Formuła De Moivre'a

W matematyce wzór de Moivre'a (znany również jako twierdzenie de Moivre'a i tożsamość de Moivre'a ) stwierdza, że ​​dla dowolnej liczby rzeczywistej x i liczby całkowitej n zachodzi to

${\ Displaystyle {\ duży (} \ sałata x + i \ grzech x {\ duży)} ^ {n} = \ cos nx+i\sin nx,}$

gdzie i jest jednostką urojoną ( i ² = −1 ). Formuła została nazwana na cześć Abrahama de Moivre , chociaż nigdy nie stwierdził tego w swoich pracach. Wyrażenie cos x + i sin x jest czasami skracane do cis x .

Formuła jest ważna, ponieważ łączy liczby zespolone i trygonometrię . Rozwijając lewą stronę, a następnie porównując część rzeczywistą i urojoną przy założeniu, że x jest rzeczywiste, możliwe jest wyprowadzenie użytecznych wyrażeń dla cos nx i sin nx w kategoriach cos x i sin x .

Jak napisano, wzór nie jest ważny dla niecałkowitych potęg n . Istnieją jednak uogólnienia tego wzoru ważne dla innych wykładników. Można ich użyć do podania wyraźnych wyrażeń dla n -tych pierwiastków jedności , to znaczy liczb zespolonych z takich, że z ⁿ = 1 .

Przykład

$\ Displaystyle x = 30 ^ {\$ de Moivre'a stwierdza, że i n $}}$

$${\ Displaystyle \ lewo (\ cos (30 ^ {\ circ})+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ } )}$$

lub równoważnie to

$${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ sqrt {3}} {2}} + {\ Frac {i} {2}} \ prawo) ^ {2} = {\ Frac {1} {2}} + {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$

W tym przykładzie łatwo sprawdzić poprawność równania, mnożąc lewą stronę.

Związek ze wzorem Eulera

Formuła De Moivre'a jest prekursorem formuły Eulera

$${\ Displaystyle e ^ {ix} = \ sałata x + i \ sin x,}$$

który ustanawia podstawowy związek między funkcjami trygonometrycznymi a zespoloną funkcją wykładniczą.

Formułę de Moivre'a można wyprowadzić, korzystając ze wzoru Eulera i prawa wykładniczego dla potęg całkowitych

${\ Displaystyle \ lewo (e ^ {ix} \ prawo) ^ {n} = e ^ {inx},}$

ponieważ wzór Eulera implikuje, że lewa strona jest równa ${\ Displaystyle \ lewo (\ cos x + i \ sin x \ prawej) ^ {n}}$ podczas gdy prawa strona jest równa Do

${\ Displaystyle e ^ {inx} = \ cos nx + i \ sin nx.}$

Dowód przez indukcję

Prawdziwość twierdzenia de Moivre'a można ustalić za pomocą indukcji matematycznej dla liczb naturalnych i stamtąd rozszerzyć na wszystkie liczby całkowite. Dla liczby całkowitej n wywołaj następującą instrukcję S( n ) :

${\ Displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {n} = \ cos nx + i \ sin nx.}$

Dla n > 0 postępujemy metodą indukcji matematycznej . S(1) jest oczywiście prawdziwe. Dla naszej hipotezy zakładamy, że S( k ) jest prawdziwe dla pewnego naturalnego k . Czyli zakładamy

${\ Displaystyle \ lewo (\ cos x + i \ sin x \ prawo) ^ {k} = \ cos kx + i \ sin kx.}$

Teraz, biorąc pod uwagę S( k + 1) :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane od} {2} \ lewo (\ cos x + i \ sin x \ prawo) ^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx +i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{zgodnie z hipotezą indukcyjną}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\ sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\ qquad {\text{według tożsamości trygonometrycznych}}\end{wyrównany}}}$

Zobacz tożsamość sumy i różnicy kątów .

Dedukujemy, że S( k ) implikuje S( k + 1) . Z zasady indukcji matematycznej wynika, że ​​wynik jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych. S (0) jest oczywiście prawdziwe, ponieważ cos(0 x ) + i sin(0 x ) = 1 + 0 i = 1 . Wreszcie, dla przypadków ujemnych liczb całkowitych, rozważamy wykładnik − n dla naturalnego n .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo (\ cos x + i \ sin x \ prawo) ^ {- n} & = {\ duży (} \ lewo (\ cos x + i \ sin x \ dobrze)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos(-nx)+ i\sin(-nx).\qquad (*)\\\end{wyrównane}}}$

Równanie (*) jest wynikiem tożsamości

${\ Displaystyle z ^ {- 1} = {\ Frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}},}$

dla z = sałata nx + ja grzech nx . Stąd S( n ) zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych n .

