Równanie różniczkowe

Nie mylić z równaniem różnicowym .

Wizualizacja wymiany ciepła w obudowie pompy, utworzona przez rozwiązanie równania ciepła . Ciepło jest wytwarzane wewnętrznie w obudowie i chłodzone na granicy, zapewniając stały rozkład temperatury.

W matematyce równanie różniczkowe to równanie , które wiąże jedną lub więcej nieznanych funkcji i ich pochodnych . W zastosowaniach funkcje ogólnie reprezentują wielkości fizyczne, pochodne reprezentują tempo ich zmian, a równanie różniczkowe określa związek między nimi. Takie relacje są powszechne; dlatego równania różniczkowe odgrywają znaczącą rolę w wielu dyscyplinach, w tym w inżynierii , fizyce , ekonomii i biologii .

Badanie równań różniczkowych polega głównie na badaniu ich rozwiązań (zbioru funkcji spełniających każde równanie) oraz właściwości ich rozwiązań. Tylko najprostsze równania różniczkowe można rozwiązać za pomocą jawnych wzorów; jednak wiele właściwości rozwiązań danego równania różniczkowego można określić bez ich dokładnego obliczenia.

Często, gdy wyrażenie w postaci zamkniętej dla rozwiązań nie jest dostępne, rozwiązania można przybliżać numerycznie za pomocą komputerów. Teoria układów dynamicznych kładzie nacisk na jakościową analizę układów opisanych równaniami różniczkowymi, natomiast opracowano wiele metod numerycznych do wyznaczania rozwiązań z zadanym stopniem dokładności.

Historia

Równania różniczkowe pojawiły się po raz pierwszy wraz z wynalezieniem rachunku różniczkowego przez Newtona i Leibniza . W rozdziale 2 swojej pracy z 1671 r. Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum Isaac Newton wymienił trzy rodzaje równań różniczkowych:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac { dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\częściowy y}{\częściowe x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\częściowe y}{\częściowe x_{2}}}=y\end{wyrównane}}}$

We wszystkich tych przypadkach y jest nieznaną funkcją x (lub x ₁ i x ₂ ), a f jest daną funkcją.

Rozwiązuje te i inne przykłady za pomocą nieskończonych szeregów i omawia niejednoznaczność rozwiązań.

Jacob Bernoulli zaproponował równanie różniczkowe Bernoulliego w 1695 r. Jest to zwykłe równanie różniczkowe postaci

${\ Displaystyle y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n} \,}$

dla którego w następnym roku Leibniz uzyskał rozwiązania, upraszczając je.

Historycznie rzecz biorąc, problem wibrującej struny, takiej jak instrument muzyczny , był badany przez Jeana le Rond d'Alemberta , Leonharda Eulera , Daniela Bernoulliego i Josepha-Louisa Lagrange'a . W 1746 roku d'Alembert odkrył jednowymiarowe równanie falowe , aw ciągu dziesięciu lat Euler odkrył trójwymiarowe równanie falowe.

Eulera -Lagrange'a zostało opracowane w latach pięćdziesiątych XVIII wieku przez Eulera i Lagrange'a w związku z ich badaniami problemu tautochrony . Jest to problem określenia krzywej, po której ważona cząstka spadnie do stałego punktu w ustalonym czasie, niezależnie od punktu początkowego. Lagrange rozwiązał ten problem w 1755 roku i wysłał rozwiązanie do Eulera. Obaj rozwinęli metodę Lagrange'a i zastosowali ją w mechanice , co doprowadziło do sformułowania mechaniki Lagrange'a .

W 1822 roku Fourier opublikował swoją pracę na temat przepływu ciepła w Théorie analytique de la chaleur (Analityczna teoria ciepła), w której oparł swoje rozumowanie na prawie chłodzenia Newtona , a mianowicie, że przepływ ciepła między dwiema sąsiednimi cząsteczkami jest proporcjonalny do bardzo mała różnica ich temperatur. W tej książce zawarta była propozycja Fouriera dotycząca jego równania ciepła dla przewodzącej dyfuzji ciepła. Tego równania różniczkowego cząstkowego uczy się teraz każdy student fizyki matematycznej.

Przykład

W mechanice klasycznej ruch ciała jest opisywany przez jego położenie i prędkość w zależności od wartości czasu. Prawa Newtona pozwalają na dynamiczne wyrażanie tych zmiennych (biorąc pod uwagę położenie, prędkość, przyspieszenie i różne siły działające na ciało) jako równanie różniczkowe dla nieznanego położenia ciała w funkcji czasu.

