Powtarzalność liniowa ze stałymi współczynnikami

Dalsze informacje: Sekwencja stała-rekurencyjna

W matematyce (łącznie z kombinatoryką , algebrą liniową i układami dynamicznymi ) rekurencja liniowa ze stałymi współczynnikami (znana również jako relacja rekurencyjna liniowa lub liniowe równanie różnicowe ) ustawia na wartość 0 wielomian , który jest liniowy w różnych iteracjach zmiennej — to znaczy w wartościach elementów sekwencji . Liniowość wielomianu oznacza, że ​​każdy z jego wyrazów ma stopień 0 lub 1. Powtarzalność liniowa oznacza ewolucję jakiejś zmiennej w czasie, z bieżącym okresem lub dyskretnym momentem w czasie oznaczonym jako t , jeden okres wcześniej oznaczony jako t - 1 , jeden okres później jako t + 1 , itd.

Rozwiązaniem takiego równania jest funkcja t , a nie jakichkolwiek wartości iteracyjnych , dająca wartość iteracji w dowolnym momencie. Aby znaleźć rozwiązanie, konieczna jest znajomość określonych wartości (tzw. warunków początkowych ) n iteracji, a zwykle są to n iteracje, które są najstarsze. Mówimy, że równanie lub jego zmienna są stabilne , jeśli z dowolnego zestawu warunków początkowych istnieje granica zmiennej w czasie do nieskończoności; granica ta nazywana jest stanem ustalonym .

Równania różnicowe są używane w różnych kontekstach, na przykład w ekonomii , do modelowania ewolucji w czasie zmiennych, takich jak produkt krajowy brutto , stopa inflacji , kurs walutowy itp. Są one używane w modelowaniu takich szeregów czasowych , ponieważ wartości tych zmienne są mierzone tylko w dyskretnych odstępach czasu. W ekonometrycznych liniowe równania różnicowe są modelowane wyrazami stochastycznymi w postaci modeli autoregresyjnych (AR) oraz w modelach takich jak: modele wektorowej autoregresji (VAR) i autoregresyjnej średniej ruchomej (ARMA), które łączą AR z innymi funkcjami.

Definicje

Rekurencja liniowa o stałych współczynnikach jest równaniem o następującej postaci, zapisanym za pomocą parametrów a ₁ , …, a _n i b :

${\ Displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {tn }+b,}$

lub równoważnie jako

${\ Displaystyle y_ {t + n} = a_ {1} y_ {t + n-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {t} + b.}$

Dodatnia liczba całkowita $.$ jest kolejnością nawrotów i oznacza najdłuższy odstęp czasu między iteracjami Równanie nazywamy jednorodnym , jeśli b = 0 i niejednorodnym, jeśli b ≠ 0 .

Jeśli równanie jest jednorodne, współczynniki określają wielomian charakterystyczny (również „wielomian pomocniczy” lub „wielomian towarzyszący”)

${\ Displaystyle p (\ lambda) = \ lambda ^ {n} -a_ {1} \ lambda ^ { n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\cdots -a_{n}}$

których korzenie odgrywają kluczową rolę w znalezieniu i zrozumieniu sekwencji spełniających powtarzalność.

Konwersja do formy jednorodnej

Jeśli b ≠ 0 , równanie

${\ Displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {tn} +b}$

mówi się, że jest niejednorodny . Aby rozwiązać to równanie, wygodnie jest przekształcić je w postać jednorodną, ​​bez stałego wyrazu. wartości stanu ustalonego równania — wartości y * takiej, że jeśli n kolejnych iteracji wszystkie miałyby tę wartość, to i wszystkie przyszłe wartości miałyby tę wartość. Wartość tę można znaleźć, ustawiając wszystkie wartości y równe y * w równaniu różnicowym i rozwiązując, otrzymując w ten sposób

${\ Displaystyle y ^ {*} = {\ Frac {b} {1-a_ {1} - \ cdots -a_ {n}}}}$

zakładając, że mianownik nie jest równy 0. Jeśli wynosi zero, stan ustalony nie istnieje.

