Rozwiązania obce i brakujące
W matematyce rozwiązanie zewnętrzne (lub rozwiązanie fałszywe ) to rozwiązanie, takie jak rozwiązanie równania, które wyłania się z procesu rozwiązywania problemu, ale nie jest prawidłowym rozwiązaniem problemu. Brakujące rozwiązanie to rozwiązanie, które jest poprawnym rozwiązaniem problemu, ale zniknęło w trakcie jego rozwiązywania. Oba są często konsekwencją wykonywania operacji, które nie są odwracalne dla niektórych lub wszystkich wartości zmiennych, co zapobiega dwukierunkowości łańcucha implikacji logicznych w dowodzie.
Rozwiązania obce: mnożenie
Jedną z podstawowych zasad algebry jest to, że można pomnożyć obie strony równania przez to samo wyrażenie bez zmiany rozwiązań równania. Jednak ściśle rzecz biorąc, nie jest to prawdą, ponieważ mnożenie przez pewne wyrażenia może wprowadzić nowe rozwiązania, których wcześniej nie było. Rozważmy na przykład następujące równanie:
Jeśli pomnożymy obie strony przez zero, otrzymamy
Jest to prawdziwe dla wszystkich wartości x , więc zbiorem rozwiązań są same liczby rzeczywiste. Ale oczywiście nie wszystkie liczby rzeczywiste są rozwiązaniami pierwotnego równania. Problem polega na tym, że mnożenie przez zero nie jest odwracalne : jeśli pomnożymy przez dowolną wartość różną od zera, możemy odwrócić krok, dzieląc przez tę samą wartość, ale dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane, więc mnożenia przez zero nie można odwrócić.
Bardziej subtelnie, załóżmy, że bierzemy to samo równanie i mnożymy obie strony przez x . dostajemy
To równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, − 2 i 0. Ale jeśli zero zostanie zastąpione x w pierwotnym równaniu, wynikiem jest nieprawidłowe równanie 2 = 0. Ten sprzeczny z intuicją wynik występuje, ponieważ w przypadku, gdy x = 0, mnożenie obu stron przez x mnoży obie strony przez zero, a zatem koniecznie tworzy prawdziwe równanie, tak jak w pierwszym przykładzie.
Ogólnie rzecz biorąc, ilekroć mnożymy obie strony równania przez wyrażenie obejmujące zmienne, wprowadzamy obce rozwiązania wszędzie tam, gdzie to wyrażenie jest równe zeru. Ale nie wystarczy wykluczyć tych wartości, ponieważ mogły one być uzasadnionymi rozwiązaniami pierwotnego równania. Załóżmy na przykład, że mnożymy obie strony naszego pierwotnego równania x + 2 = 0 przez x + 2. Otrzymujemy
które ma tylko jedno rzeczywiste rozwiązanie: x = −2, a to jest rozwiązanie pierwotnego równania, więc nie można go wykluczyć, mimo że x + 2 wynosi zero dla tej wartości x .
Rozwiązania zewnętrzne: racjonalne
Zewnętrzne rozwiązania mogą pojawić się naturalnie w problemach dotyczących ułamków ze zmiennymi w mianowniku. Rozważmy na przykład to równanie:
Aby rozpocząć rozwiązywanie, mnożymy każdą stronę równania przez najmniejszy wspólny mianownik wszystkich ułamków zawartych w równaniu. W tym przypadku najmniejszym wspólnym mianownikiem jest . Po wykonaniu tych operacji ułamki są eliminowane, a równanie ma postać:
Rozwiązanie tego daje pojedyncze rozwiązanie x = −2. Jednak gdy podstawimy rozwiązanie z powrotem do pierwotnego równania, otrzymamy:
Równanie staje się wtedy:
To równanie nie jest poprawne, ponieważ nie można dzielić przez zero . Dlatego rozwiązanie x = –2 jest obce i nieważne, a oryginalne równanie nie ma rozwiązania.