W niektórych przypadkach to równanie różniczkowe (zwane równaniem ruchu ) można rozwiązać jawnie.

Przykładem modelowania rzeczywistego problemu za pomocą równań różniczkowych jest określenie prędkości piłki spadającej w powietrzu, biorąc pod uwagę tylko grawitację i opór powietrza. Przyspieszenie piłki w kierunku ziemi to przyspieszenie ziemskie pomniejszone o opóźnienie spowodowane oporem powietrza. Grawitację uważa się za stałą, a opór powietrza można modelować jako proporcjonalny do prędkości piłki. Oznacza to, że przyspieszenie piłki, które jest pochodną jej prędkości, zależy od prędkości (a prędkość zależy od czasu). Znalezienie prędkości w funkcji czasu wymaga rozwiązania równania różniczkowego i sprawdzenia jego ważności.

typy

Równania różniczkowe można podzielić na kilka rodzajów. Oprócz opisywania właściwości samego równania, te klasy równań różniczkowych mogą pomóc w wyborze podejścia do rozwiązania. Powszechnie stosowane rozróżnienia obejmują to, czy równanie jest zwyczajne, czy częściowe, liniowe czy nieliniowe, jednorodne czy niejednorodne. Ta lista nie jest wyczerpująca; istnieje wiele innych właściwości i podklas równań różniczkowych, które mogą być bardzo przydatne w określonych kontekstach.

Równania różniczkowe zwyczajne

Główne artykuły: Równanie różniczkowe zwyczajne i Równanie różniczkowe liniowe

Równanie różniczkowe zwyczajne ( ODE ) to równanie zawierające nieznaną funkcję jednej zmiennej rzeczywistej lub zespolonej x , jej pochodne oraz pewne dane funkcje x . Nieznana funkcja jest ogólnie reprezentowana przez zmienną (często oznaczaną jako y ), która zatem zależy od x . Dlatego x jest często nazywane zmienną niezależną równania. Termin „ zwykłe ” jest używany w przeciwieństwie do terminu równanie różniczkowe cząstkowe , które może odnosić się do więcej niż jednej zmiennej niezależnej.

Liniowe równania różniczkowe to równania różniczkowe, które są liniowe w nieznanej funkcji i jej pochodnych. Ich teoria jest dobrze rozwinięta iw wielu przypadkach ich rozwiązania można wyrazić za pomocą całek .

Większość ODE spotykanych w fizyce ma charakter liniowy. Dlatego większość funkcji specjalnych można zdefiniować jako rozwiązania liniowych równań różniczkowych (patrz funkcja holonomiczna ).

Ponieważ na ogół rozwiązań równań różniczkowych nie można wyrazić za pomocą wyrażenia w postaci zamkniętej , do rozwiązywania równań różniczkowych na komputerze powszechnie stosuje się metody numeryczne .

Równania różniczkowe cząstkowe

Główny artykuł: Równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie różniczkowe cząstkowe ( PDE ) to równanie różniczkowe zawierające nieznane funkcje wielu zmiennych i ich pochodne cząstkowe . (Kontrastuje to ze zwykłymi równaniami różniczkowymi , które zajmują się funkcjami pojedynczej zmiennej i ich pochodnymi). modelka .

PDE mogą być używane do opisywania szerokiej gamy zjawisk w przyrodzie, takich jak dźwięk , ciepło , elektrostatyka , elektrodynamika , przepływ płynów , elastyczność lub mechanika kwantowa . Te pozornie odrębne zjawiska fizyczne można podobnie sformalizować w kategoriach PDE. Tak jak zwykłe równania różniczkowe często modelują jednowymiarowe układy dynamiczne , tak równania różniczkowe cząstkowe często modelują układy wielowymiarowe . Stochastyczne równania różniczkowe cząstkowe uogólniają równania różniczkowe cząstkowe do modelowania losowości .

Nieliniowe równania różniczkowe

Główny artykuł: Nieliniowe równania różniczkowe

Nieliniowe równanie różniczkowe to równanie różniczkowe, które nie jest równaniem liniowym w nieznanej funkcji i jej pochodnych (liniowość lub nieliniowość w argumentach funkcji nie są tutaj brane pod uwagę). Istnieje bardzo niewiele metod dokładnego rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych; te, które są znane, zazwyczaj zależą od równania mającego określone symetrie . Nieliniowe równania różniczkowe mogą wykazywać bardzo skomplikowane zachowanie w dłuższych przedziałach czasu, charakterystyczne dla chaosu . Nawet fundamentalne pytania o istnienie, jednoznaczność i rozszerzalność rozwiązań dla nieliniowych równań różniczkowych, a także o właściwe ustawienie problemów z wartościami początkowymi i brzegowymi dla nieliniowych PDE są trudnymi problemami, a ich rozwiązanie w szczególnych przypadkach jest uważane za znaczący postęp w matematyce teoria (por. Istnienie i gładkość Naviera – Stokesa ). Jeśli jednak równanie różniczkowe jest poprawnie sformułowaną reprezentacją znaczącego procesu fizycznego, to oczekuje się, że będzie miało rozwiązanie.