Biorąc pod uwagę stan ustalony, równanie różnicowe można przepisać pod względem odchyleń iteracji od stanu ustalonego, ponieważ

${\ Displaystyle \ lewo (y_ {t} -y ^ {*} \ right)=a_{1}\left(y_{t-1}-y^{*}\right)+\cdots +a_{n}\left(y_{tn}-y^{*}\right)}$

który nie ma stałego terminu i który można zapisać zwięźlej jako

${\ Displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} x_ {tn}}$

gdzie x równa się y - y * . To jest forma jednorodna.

Jeśli nie ma stanu ustalonego, równanie różnicowe

${\ Displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {tn} +b}$

można łączyć z jego równoważną formą

${\ Displaystyle y_ {t-1} = a_ {1} y_ {t-2} + \ cdots + a_{n}y_{t-(n+1)}+b}$

otrzymać (rozwiązując oba dla b )

${\ Displaystyle y_ {t} -a_{1}y_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{tn}=y_{t-1}-a_{1}y_{t-2}-\cdots -a_{n}y_ {t-(n+1)}}$

w którym podobne wyrażenia można połączyć, aby uzyskać jednorodne równanie o jeden rząd wyższe niż oryginalne.

Przykład rozwiązania dla małych zamówień

Pierwiastki wielomianu charakterystycznego odgrywają kluczową rolę w znalezieniu i zrozumieniu sekwencji spełniających powtarzalność. Jeśli istnieją $korzenie$$,$ } to każde rozwiązanie nawrotu przyjmuje postać

${\ Displaystyle a_ {n} = k_ {1} r_ {1} ^ {n} + k_ {2} r_ { 2}^{n}+\cdots +k_{d}r_{d}^{n},}$

gdzie współczynniki są określane w celu dopasowania do warunków początkowych nawrotu. ${\ displaystyle k_ {i}} Kiedy te same pierwiastki występują$$potęgi$ razy, wyrazy w tym wzorze odpowiadające drugiemu i późniejszemu wystąpieniu tego samego pierwiastka są mnożone przez rosnące . $}$ można rozłożyć na czynniki jako z tym samym pierwiastkiem $r$ występujące trzy razy, to rozwiązanie przybrałoby postać

${\ Displaystyle a_ {n} = k_ {1} r ^ {n} + k_ {2} nr ^ {n} + k_ {3} n ^ {2} r ^ {n}.}$

Zamówienie 1

Dla zamówienia 1 powtórzenie

${\ Displaystyle a_ {n} = ra_ {n-1}}$

ma rozwiązanie ${\ displaystyle a_ {n} = r ^ {n}}$ z ${\ displaystyle a_ {0} = 1}$ , a najbardziej ogólnym rozwiązaniem jest ${\ displaystyle a_ {n} = kr ^ {n}}$ z za $\ displaystyle a_ {0} = k}$ . Charakterystyczny wielomian zrównany z zerem ( równanie charakterystyczne ) to po prostu ${\ displaystyle tr = 0}$ .

Zamówienie 2

$}$ fakt, że $\displaystyle t=r}$ rozwiązaniem dla nawrotu dokładnie wtedy, gdy $}$ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego. Można do tego podejść bezpośrednio lub za pomocą funkcji generujących ( formalne szeregi potęgowe ) lub macierzy.

Rozważmy na przykład relację rekurencyjną postaci

${\ Displaystyle a_ {n} = Aa_ {n-1} + Ba_ {n-2}.}$

Kiedy ma rozwiązanie tej samej ogólnej postaci co za $\ displaystyle a_ {n} = r ^ {n}}$ ? Podstawiając to przypuszczenie ( ansatz ) w relacji rekurencyjnej, znajdujemy to

${\ Displaystyle r ^ {n} = Ar ^ {n-1} + Br ^ {n-2}}$

musi być prawdziwe dla wszystkich ${\ displaystyle n> 1}$ .

