Liczba wymierna

„Racjonalne” przekierowuje tutaj. W przypadku innych zastosowań zobacz Racjonalne (ujednoznacznienie) .

Symbol zbioru liczb wymiernych

Liczby wymierne $)$ są ( ${\ displaystyle \ mathbb {Z}$ ) , w liczbach rzeczywistych ( $}$ , podczas gdy same obejmują liczby całkowite które z kolei obejmują liczby naturalne ( ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ )

W matematyce liczba wymierna to liczba , którą można wyrazić jako $,$ lub ułamek dwóch liczb całkowitych licznika p i niezerowego mianownika q Na przykład $jest$ liczbą wymierną, podobnie jak każda liczba całkowita (np. 5/1 . Zestaw _ ze wszystkich liczb wymiernych, zwanych także „ wymiernymi ”, pole wymiernych lub pole liczb wymiernych jest zwykle oznaczane pogrubioną czcionką Q lub pogrubioną tablicą ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Liczba wymierna jest liczbą rzeczywistą . Liczby rzeczywiste, które są wymierne, to te, których rozwinięcie dziesiętne albo kończy się po skończonej liczbie cyfr (przykład: 3/4 = 0,75 ), albo ostatecznie zaczyna w kółko powtarzać tę samą skończoną sekwencję cyfr (przykład: 9/44 = 0,20454545... ). To stwierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla podstawy 10 , ale także dla każdej innej liczby całkowitej , takiej jak liczba binarna i szesnastkowa (patrz Powtarzanie dziesiętnego § Rozszerzenie na inne podstawy ).

Liczbę rzeczywistą , która nie jest wymierna, nazywamy niewymierną . Liczby niewymierne obejmują pierwiastek kwadratowy z 2 $,$ ) π , mi i złoty podział ( φ ). Ponieważ zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny , a zbiór liczb rzeczywistych jest niepoliczalny , prawie wszystkie liczby rzeczywiste są niewymierne.

Liczby wymierne można formalnie zdefiniować jako klasy równoważności par liczb całkowitych ( p, q ) z q ≠ 0 , korzystając z relacji równoważności zdefiniowanej w następujący sposób:

${\ Displaystyle (p_ {1}, q_ {1}) \ sim (p_ {2}, q_ {2}) \iff p_ {1} q_ {2} = p_ {2} q_ {1}.}$

Ułamek oznacza następnie klasę równoważności $q$ , ) .

Liczby wymierne wraz z dodawaniem i mnożeniem tworzą pole zawierające liczby całkowite i są zawarte w dowolnym polu zawierającym liczby całkowite. Innymi słowy, ciało liczb wymiernych jest ciałem pierwszym , a ciało ma charakterystyczne zero wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera liczby wymierne jako podciało. Skończone rozszerzenia z są nazywane $algebraicznymi$ polami i algebraicznym domknięciem $algebraicznych$ polem liczb .

W analizie matematycznej liczby wymierne tworzą gęsty podzbiór liczb rzeczywistych. Liczby rzeczywiste można konstruować z liczb wymiernych przez dokończenie , używając ciągów Cauchy'ego , cięć Dedekinda lub nieskończonych miejsc po przecinku (patrz Konstrukcja liczb rzeczywistych ).

Terminologia

Termin racjonalny w odniesieniu do zbioru $stosunek$ się do faktu, że liczba wymierna reprezentuje dwóch liczb całkowitych. W matematyce „racjonalny” jest często używany jako rzeczownik będący skrótem „liczba wymierna”. Przymiotnik racjonalny czasami oznacza, że ​​współczynniki są liczbami wymiernymi. Na przykład punkt wymierny to punkt o współrzędnych wymiernych (tj. punkt, którego współrzędne są liczbami wymiernymi); macierz racjonalna to a macierz liczb wymiernych; wielomian wymierny może być wielomianem ze współczynnikami wymiernymi, chociaż ogólnie preferowany jest termin „wielomian nad wymiernymi”, aby uniknąć pomylenia „ wyrażenia wymiernego ” i „ funkcji wymiernej ” ( wielomian jest wyrażeniem wymiernym i definiuje funkcję wymierną, nawet jeśli jego współczynniki nie są liczbami wymiernymi). Jednak krzywa wymierna nie jest krzywą zdefiniowaną na podstawie wymiernych, ale krzywą, którą można sparametryzować za pomocą funkcji wymiernych.

Etymologia

Chociaż obecnie liczby wymierne są definiowane w kategoriach stosunków , termin racjonalny nie jest pochodną stosunku . Wręcz przeciwnie, jest to stosunek wywodzący się z wymiernego : pierwsze użycie współczynnika w jego współczesnym znaczeniu zostało potwierdzone w języku angielskim około 1660 r., natomiast użycie wymiernego do określenia liczb pojawiło się prawie sto lat wcześniej, w 1570 r. To znaczenie wymiernego wywodzi się z matematycznego znaczenia słowa irracjonalnego , którego po raz pierwszy użyto w 1551 r. i użyto go w „tłumaczeniach Euklidesa (po jego szczególnym użyciu ἄλογος )”.