Liniowe równania różniczkowe często pojawiają się jako przybliżenia równań nieliniowych. Te przybliżenia są ważne tylko w ograniczonych warunkach. Na przykład równanie oscylatora harmonicznego jest przybliżeniem nieliniowego równania wahadła, które jest ważne dla oscylacji o małej amplitudzie (patrz poniżej).

Kolejność i stopień równania

Rząd równania różniczkowego to rząd najwyższej pochodnej występującej w nim nieznanej funkcji. Kiedy równanie różniczkowe jest zapisane jako równanie wielomianowe w nieznanej funkcji i jej pochodnych, jego stopień jest, w zależności od kontekstu, stopniem w najwyższej pochodnej nieznanej funkcji lub całkowitym stopniem w nieznanej funkcji i jej pochodnych. W szczególności liniowe równanie różniczkowe $pierwszy$ dla obu znaczeń, ale nieliniowe równanie różniczkowe ma stopień pierwszy dla nie dla drugiego.

Równanie zawierające tylko pierwsze pochodne jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu , równanie zawierające drugą pochodną jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu i tak dalej.

Równania różniczkowe opisujące zjawiska naturalne prawie zawsze zawierają tylko pochodne pierwszego i drugiego rzędu, ale są pewne wyjątki, takie jak pewna postać równania cienkowarstwowego, które jest równaniem różniczkowym cząstkowym czwartego rzędu.

Przykłady

W pierwszej grupie przykładów u jest nieznaną funkcją x , a c i ω są stałymi, które powinny być znane. Dwie szerokie klasyfikacje równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych polegają na rozróżnieniu równań różniczkowych liniowych i nieliniowych oraz równań różniczkowych jednorodnych różniczkowych i równań heterogenicznych .

• Heterogeniczne równanie różniczkowe zwyczajne o stałej liniowej pierwszego rzędu:

  ${\ Displaystyle {\ Frac {du} {dx}} = cu + x ^ {2}.}$

• Jednorodne liniowe równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu:

  ${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} -x {\frac {du} {dx}} + u = 0.}$

• Jednorodne równanie różniczkowe zwyczajne o stałym współczynniku liniowym drugiego rzędu opisujące oscylator harmoniczny :

  ${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} +\omega^{2}u=0.}$

• Heterogeniczne nieliniowe równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu:

  ${\ Displaystyle {\ Frac {du} {dx}} = u ^ {2} + 4.}$

• Nieliniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu (ze względu na funkcję sinusoidalną) zwyczajne opisujące ruch wahadła o długości L :

  ${\ Displaystyle L {\ Frac {d ^ {2 }u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$

W następnej grupie przykładów nieznana funkcja u zależy od dwóch zmiennych x i t lub x i y .

• Jednorodne liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

  ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + t {\ Frac {\ częściowe u} \częściowy x}}=0.}$

• Jednorodne równanie różniczkowe cząstkowe ze stałą liniową drugiego rzędu typu eliptycznego, równanie Laplace'a :

  ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} \częściowy x^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}u}{\częściowy y^{2}}}=0.}$

• Jednorodne nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe trzeciego rzędu, równanie KdV :

  ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} = 6u {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}} - {\ Frac {\ częściowe ^ {3} u} {\ częściowe x ^{3}}}.}$

Istnienie rozwiązań

Rozwiązywanie równań różniczkowych nie przypomina rozwiązywania równań algebraicznych . Nie tylko ich rozwiązania są często niejasne, ale to, czy rozwiązania są unikalne lub w ogóle istnieją, jest również przedmiotem zainteresowania.