Wzory na cosinus i sinus indywidualnie

Zobacz też: Lista tożsamości trygonometrycznych

Aby uzyskać równość liczb zespolonych , trzeba koniecznie mieć równość zarówno części rzeczywistych , jak i części urojonych obu elementów równania. Jeśli x , a więc także cos x i sin x , są liczbami rzeczywistymi , to tożsamość tych części można zapisać za pomocą współczynników dwumianowych . Formułę tę podał XVI-wieczny francuski matematyk François Viète :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sin nx & = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (\ cos x) ^ {k} \, (\ sin x )^{nk}\,\sin {\frac {(nk)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k} }(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{nk}\,\cos {\frac {(nk)\pi }{2}}.\end{wyrównane}}}$

W każdym z tych dwóch równań końcowa funkcja trygonometryczna jest równa jeden lub minus jeden lub zero, usuwając w ten sposób połowę wpisów w każdej z sum. Równania te są w rzeczywistości ważne nawet dla wartości zespolonych x , ponieważ obie strony są całkowitymi (to znaczy holomorficznymi na całej płaszczyźnie zespolonej ) funkcjami x , a dwie takie funkcje, które pokrywają się na osi rzeczywistej, muszą pokrywać się wszędzie. Oto konkretne przykłady tych równań dla n = 2 i n = 3 :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {2} \ cos 2x & = \ lewo (\ cos x \ prawo) ^ {2} + \ lewo (\ lewo (\ cos x \ prawo) ^ {2} -1 \ prawo )&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sinx\right)\left(\cos x\right)&&\ \\cos 3x&=\lewo(\cos x\prawo)^{3}+3\cos x\left(\lewo(\cos x\prawo)^{2}-1\prawo)&{}={} &4\lewo(\cos x\prawo)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\lewo(\cos x\prawo)^{2}\lewo(\sin x\prawo)-\ left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{wyrównanydat}}}$

Prawa strona wzoru na cos nx jest Tn _w rzeczywistości wartością Tn _. cos x ) ( wielomianu Czebyszewa w cos x

Awaria dla potęg niecałkowitych i uogólnienie

Formuła De Moivre'a nie obowiązuje dla potęg niecałkowitych. Wyprowadzenie powyższego wzoru de Moivre'a obejmuje liczbę zespoloną podniesioną do potęgi całkowitej n . Jeśli liczba zespolona zostanie podniesiona do potęgi niecałkowitej, wynik jest wielowartościowy (patrz błąd tożsamości potęg i logarytmów ). Na przykład, gdy n = 1 / 2 , wzór de Moivre'a daje następujące wyniki:

dla x = 0 wzór daje 1 ^1/2 = 1 , a

dla x = 2 π wzór daje 1 ^1/2 = −1 .

To przypisuje dwie różne wartości temu samemu wyrażeniu 1 ^1/2 , więc formuła nie jest w tym przypadku spójna.

Z drugiej strony wartości 1 i −1 są pierwiastkami kwadratowymi z 1. Bardziej ogólnie, jeśli z i w są liczbami zespolonymi, to

${\ Displaystyle \ lewo (\ cos z + i \ sin z \ prawej) ^ {w}}$

jest wielowartościowy while

${\ Displaystyle \ cos wz + i \ sin wz}$

nie jest. Jednak zawsze tak jest

${\ Displaystyle \ cos wz + i \ sin wz}$

jest jedną z wartości

${\ Displaystyle \ lewo (\ cos z + i \ sin z \ prawo) ^ {w}.}$

Pierwiastki liczb zespolonych

Skromne rozszerzenie podanej w tym artykule wersji wzoru de Moivre'a może posłużyć do znalezienia n - tego pierwiastka liczby zespolonej (odpowiednik potęgi 1 / n ).

Jeśli z jest liczbą zespoloną, zapisaną w postaci biegunowej jako

${\ Displaystyle z = r \ lewo (\ cos x + i \ sin x \ prawo)}$

wtedy n n- te pierwiastki z z są dane przez

${\ Displaystyle r ^ {\ Frac {1} {n}} \ lewo (\ sałata {\ Frac {x + 2 \pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)}$

gdzie k zmienia się w wartościach całkowitych od 0 do n - 1 .