Dzieląc przez przez , otrzymujemy, że wszystkie te równania sprowadzają się do tego samego: ${\ displaystyle r ^ {n-2}}$

${\ Displaystyle r ^ {2} = Ar + B,}$

${\ Displaystyle r ^ {2} -Ar-B = 0,}$

co jest charakterystycznym równaniem relacji rekurencyjnej. Rozwiąż dla ${2}} : pierwiastki$ dwóch pierwiastków $,$ λ $\ Displaystyle \ lambda$ są znane jako pierwiastki charakterystyczne lub wartości własne równanie charakterystyczne. Otrzymuje się różne rozwiązania w zależności od natury korzeni: Jeśli te korzenie są różne, mamy rozwiązanie ogólne

${\ Displaystyle a_ {n} = C \ lambda _ {1} ^ {n} + D \ lambda _ {2} ^ {n}}$

natomiast jeśli są identyczne (kiedy ) , mamy ZA ${\ Displaystyle A ^ {2} + 4B = 0$

${\ Displaystyle a_ {n} = C \ lambda ^ {n} + Dn \ lambda ^ {n}}$

To jest najbardziej ogólne rozwiązanie; dwie stałe i można wybrać na podstawie dwóch danych warunków początkowych $displaystyle a_ {1}$$}$$}$ displaystyle ${1}$ w celu uzyskania określonego rozwiązania do { .

$) ,$ (które również powodują zespolone wartości parametrów rozwiązania i $,$ przepisując rozwiązanie w postaci trygonometrycznej. W tym przypadku możemy zapisać wartości własne jako ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} = \ alfa \ pm \ beta i.}$ Wtedy można to pokazać

${\ Displaystyle a_ {n} = C \ lambda _ {1} ^ {n} + D \ lambda _ {2} ^ {n}}$

można przepisać jako

${\ Displaystyle a_ {n} = 2 M ^ {n} \left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right)=2GM^{n}\cos(\theta n-\delta ),}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcl} M = {\ sqrt {\ alfa ^ {2} + \ beta ^ {2}}} i \ cos (\ teta) = {\ tfrac {\ alfa} M}}&\sin(\theta )={\tfrac {\beta }{M}}\\C,D=E\mp Fi&&\\G={\sqrt {E^{2}+F^{2 }}}&\cos(\delta )={\tfrac {E}{G}}&\sin(\delta)={\tfrac {F}{G}}\end{tablica}}}$

Tutaj i $zależą$ lub równoważnie, $i$$które$ są rzeczywistymi stałymi, $od$ . Za pomocą

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} = 2 \ alfa = A,}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ cdot \ lambda _ {2} = \ alfa ^ {2} + \ beta ^ {2} = - B,}$

można uprościć rozwiązanie podane powyżej jako

${\ Displaystyle a_ {n} = (- B) ^ {\ Frac {n} {2}} \left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right),}$

gdzie i są warunkami początkowymi i za $}$ { $a_$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E & = {\ Frac {-Aa_ {1} + a_ {2}} {B}} \\ F & = -i {\ Frac {A ^ {2} a_ {1} - Aa_{2}+2a_{1}B}{B{\sqrt {A^{2}+4B}}}}\\\theta &=\arccos \left({\frac {A}{2{\sqrt {-B}}}}\right)\end{wyrównane}}}$

W ten sposób nie ma potrzeby rozwiązywania dla ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ λ ${\ displaystyle \ lambda _$ }

We wszystkich przypadkach - rzeczywistych odrębnych wartości własnych, rzeczywistych zduplikowanych wartości własnych i złożonych sprzężonych wartości własnych - równanie jest stabilne (to znaczy zmienna zbiega się do ustalonej wartości [konkretnie zero]) wtedy i tylko wtedy, gdy $są za {\ displaystyle a}$ wartości własne są mniejsze od jedności w wartości bezwzględnej . W tym przypadku drugiego rzędu można wykazać, że ten warunek dotyczący wartości własnych jest równoważny z ${\ Displaystyle | A | <1-B <2}$ , co jest równoważne z ${\ displaystyle | B| <1}$ i ${\ Displaystyle | A | <1-B}$ .