W przypadku problemów z wartością początkową pierwszego rzędu twierdzenie o istnieniu Peano podaje jeden zestaw okoliczności, w których istnieje rozwiązanie. $l,m]\times [n,p]}$ uwagę dowolny punkt $płaszczyźnie xy$ jakiś prostokątny region $taki$$,$ że $jest$ we Z $Z}$ . re ${\ textstyle {\ Frac {dy} {dx}} = g (x, y)}$ warunek, że ${\ displaystyle y = b}$ kiedy ${\ displaystyle x = a}$ , to istnieje lokalnie rozwiązanie tego problemu, jeśli ${\ Displaystyle g (x, y)}$ i ${\ textstyle { \ frac {\ częściowe g} {\ częściowe x}}}$ są ciągłe na ${\ displaystyle Z}$ . To rozwiązanie istnieje w pewnym przedziale, którego środek znajduje się za $\ displaystyle a}$ . Rozwiązanie może nie być unikalne. (Zobacz Równanie różniczkowe zwyczajne, aby uzyskać inne wyniki).

Jednak pomaga nam to tylko w problemach z wartością początkową pierwszego rzędu . Załóżmy, że mamy problem z liniową wartością początkową n-tego rzędu:

${\ Displaystyle f_ {n} (x) {\ Frac {d ^ {n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)}$

takie że

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y (x_ {0}) i = y_ {0}, i y '(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{wyrównane}}}$

fa ${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$ , if $Displaystyle \ {f_ {0}, f_ {1}, \ ldots \}}$ i ${\ displaystyle g}$ są ciągłe w pewnym przedziale zawierającym $displaystyle$ y $y}$ są unikalne i istnieją.

Pojęcia pokrewne

• Równanie różniczkowe opóźnienia (DDE) jest równaniem funkcji pojedynczej zmiennej, zwykle nazywanej czasem , w którym pochodna funkcji w określonym czasie jest wyrażona wartościami funkcji w czasach wcześniejszych.
• Równanie całkowo-różnicowe (IDE) to równanie łączące aspekty równania różniczkowego i równania całkowego .
• równanie różniczkowe (SDE) to równanie, w którym nieznana wielkość jest procesem stochastycznym , a równanie obejmuje pewne znane procesy stochastyczne, na przykład proces Wienera w przypadku równań dyfuzji.
• Stochastyczne równanie różniczkowe cząstkowe (SPDE) to równanie, które uogólnia SDE, tak aby obejmowało procesy szumu czasoprzestrzennego, z zastosowaniami w kwantowej teorii pola i mechanice statystycznej .
• Ultrametryczne równanie pseudoróżniczkowe to równanie zawierające liczby p-adyczne w przestrzeni ultrametrycznej . Modele matematyczne, które obejmują ultrametryczne równania pseudoróżniczkowe, zamiast operatorów różniczkowych używają operatorów pseudoróżniczkowych .
• Różniczkowe równanie algebraiczne (DAE) to równanie różniczkowe zawierające wyrażenia różniczkowe i algebraiczne, podane w formie niejawnej.

Powiązanie z równaniami różnicowymi

Zobacz też: Rachunek skali czasu

Teoria równań różniczkowych jest ściśle powiązana z teorią równań różniczkowych , w której współrzędne przyjmują tylko wartości dyskretne, a związek obejmuje wartości nieznanej funkcji lub funkcji oraz wartości w pobliskich współrzędnych. Wiele metod obliczania numerycznych rozwiązań równań różniczkowych lub badania właściwości równań różniczkowych obejmuje aproksymację rozwiązania równania różniczkowego przez rozwiązanie odpowiedniego równania różniczkowego.

Aplikacje

Badanie równań różniczkowych to szeroka dziedzina matematyki czystej i stosowanej , fizyki i inżynierii . Wszystkie te dyscypliny zajmują się właściwościami równań różniczkowych różnych typów. Matematyka czysta koncentruje się na istnieniu i niepowtarzalności rozwiązań, podczas gdy matematyka stosowana kładzie nacisk na rygorystyczne uzasadnienie metod aproksymacji rozwiązań. Równania różniczkowe odgrywają ważną rolę w modelowaniu praktycznie każdego procesu fizycznego, technicznego lub biologicznego, od ruchu ciał niebieskich, przez projektowanie mostów, po interakcje między neuronami. Równania różniczkowe, takie jak te używane do rozwiązywania rzeczywistych problemów, niekoniecznie muszą być bezpośrednio rozwiązywalne, tj. nie mają rozwiązań w postaci zamkniętej . Zamiast tego rozwiązania można przybliżać metodami numerycznymi .