Ta formuła jest czasami nazywana formułą de Moivre'a.

Analogi w innych ustawieniach

Trygonometria hiperboliczna

Ponieważ cosh x + sinh x = e ^x , analogia do wzoru de Moivre'a odnosi się również do trygonometrii hiperbolicznej . dla wszystkich liczb całkowitych n ,

$${\ Displaystyle (\ cosh x + \ sinh x) ^ {n} = \ cosh nx + \ sinh nx.}$$

Jeśli n jest liczbą wymierną (ale niekoniecznie całkowitą), to cosh nx + sinh nx będzie jedną z wartości (cosh x + sinh x ) ⁿ .

Rozszerzenie do liczb zespolonych

Wzór obowiązuje dla dowolnej liczby zespolonej ${\ Displaystyle z = x + iy}$

${\ Displaystyle (\ cos z + i \ sin z) ^ {n} = \ cos {nz} + i \ sin {nz}.}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ cos z = \ cos (x + iy) & = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y \ \\\ sin z = \ sin (x + iy) &=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{wyrównane}}}$

czwartorzędy

Aby znaleźć pierwiastki kwaternionu, istnieje analogiczna postać wzoru de Moivre'a. Kwaterniony w formie

${\ Displaystyle d + a \ mathbf {\ kapelusz {i}} + b \ mathbf {\ kapelusz {j}} + c \ mathbf {\ kapelusz {k}} }$

można przedstawić w postaci

${\ Displaystyle q = k (\ cos \ teta + \ varepsilon \ sin \ teta) \ qquad {\ mbox {dla}} 0 \ równoważnik \ teta <2 \ pi.}$

W tej reprezentacji

${\ Displaystyle k = {\ sqrt {d ^ {2} + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}},}$

a funkcje trygonometryczne są zdefiniowane jako

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ Frac {d} {k}} \ quad {\ mbox {i}} \ quad \ sin \ theta = \ pm {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} + b ^{2}+c^{2}}}{k}}.}$

W przypadku, gdy a ² + b ² + do ² ≠ 0 ,

${\ Displaystyle \ varepsilon = \ pm {\ Frac {a \ mathbf {\ kapelusz {i}} + b \ mathbf { \hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}$

to znaczy wektor jednostkowy. Prowadzi to do zmiany wzoru De Moivre'a:

${\ Displaystyle q ^ {n} = k ^ {n} (\ cos n \ teta + \ varepsilon \ sin n \ teta).}$

Przykład

Aby znaleźć pierwiastki sześcienne

${\ Displaystyle Q = 1 + \ mathbf {\ kapelusz {i}} + \ mathbf {\ kapelusz {j}} + \ mathbf {\ kapelusz {k}}, }$

napisz kwaterniony w formie

${\ Displaystyle Q = 2 \ lewo (\ cos {\ Frac {\ pi}} {3}} + \ varepsilon \ sin {\ Frac {\ pi} {3}} \ prawej) \ qquad {\ mbox {gdzie}} \varepsilon = {\frac {\mathbf {\kapelusz {i}} +\mathbf {\kapelusz {j}} +\mathbf {\kapelusz {k}}}}}$

Wtedy pierwiastki sześcienne są podane przez:

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {Q}} = {\ sqrt [{3}] {2}} (\ cos \ theta + \ varepsilon \ sin \ theta) \ qquad {\ mbox {dla}} \theta = {\frac {\pi}}{9}},{\frac {7\pi}}{9}},{\frac {13\pi}}{9}}.}$

macierze 2 × 2

Rozważmy następującą macierz ${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ phi & \ sin \ phi \\ - \ sin \ phi & \ cos \phi \end{pmacierz}}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &\sin n\phi \\-\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}}$ . Fakt ten (chociaż można go udowodnić w taki sam sposób, jak w przypadku liczb zespolonych) jest bezpośrednią konsekwencją faktu, że przestrzeń macierzy typu ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \ \-b&a\end{pmatrix}}}$ jest izomorficzna z płaszczyzną zespoloną .

•   Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Podręcznik funkcji matematycznych . Nowy Jork: Dover Publications. P. 74 . ISBN 0-486-61272-4 . .

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie De Moivre'a dla tożsamości trygonometrycznych autorstwa Michaela Crouchera, Wolfram Demonstrations Project .