Ogólne rozwiązanie

Zobacz też: Równanie rekurencyjne § Rozwiązywanie jednorodnych liniowych relacji rekurencyjnych ze stałymi współczynnikami

Wielomian charakterystyczny i pierwiastki

Rozwiązywanie równania jednorodnego

${\ Displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} x_ {tn}}$

polega najpierw na rozwiązaniu jego charakterystycznego wielomianu

${\ Displaystyle \ lambda ^ {n} = a_ {1} \ lambda ^ {n-1} + \cdots +a_{n-2}\lambda ^{2}+a_{n-1}\lambda +a_{n}}$

dla jego charakterystycznych pierwiastków λ ₁ , ..., λ _n . Pierwiastki te można rozwiązać algebraicznie , jeśli n ≤ 4 , ale niekoniecznie inaczej . Jeśli rozwiązanie ma być użyte numerycznie, wszystkie pierwiastki tego charakterystycznego równania można znaleźć metodami numerycznymi . Jednak do użytku w kontekście teoretycznym może się okazać, że jedyną wymaganą informacją o pierwiastkach jest to, czy którykolwiek z nich jest większy lub równy 1 w wartości bezwzględnej .

Może się zdarzyć, że wszystkie pierwiastki są rzeczywiste lub niektóre z nich są liczbami zespolonymi . W tym drugim przypadku wszystkie złożone pierwiastki występują w złożonych parach koniugatów .

Rozwiązanie z wyraźnymi charakterystycznymi korzeniami

Jeśli wszystkie charakterystyczne pierwiastki są różne, rozwiązanie jednorodnego nawrotu liniowego

${\ Displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} x_ {tn}}$

można zapisać w kategoriach charakterystycznych pierwiastków jako

${\ Displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda _ {1} ^ {t} + \ cdots + c_ {n} \ lambda _ { n}^{t}}$

gdzie współczynniki c _i można znaleźć powołując się na warunki początkowe. W szczególności dla każdego okresu, dla którego znana jest wartość iteracji, tę wartość i odpowiadającą jej wartość t można wstawić do równania rozwiązania, aby uzyskać równanie liniowe w n jeszcze nieznanych parametrach; n takich równań, po jednym dla każdego warunku początkowego, można rozwiązać jednocześnie dla n wartości parametrów. Jeżeli wszystkie pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste, to wszystkie wartości współczynników c _i będzie również prawdziwy; ale przy nierzeczywistych pierwiastkach zespolonych na ogół niektóre z tych współczynników również będą nierzeczywiste.

Zamiana złożonego rozwiązania na postać trygonometryczną

Jeśli istnieją złożone pierwiastki, występują one w parach sprzężonych, podobnie jak złożone wyrazy w równaniu rozwiązania. Jeśli dwa z tych wyrazów złożonych to c _j λ
^t _j i c _{j +1} λ
^t _{j +1} , pierwiastki λ _j można zapisać jako

${\ Displaystyle \ lambda _ {j}, \ lambda _ {j + 1} = \ alfa \ pm \ beta i = M \left({\frac {\alpha}{M}}\pm {\frac {\beta}{M}}i\right)}$

gdzie i jest jednostką urojoną , a M jest modułem pierwiastków:

${\ Displaystyle M = {\ sqrt {\ alfa ^ {2} + \ beta ^ {2}}}.}$

Następnie dwa złożone wyrazy w równaniu rozwiązania można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {j} \ lambda _ {j} ^ {t} + c_ {j + 1} \ lambda _ {j + 1} ^ { t}&=M^{t}\left(c_{j}\left({\frac {\alpha}}}+{\frac {\beta}}{M}}i\right)^{t} +c_{j+1}\left({\frac {\alpha}{M}}-{\frac {\beta}{M}}i\right)^{t}\right)\\[6pt]& =M^{t}\left(c_{j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\ sin \theta \right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl (}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\ prawo)+c_{j+1}\left(\cos \theta ti\sin \theta t\right){\bigr )}\end{wyrównane}}}$

gdzie θ jest kątem, którego cosinus wynosi α / M , a sinus β / M ; ostatnia równość tutaj korzystała ze wzoru de Moivre'a .