Wiele podstawowych praw fizyki i chemii można sformułować w postaci równań różniczkowych. W biologii i ekonomii równania różniczkowe są używane do modelowania zachowania złożonych systemów. Matematyczna teoria równań różniczkowych rozwinęła się po raz pierwszy wraz z naukami ścisłymi, w których powstały równania i w których wyniki znalazły zastosowanie. Jednak różne problemy, czasami wywodzące się z całkiem różnych dziedzin nauki, mogą prowadzić do identycznych równań różniczkowych. Ilekroć tak się dzieje, teorię matematyczną stojącą za równaniami można postrzegać jako jednoczącą zasadę stojącą za różnymi zjawiskami. Jako przykład rozważmy rozchodzenie się światła i dźwięku w atmosferze oraz fal na powierzchni stawu. Wszystkie z nich można opisać za pomocą tego samego równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu , równania falowego , które pozwala nam myśleć o świetle i dźwięku jako formach fal, podobnie jak znane fale w wodzie. Przewodzenie ciepła, którego teorię opracował Joseph Fourier , reguluje inne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, równanie ciepła . Okazuje się, że wiele dyfuzji , choć pozornie różnych, opisuje to samo równanie; równanie Blacka – Scholesa w finansach jest na przykład powiązane z równaniem ciepła.

Liczba równań różniczkowych, które otrzymały nazwy w różnych dziedzinach nauki, świadczy o wadze tematu. Zobacz Lista nazwanych równań różniczkowych .

Oprogramowanie

Niektóre programy CAS mogą rozwiązywać równania różniczkowe. Warto wspomnieć o tym oprogramowaniu CAS i ich poleceniach:

• Klon : rozpuszczalny
• Matematyka : DSolve[]
• Maksima : ode2(równanie, y, x)
• SageMath : desolve()
• SymPy : sympy.solvers.ode.dsolve(równanie)
• Xcas : desolve(y'=k*y,y)

Zobacz też

• Dokładne równanie różniczkowe
• Funkcjonalne równanie różniczkowe
• Stan początkowy
• Równania całkowe
• Metody numeryczne dla równań różniczkowych zwyczajnych
• Metody numeryczne dla równań różniczkowych cząstkowych
• Twierdzenie Picarda-Lindelöfa o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
• Relacja powtarzalności , znana również jako „równanie różnicowe”
• Abstrakcyjne równanie różniczkowe
• Układ równań różniczkowych

Dalsza lektura

• Abbott, P.; Neill, H. (2003). Naucz się rachunku różniczkowego . s. 266–277.
• Blanchard, P.; Devaney, RL ; Hall, GR (2006). Równania różniczkowe . Thompsona.
• Boyce, W.; DiPrima, R.; Meade, D. (2017). Podstawowe równania różniczkowe i problemy z wartościami brzegowymi . Wileya.
• Coddington, EA; Levinson, N. (1955). Teoria równań różniczkowych zwyczajnych . McGraw-Hill.
• Ince, EL (1956). Równania różniczkowe zwyczajne . Dover.
• Johnson, W. (1913). Traktat o równaniach różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych . John Wiley i synowie. W kolekcji matematyki historycznej Uniwersytetu Michigan
•   Polianina, AD; Zaitsev, VF (2003). Podręcznik dokładnych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (wyd. 2). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2 .
• Porter, RI (1978). „XIX Równania różniczkowe”. Dalsza analiza elementarna .
•   Teschl, Gerald (2012). Równania różniczkowe zwyczajne i układy dynamiczne . Providence : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
•   Daniel Zwillinger (12 maja 2014). Podręcznik równań różniczkowych . Nauka Elseviera. ISBN 978-1-4832-6396-0 .

Linki zewnętrzne

• Media związane z równaniami różniczkowymi w Wikimedia Commons
• Wykłady na temat równań różniczkowych MIT Open CourseWare Videos
• Notatki online / Równania różniczkowe Paul Dawkins, Lamar University
• Równania różniczkowe , matematyka SOS
• Wprowadzenie do modelowania za pomocą równań różniczkowych Wprowadzenie do modelowania za pomocą równań różniczkowych, wraz z uwagami krytycznymi.
• Mathematical Assistant on Web Symboliczne narzędzie ODE, wykorzystujące Maximę
• Dokładne rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych
• Zbiór modeli ODE i DAE układów fizycznych Modele MATLAB
• Uwagi na temat Diffy Qs: Równania różniczkowe dla inżynierów Podręcznik wprowadzający do równań różniczkowych autorstwa Jiri Lebla z UIUC
• Playlista wideo Khan Academy o równaniach różniczkowych Tematy omawiane na kursie równań różniczkowych pierwszego roku.
• MathDiscuss Playlista wideo na temat równań różniczkowych