Stan początkowy

Stan początkowy drgającej struny

Ewolucja od stanu początkowego

W matematyce , a zwłaszcza w układach dynamicznych , warunek początkowy , w niektórych kontekstach nazywany wartością początkową , jest wartością zmieniającej się zmiennej w pewnym momencie, określanym jako czas początkowy (zwykle oznaczany jako t = 0). Dla systemu rzędu k (liczba opóźnień czasowych w czasie dyskretnym lub rząd największej pochodnej w czasie ciągłym ) i wymiaru n (czyli z n różne ewoluujące zmienne, które razem można oznaczyć za pomocą n -wymiarowego wektora współrzędnych ), na ogół potrzeba nk warunków początkowych, aby prześledzić zmienne systemu w przód w czasie.

Zarówno w równaniach różniczkowych w czasie ciągłym, jak iw równaniach różniczkowych w czasie dyskretnym, warunki początkowe wpływają na wartość zmiennych dynamicznych ( zmiennych stanu ) w dowolnym czasie w przyszłości. W czasie ciągłym problem znalezienia rozwiązania w postaci zamkniętej dla zmiennych stanu w funkcji czasu i warunków początkowych nazywa się problemem wartości początkowej . Odpowiedni problem istnieje dla sytuacji w czasie dyskretnym. Chociaż rozwiązanie w postaci zamkniętej nie zawsze jest możliwe do uzyskania, przyszłe wartości dyskretnego systemu czasu można znaleźć, iterując do przodu o jeden okres czasu na iterację, chociaż błąd zaokrąglenia może sprawić, że będzie to niepraktyczne w długim horyzoncie czasowym.

Układ liniowy

Czas dyskretny

liniowa równanie różnicowe postaci jednorodnej (nie mającej stałego składnika) $displaystyle X_ {t} = A ^ {t} X_ {0}}$ w postaci zamkniętej $}$ $}$ $na$ wektorze warunków początkowych dla poszczególnych zmiennych, które są ułożone w wektor; ${\ displaystyle X_ {0}}$ nazywa się wektorem warunków początkowych lub po prostu warunkiem początkowym i zawiera nk informacji, gdzie n jest wymiarem wektora X , a k = 1 jest liczbą opóźnień czasowych w systemie. Warunki początkowe w tym układzie liniowym nie wpływają na jakościowy charakter przyszłego zachowania się zmiennej stanu X ; to zachowanie jest stabilne lub niestabilne w oparciu o wartości własne macierzy A , ale nie w oparciu o warunki początkowe.

Alternatywnie, dynamiczny proces w pojedynczej zmiennej x ma wiele opóźnień czasowych

{\ Displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + a_ {2} x_ {t-2} + \ cdots + a_ {k} x_ {tk}.}

Tutaj wymiar to n = 1, a rząd to k , więc niezbędna liczba warunków początkowych do prześledzenia systemu w czasie, iteracyjnie lub za pomocą rozwiązania w postaci zamkniętej, wynosi nk = k . Ponownie warunki początkowe nie wpływają na jakościowy charakter długoterminowej ewolucji zmiennej. Rozwiązanie tego równania znajduje się za pomocą jego równania charakterystycznego $1$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {k} -a_ {1} \ lambda ^ {k-1} -a_ {2} \ lambda ^ {k-2} - \ cdots$ $\lambda _{k},}$ … λ $Displaystyle \ lambda _ {1}$ , \ do zastosowania w równaniu rozwiązania

{\ Displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda _ {1} ^ {t} + \ cdots + c_ {k} \ lambda _ {k} ^ {t}.}

$t$ stałe są znajdowane przez rozwiązanie układu k różnych równań tym równaniu, z których każde różnych wartości $jest$ określony warunek .

Czas ciągły

Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu z n zmiennymi ułożonymi w stos w wektorze X to

{\ Displaystyle {\ Frac {dX} {dt}} = AX.}

Jego zachowanie w czasie można prześledzić za pomocą rozwiązania w postaci zamkniętej uzależnionego od wektora $warunków$ . Liczba wymaganych informacji początkowych to wymiar n systemu pomnożony przez rząd k = 1 systemu, czyli n . Warunki początkowe nie wpływają na jakościowe zachowanie (stabilne lub niestabilne) systemu.