Teraz proces znajdowania współczynników c _j i c _{j +1} gwarantuje, że są to również koniugaty zespolone, które można zapisać jako γ ± δi . Użycie tego w ostatnim równaniu daje to wyrażenie dla dwóch złożonych składników w równaniu rozwiązania:

${\ Displaystyle 2M ^ {t} \ lewo (\ gamma \ sałata \ teta t- \ delta \ sin \ teta t \ prawej)}$

co można również zapisać jako

${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {\ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2}}} M ^ {t} \ sałata (\ teta t + \psi )}$

gdzie ψ jest kątem, którego cosinus wynosi γ / √ γ ² + δ ² i którego sinus wynosi δ / √ γ ² + δ ² .

Cykliczność

W zależności od warunków początkowych, nawet przy wszystkich pierwiastkach rzeczywistych, iteracje mogą doświadczać przejściowej tendencji do przechodzenia powyżej i poniżej wartości stanu ustalonego. Ale prawdziwa cykliczność wiąże się ze stałą tendencją do fluktuacji, a dzieje się tak, jeśli istnieje co najmniej jedna para złożonych sprzężonych charakterystycznych pierwiastków. Można to zobaczyć w postaci trygonometrycznej ich udziału w równaniu rozwiązania, obejmującego cos θt i sin θt .

Rozwiązanie ze zduplikowanymi charakterystycznymi pierwiastkami

W przypadku drugiego rzędu, jeśli dwa pierwiastki są identyczne ( λ ₁ = λ ₂ ), oba można oznaczyć jako λ , a rozwiązanie może mieć postać

${\ Displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda ^ {t} + c_ {2} t \ lambda ^ {t}.}$

Rozwiązanie przez konwersję do postaci macierzowej

Alternatywna metoda rozwiązania polega na przekształceniu równania różnicowego n -tego rzędu w macierzowe równanie różnicowe pierwszego rzędu . Osiąga się to pisząc w _{1, t} = y _t , w _{2, t} = y _{t −1} = w _{1, t −1} , w _{3, t} = y _{t −2} = w _{2, t −1} , i tak dalej. Następnie oryginalne pojedyncze n -tego rzędu

${\ Displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b}$

można zastąpić następującymi n równaniami pierwszego rzędu:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} w_ {1, t} & = a_ {1} w_ {1, t-1} + a_ {2} w_ {2, t-1} + \ cdots + a_ {n} w_{n,t-1}+b\\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\\&\,\,\,\vdots \\w_{n,t}&=w_ {n-1,t-1}.\end{wyrównane}}}$

Definiowanie wektora w _i as

${\ Displaystyle \ mathbf {w} _ {i} = {\ rozpocząć {bmatrix} w_ {1, i} \\ w_ {2, ja }\\\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix}}}$

można to zapisać w postaci macierzowej jako

${\ Displaystyle \ mathbf {w} _ {t} = \ mathbf {A} \ mathbf {w} _ {t-1} + \ mathbf {b}}$

Tutaj A jest macierzą n × n , w której pierwszy wiersz zawiera 1 _, ..., a _n, a wszystkie pozostałe wiersze mają pojedynczą 1, a wszystkie inne elementy to 0, a b to wektor kolumnowy z pierwszym elementem b i z reszta jego elementów to 0.

To równanie macierzowe można rozwiązać za pomocą metod opisanych w artykule Macierzowe równanie różnicowe . W przypadku jednorodnym y _i jest para-permanentną dolną trójkątną macierzą

Rozwiązanie z wykorzystaniem funkcji generujących

Nawrót

${\ Displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {tn }+b,}$

można rozwiązać za pomocą teorii funkcji generujących . Najpierw piszemy ${\ Displaystyle Y (x) = \ suma _ {t \ geq 0} y_ {t} x ^ {t}}$ . Powtarzalność jest wtedy równoważna następującemu równaniu funkcji generującej:

${\ Displaystyle Y (x) = a_{1}xY(x)+a_{2}x^{2}Y(x)+\cdots +a_{n}x^{n}Y(x)+{\frac {b}{1-x }}+p(x)}$

gdzie $\ Displaystyle p (x)}$ wielomianem stopnia co najwyżej początkowe. ${$ Z tego równania możemy rozwiązać, aby uzyskać

${\ Displaystyle Y (x) = \ lewo ({\ Frac {b} {1-x}} + p (x) \ prawo) \ cdot {\ Frac {1} {1-a_ {1} x-a_ { 2}x^{2}-\cdots -a_{n}x^{n}}}.}$

Innymi słowy, nie martwiąc się o dokładne ${\ Displaystyle Y (x) = {\ Frac {f (x)} {g (x)}}.}$ jako $)$ wymierną

Formę zamkniętą można następnie wyprowadzić z rozkładu frakcji częściowej . W szczególności, jeśli funkcja generująca jest zapisana jako

${\ Displaystyle {\ Frac {f (x)} {g (x)}} = \ suma _ {i} {\frac {f_{i}(x)}{(x-r_{i})^{m_{i}}}}}$

wtedy wielomian $) ^ {m}}$ początkowy zestaw poprawek $z (n)}$$Displaystyle$ , mianownik $Displaystyle (xr_ {i$$stopień$$wyraz$ wykładniczy wraz licznikiem ${\ Displaystyle f_ {i} (x)}$ określić współczynnik wielomianu ${\ Displaystyle k_ {i} (n)}$ .

Związek z rozwiązaniem równań różniczkowych

Metoda rozwiązywania liniowych równań różniczkowych jest podobna do powyższej metody - „inteligentne odgadnięcie” ( ansatz ) dla liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach to ${\ Displaystyle e ^ {\ lambda x}}$ gdzie mi ${\ Displaystyle e ^ {\ lambda x}} lambda }$ to liczba zespolona, ​​która jest określana przez podstawienie zgadywania do równania różniczkowego.

To nie jest przypadek. Biorąc pod uwagę szereg Taylora rozwiązania liniowego równania różniczkowego:

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n}}$

widać, że współczynniki szeregu są określone przez -tą $obliczoną$ w punkcie ${\ displaystyle f (x$$}$ . Równanie różniczkowe zapewnia liniowe równanie różnicowe odnoszące się do tych współczynników.

Tę równoważność można wykorzystać do szybkiego rozwiązania zależności powtarzalności dla współczynników w rozwiązaniu szeregów potęgowych liniowego równania różniczkowego.

Praktyczna zasada (dla równań, w których wielomian mnożący pierwszy wyraz jest różny od zera przy zerze) jest następująca:

${\ Displaystyle y ^ {[k]} \ do f [n + k]}$

i bardziej ogólnie

${\ Displaystyle x ^ {m} * y ^ {[k]} \ do n (n-1) ... (nm + 1) f [n+km]}$

Przykład: Zależność rekurencyjna dla współczynników szeregu Taylora równania:

${\ Displaystyle (x ^ {2} + 3x-4) y ^ {[3]} - (3x+1)y^{[2]}+2y=0}$

jest dany przez

${\ Displaystyle n (n-1) f [n + 1] + 3nf [n + 2] -4f [n + 3] -3nf [n + 1] -f [n + 2] + 2f [n] = 0 }$

Lub

${\ Displaystyle -4f [n + 3] + 2nf[n+2]+n(n-4)f[n+1]+2f[n]=0.}$

Ten przykład pokazuje, jak problemy ogólnie rozwiązywane przy użyciu metody rozwiązywania szeregów potęgowych, nauczanej na normalnych klasach równań różniczkowych, można rozwiązać w znacznie łatwiejszy sposób.

Przykład: Równanie różniczkowe

${\ Displaystyle ay '' + przez' + cy = 0}$

ma rozwiązanie

${\ Displaystyle y = e ^ {ax}.}$

Konwersja równania różniczkowego na równanie różnicowe współczynników Taylora to

${\ Displaystyle af [n + 2] + bf [n + 1] + cf [n] = 0.}$

Łatwo zauważyć, że -ta pochodna $e ^ {ax}}$$displaystyle$${\ displaystyle a ^ {n}}$ w ${\ displaystyle 0}$ jest .