W tym konkretnym przykładzie można zauważyć, że (dla wartości x = -2) operacja mnożenia przez byłoby pomnożeniem przez 0. Jednak nie zawsze łatwo jest ocenić, czy ostateczna odpowiedź pozwoliła na każdą już wykonaną operację. Z tego powodu często jedynym prostym skutecznym sposobem radzenia sobie z mnożeniem przez wyrażenia zawierające zmienne jest zastąpienie każdego z otrzymanych rozwiązań oryginalnym równaniem i potwierdzenie, że daje to poprawne równanie. Po odrzuceniu rozwiązań, które dają nieważne równanie, otrzymamy prawidłowy zestaw rozwiązań. W niektórych przypadkach, jak w powyższym przykładzie, wszystkie rozwiązania można odrzucić, w którym to przypadku pierwotne równanie nie ma rozwiązania.
Brakujące rozwiązania: podział
Zewnętrzne rozwiązania nie są zbyt trudne do rozwiązania, ponieważ wymagają jedynie sprawdzenia poprawności wszystkich rozwiązań. Jednak bardziej podstępne są brakujące rozwiązania, które mogą wystąpić podczas wykonywania operacji na wyrażeniach, które są nieprawidłowe dla pewnych wartości tych wyrażeń.
Na przykład, gdybyśmy rozwiązywali następujące równanie, prawidłowe rozwiązanie uzyskuje się, odejmując 4 od obu stron, a następnie dzieląc obie strony przez 2:
Przez analogię moglibyśmy założyć, że możemy rozwiązać następujące równanie, odejmując 2 x od obu stron, a następnie dzieląc przez x :
Rozwiązanie x = −2 jest w rzeczywistości poprawnym rozwiązaniem pierwotnego równania; ale inne rozwiązanie, x = 0, zniknęło. Problem polega na tym, że podzieliliśmy obie strony przez x , co wiąże się z nieokreśloną operacją dzielenia przez zero, gdy x = 0.
Ogólnie możliwe (i wskazane) jest unikanie dzielenia przez dowolne wyrażenie, które może wynosić zero; jednak tam, gdzie jest to konieczne, wystarczy upewnić się, że wszelkie wartości zmiennych, które dają zero, również nie spełniają pierwotnego równania. Załóżmy na przykład, że mamy to równanie:
Prawidłowe jest podzielenie obu stron przez x −2, uzyskując następujące równanie:
Jest to poprawne, ponieważ jedyną wartością x , która sprawia, że x −2 jest równe zeru, jest x = 2, a x = 2 nie jest rozwiązaniem pierwotnego równania.
W niektórych przypadkach nie jesteśmy zainteresowani określonymi rozwiązaniami; na przykład możemy chcieć tylko rozwiązań, w których x jest dodatnie. W tym przypadku można dzielić przez wyrażenie, które jest równe zero tylko wtedy, gdy x jest równe zero lub ujemne, ponieważ może to usunąć tylko rozwiązania, które nas nie interesują.
Inne operacje
Mnożenie i dzielenie to nie jedyne operacje, które mogą modyfikować zbiór rozwiązań. Weźmy na przykład problem:
Jeśli weźmiemy dodatni pierwiastek kwadratowy z obu stron, otrzymamy:
Nie bierzemy tutaj pierwiastka kwadratowego z żadnych wartości ujemnych, ponieważ zarówno x 2, jak i 4 są koniecznie dodatnie. Ale straciliśmy rozwiązanie x = −2. Powodem jest to, że x faktycznie nie jest generalnie dodatnim pierwiastkiem kwadratowym z x 2 . Jeśli x jest ujemne, dodatni pierwiastek kwadratowy z x 2 to -x . Jeśli krok zostanie wykonany poprawnie, zamiast tego prowadzi do równania:
To równanie ma te same dwa rozwiązania, co oryginalne: x = 2 i x = −2.
Możemy również zmodyfikować zestaw rozwiązań, podnosząc obie strony do kwadratu, ponieważ spowoduje to, że wszelkie wartości ujemne w zakresach równania staną się dodatnie, powodując dodatkowe rozwiązania.