Pojedyncze równanie liniowe k- ^tego rzędu dla pojedynczej zmiennej x to

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {k} x} {dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac { dx}{dt}}+a_{0}x=0.}

Tutaj liczba warunków początkowych niezbędnych do uzyskania rozwiązania w postaci zamkniętej to wymiar n = 1 razy rząd k lub po prostu k . W tym przypadku k początkowych fragmentów informacji zazwyczaj nie będzie różnymi wartościami zmiennej x w różnych punktach w czasie, ale raczej wartościami x i jej pierwszymi k – 1 pochodnymi, wszystkie w pewnym momencie w czasie, takim jak czas zero. Warunki początkowe nie wpływają na jakościowy charakter zachowania systemu. Równanie charakterystyczne $Displaystyle \ lambda ^ {k} + a_ {k-1} \ lambda ^ {k-1} +\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$ za którego rozwiązaniami są wartości charakterystyczne ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ kropki, \ lambda _ {k};}$ są one używane w równaniu rozwiązania

{\ Displaystyle x (t) = c_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} + \ cdots + c_ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}.}

To równanie i jego pierwsze k - 1 pochodne tworzą układ k równań, które można rozwiązać dla k parametrów ${\ Displaystyle c_ {1}, \ kropki, c_ {k},}$ znane warunki początkowe na x i wartości jego k – 1 pochodnych w pewnym momencie t .

Układy nieliniowe

Kolejny warunek początkowy

Ewolucja tego warunku początkowego dla przykładowego PDE

Systemy nieliniowe mogą wykazywać znacznie bogatszą różnorodność zachowań niż systemy liniowe. W szczególności warunki początkowe mogą wpływać na to, czy system rozchodzi się do nieskończoności, czy też zbiega się do jednego lub drugiego atraktora systemu. Każdy atraktor, (prawdopodobnie rozłączony) region wartości, do którego zbliżają się niektóre ścieżki dynamiczne, ale nigdy go nie opuszczają, ma (prawdopodobnie rozłączony) basen przyciągania takie, że zmienne stanu z warunkami początkowymi w tym basenie (i nigdzie indziej) będą ewoluować w kierunku tego atraktora. Nawet pobliskie warunki początkowe mogą znajdować się w basenach przyciągania różnych atraktorów (patrz na przykład metoda Newtona # Baseny przyciągania ).

Co więcej, w tych nieliniowych układach, które wykazują zachowanie chaotyczne , ewolucja zmiennych wykazuje czułą zależność od warunków początkowych : iterowane wartości dowolnych dwóch bardzo bliskich punktów na tym samym dziwnym atraktorze , podczas gdy każdy z nich pozostaje na atraktorze, będą się od siebie różnić w ciągu czas. Zatem nawet na pojedynczym atraktorze dokładne wartości warunków początkowych mają istotny wpływ na przyszłe pozycje iteratów. Ta funkcja umożliwia dokładną symulację przyszłych wartości trudne i niemożliwe w długim horyzoncie, ponieważ określenie warunków początkowych z dokładną precyzją jest rzadko możliwe, a błąd zaokrąglenia jest nieunikniony nawet po kilku iteracjach od dokładnego warunku początkowego.

Prawa empiryczne i warunki początkowe

Każde prawo empiryczne ma tę niepokojącą cechę, że nie zna się jego ograniczeń. Widzieliśmy, że w wydarzeniach w otaczającym nas świecie istnieją pewne prawidłowości, które można sformułować w kategoriach pojęć matematycznych z niesamowitą dokładnością. Z drugiej strony są takie aspekty świata, co do których nie wierzymy w istnienie jakichkolwiek dokładnych prawidłowości. Nazywamy te warunki początkowe.

Zobacz też

Warunek brzegowy
Wektor inicjalizacji w kryptografii

Linki zewnętrzne

Cytaty dotyczące stanu początkowego w Wikicytatach