Rozwiązywanie za pomocą przekształceń z

Niektóre równania różnicowe — w szczególności równania różnicowe o stałym współczynniku liniowym — można rozwiązać za pomocą przekształceń z . Transformacje z to klasa transformacji całkowych , które prowadzą do wygodniejszych operacji algebraicznych i prostszych rozwiązań. Istnieją przypadki, w których uzyskanie bezpośredniego rozwiązania byłoby prawie niemożliwe, jednak rozwiązanie problemu za pomocą przemyślanej transformacji całkowej jest proste.

Stabilność

W równaniu rozwiązania

${\ Displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda _ {1} ^ {t} + \ cdots + c_ {n} \ lambda _ {n}^{t},}$

wyraz z rzeczywistymi pierwiastkami charakterystycznymi zbiega się do 0, gdy t rośnie w nieskończoność, jeśli wartość bezwzględna pierwiastka charakterystycznego jest mniejsza niż 1. Jeśli wartość bezwzględna jest równa 1, wyraz pozostanie stały, gdy t rośnie, jeśli pierwiastek wynosi +1, ale będzie wahać się między dwiema wartościami, jeśli pierwiastek wynosi -1. Jeśli wartość bezwzględna pierwiastka jest większa niż 1, wyraz będzie się powiększał w miarę upływu czasu. Para wyrazów o zespolonych pierwiastkach charakterystycznych zbiegnie się do 0 z fluktuacjami tłumienia, jeśli wartość bezwzględna modułu M korzeni jest mniejsza niż 1; jeśli moduł jest równy 1, wówczas utrzymają się fluktuacje o stałej amplitudzie w połączonych wyrazach; a jeśli moduł jest większy niż 1, połączone wyrazy pokażą fluktuacje o coraz większej wielkości.

Zatem zmieniająca się zmienna x zbiegnie się do 0, jeśli wszystkie charakterystyczne pierwiastki mają wielkość mniejszą niż 1.

Jeśli największy pierwiastek ma wartość bezwzględną 1, nie nastąpi ani zbieżność do 0, ani rozbieżność do nieskończoności. Jeśli wszystkie ci _pierwiastki o wielkości 1 są rzeczywiste i dodatnie, x zbiegnie się do sumy ich stałych wyrazów ; inaczej niż w przypadku stabilnym, ta zbieżna wartość zależy od warunków początkowych; różne punkty początkowe prowadzą do różnych punktów na dłuższą metę. Jeśli jakikolwiek pierwiastek wynosi −1, jego wyraz przyczyni się do trwałych fluktuacji między dwiema wartościami. Jeśli którykolwiek z pierwiastków wielkości jednostkowej jest złożony, wówczas fluktuacje x o stałej amplitudzie będą się utrzymywać.

Wreszcie, jeśli jakikolwiek charakterystyczny pierwiastek ma wielkość większą niż 1, to x będzie rozbieżne do nieskończoności w miarę upływu czasu do nieskończoności lub będzie się wahać między coraz większymi wartościami dodatnimi i ujemnymi.

Twierdzenie Issai Schura stwierdza, że ​​wszystkie pierwiastki mają wielkość mniejszą niż 1 (przypadek stabilny) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie określone ciągi wyznaczników są dodatnie.

Jeśli niejednorodne liniowe równanie różnicowe zostało przekształcone do postaci jednorodnej, co zostało przeanalizowane jak powyżej, to właściwości stabilności i cykliczności pierwotnego równania niejednorodnego będą takie same, jak właściwości pochodnej postaci jednorodnej, ze zbieżnością w stabilny przypadek jest do wartości stanu ustalonego y * zamiast do 0.

Zobacz też

• Relacja powtarzalności
• Liniowe równanie różniczkowe
• Twierdzenie Skolema-Mahlera-Lecha
• Problem ze Skolemem