe można rozwiązać za pomocą jawnych wzorów; jednak niektóre właściwości rozwiązań danego równania różniczkowego można określić bez znalezienia ich dokładnej postaci.

Jeśli samowystarczalny wzór na rozwiązanie nie jest dostępny, rozwiązanie można przybliżyć numerycznie za pomocą komputerów. Teoria układów dynamicznych kładzie nacisk na jakościową analizę układów opisanych równaniami różniczkowymi, natomiast opracowano wiele metod numerycznych do wyznaczania rozwiązań z zadanym stopniem dokładności.

Równania różniczkowe zwyczajne

Równanie różniczkowe zwyczajne lub ODE to równanie zawierające funkcję jednej zmiennej niezależnej i jej pochodne. Termin „ zwykłe ” jest używany w przeciwieństwie do terminu równanie różniczkowe cząstkowe , które może odnosić się do więcej niż jednej zmiennej niezależnej.

Liniowe równania różniczkowe, które mają rozwiązania, które można dodawać i mnożyć przez współczynniki, są dobrze zdefiniowane i zrozumiałe oraz uzyskuje się dokładne rozwiązania w postaci zamkniętej. Z kolei ODE, które nie mają rozwiązań addytywnych, są nieliniowe, a ich rozwiązanie jest znacznie bardziej skomplikowane, ponieważ rzadko można je przedstawić za pomocą funkcji elementarnych w postaci zamkniętej: zamiast tego dokładne i analityczne rozwiązania ODE są w postaci szeregowej lub integralnej. Metody graficzne i numeryczne , stosowane ręcznie lub komputerowo, mogą przybliżać rozwiązania ODE i być może dostarczać przydatnych informacji, często wystarczających w przypadku braku dokładnych, analitycznych rozwiązań.

Równania różniczkowe cząstkowe

Równanie różniczkowe cząstkowe ( PDE ) to równanie różniczkowe zawierające nieznane funkcje wielu zmiennych i ich pochodne cząstkowe . (Kontrastuje to ze zwykłymi równaniami różniczkowymi , które zajmują się funkcjami pojedynczej zmiennej i ich pochodnymi). PDE są używane do formułowania problemów obejmujących funkcje kilku zmiennych i są rozwiązywane ręcznie lub wykorzystywane do tworzenia odpowiedniego modelu komputerowego .

PDE mogą być używane do opisywania szerokiej gamy zjawisk, takich jak dźwięk , ciepło , elektrostatyka , elektrodynamika , przepływ płynów , elastyczność lub mechanika kwantowa . Te pozornie odrębne zjawiska fizyczne można podobnie sformalizować w kategoriach PDE. Tak jak zwykłe równania różniczkowe często modelują jednowymiarowe układy dynamiczne , tak równania różniczkowe cząstkowe często modelują układy wielowymiarowe . PDE znajdują swoje uogólnienie w stochastycznych równaniach różniczkowych cząstkowych .

Rodzaje równań

Równania można klasyfikować według rodzajów operacji i zaangażowanych wielkości. Do ważnych typów należą:

Równanie algebraiczne lub równanie wielomianowe to równanie, w którym obie strony są wielomianami (patrz także układ równań wielomianowych ). Są one dalej klasyfikowane według stopnia :
- równanie liniowe dla stopnia pierwszego
- równanie kwadratowe dla drugiego stopnia
- równanie sześcienne dla stopnia trzeciego
- równanie kwartalne dla stopnia czwartego
- równanie kwintyczne dla stopnia piątego
- równanie sekstyczne dla stopnia szóstego
- równanie septyczne dla stopnia siódmego
- równanie oktyczne dla stopnia ósmego
Równanie diofantyczne to równanie, w którym niewiadome muszą być liczbami całkowitymi
Równanie transcendentalne to równanie obejmujące transcendentalną funkcję jego niewiadomych
Równanie parametryczne to równanie, w którym rozwiązania zmiennych są wyrażone jako funkcje niektórych innych zmiennych, zwanych parametrami występującymi w równaniach
Równanie funkcyjne to równanie, w którym niewiadome są funkcjami , a nie prostymi wielkościami
Równania z pochodnymi, całkami i różnicami skończonymi:
- Równanie różniczkowe to równanie funkcjonalne obejmujące pochodne nieznanych funkcji, w którym funkcja i jej pochodne są oceniane w tym samym punkcie, na przykład ${\ displaystyle f' (x) = x ^ {2 }}$ . Równania różniczkowe dzielą się na równania różniczkowe zwyczajne dla funkcji jednej zmiennej i równania różniczkowe cząstkowe dla funkcji wielu zmiennych
- Równanie całkowe to równanie funkcyjne obejmujące funkcje pierwotne nieznanych funkcji. Dla funkcji jednej zmiennej równanie takie różni się od równania różniczkowego przede wszystkim zamianą zmiennej na podstawienie funkcji przez jej pochodną, jednak inaczej jest w przypadku przejęcia całki po otwartej powierzchni
- Równanie różniczkowo-całkowe jest równaniem funkcjonalnym obejmującym zarówno pochodne , jak i funkcje pierwotne nieznanych funkcji. Dla funkcji jednej zmiennej równanie takie różni się od równań całkowych i różniczkowych podobną zmianą zmiennej.
- Funkcjonalne równanie różniczkowe równania różniczkowego opóźnienia jest równaniem funkcji obejmującym pochodne nieznanych funkcji, ocenianych w wielu punktach, takich jak ${\ Displaystyle f '(x) = f (x -2)}$
- Równanie różnicowe to równanie, w którym niewiadomą jest funkcja f występująca w równaniu przez f ( x ), f ( x −1), ..., f ( x − k ), dla pewnej liczby całkowitej k zwanej rzędem równania. Jeśli x jest ograniczone do liczby całkowitej, równanie różnicowe jest tym samym, co relacja rekurencyjna
- Równanie różniczkowe stochastyczne to równanie różniczkowe, w którym jeden lub więcej składników jest procesem stochastycznym

Zobacz też

Notatki

Linki zewnętrzne

Winplot : ploter ogólnego przeznaczenia, który może rysować i animować równania matematyczne 2D i 3D.
Ploter równań : Strona internetowa do tworzenia i pobierania wykresów w formacie PDF lub PostScript zestawów rozwiązań równań i nierówności w dwóch zmiennych ( x i y ).