Ta niezwykła historia ma swój początek w fakcie, że starożytni Grecy „unikali herezji, zabraniając sobie myślenia o tych [irracjonalnych] długościach jako liczbach”. Zatem takie długości były irracjonalne w sensie nielogicznym , to znaczy „nie można o tym mówić” ( po grecku ἄλογος ).

Ta etymologia jest podobna do etymologii liczb urojonych i liczb rzeczywistych .

Arytmetyka

Zobacz także: Ułamek zwykły (matematyka) § Arytmetyka na ułamkach

Ułamek nieredukowalny

$wymierną$ można wyrazić w unikalny sposób jako ułamek nieredukowalny gdzie a i b są liczbami całkowitymi względnie i b > . This is often called the canonical form of the rational number.

Zaczynając od liczby wymiernej $postać$ kanoniczną można uzyskać dzieląc a i przez ich największy wspólny dzielnik i jeśli b < 0 , zmieniając znak wynikowego licznika i mianownika.

Osadzanie liczb całkowitych

Dowolną liczbę całkowitą n można wyrazić jako liczbę wymierną $, która$ wymiernej.

Równość

$\ Displaystyle {\ Frac {a} {b}} = {\ Frac {c} {d}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle ad = bc}$

Jeżeli oba ułamki mają postać kanoniczną, to:

$\ Displaystyle {\ Frac {a}} = {\ Frac {c} {d}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $}$ i ${\ styl wyświetlania b=d}$

Zamawianie

Jeśli oba mianowniki są dodatnie (szczególnie jeśli oba ułamki mają postać kanoniczną):

$\ displaystyle {\ frac {a}} <{\ frac {c} {d}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\reklama displaystyle<bc.}$

Z drugiej strony, jeśli którykolwiek z mianowników jest ujemny, wówczas każdy ułamek z ujemnym mianownikiem należy najpierw przekształcić w równoważną formę z dodatnim mianownikiem - zmieniając znaki zarówno jego licznika, jak i mianownika.

Dodatek

Dodaje się dwie frakcje w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ Frac {a} {b}} + {\ Frac {c} {d}} = {\ Frac {ad + bc} {bd}}.}$

Jeśli oba ułamki są w postaci kanonicznej, wynik jest w postaci kanonicznej wtedy i tylko wtedy, gdy b, d są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi .

Odejmowanie

${\ Displaystyle {\ Frac {a} {b}} - {\ Frac {c} {d}} = {\ Frac {ad-bc} {bd}}.}$

Jeśli oba ułamki są w postaci kanonicznej, wynik jest w postaci kanonicznej wtedy i tylko wtedy, gdy b, d są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi .

Mnożenie

Zasada mnożenia jest następująca:

${\ Displaystyle {\ Frac {a}}$

gdzie wynikiem może być ułamek redukowalny - nawet jeśli oba pierwotne ułamki mają postać kanoniczną.

Odwrotność

Każda liczba wymierna ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$ addytywną odwrotność , często nazywaną jej przeciwieństwem , za

${\ Displaystyle - \ lewo ({\ Frac {a} {b}} \ prawo) = {\ Frac {-a}}.}$

Jeśli $postać$ kanoniczną, to samo dotyczy jej przeciwieństwa

Niezerowa liczba wymierna ma odwrotność multiplikatywną , zwaną także jej odwrotnością , za $}}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {b}} \ prawo) ^ {-1} = {\ Frac {b} {a}}.}$

Jeśli $\ displaystyle$$a$ , to kanoniczna forma jej odwrotności jest albo - b $}}$ w zależności od znaku .

Dział

Jeśli b, c, d są różne od zera, obowiązuje zasada dzielenia

${\ Displaystyle {\ Frac {\, {\ dfrac {a}}$

Zatem podzielenie przez do $\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}}}$$równoważne$ za ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}$ przez odwrotność do ${\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}}:$

${\ Displaystyle {\ Frac {ad} {bc}} = {\ Frac {a} {b}} \ cdot {\ Frac {d} {c}}.}$

Potęgowanie do potęgi całkowitej

Jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą, to

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {b}} \ prawo) ^ {n} = {\ Frac {a ^ {n}} {b ^ {n}}}.}$

Wynik ma postać kanoniczną, jeśli to samo dotyczy ${\ displaystyle {\ tfrac {a}}$ W szczególności

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {b}} \ prawo) ^ {0} = 1.}$

Jeśli a ≠ 0 , to

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {b}} \ prawo) ^ {- n} = {\ Frac {b ^ {n}} {a ^ {n}}}.}$

Jeśli jest w formie kanonicznej, kanoniczna postać wyniku jest następująca: $a$$n}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {b ^ {n}} a$ jeśli a > 0 lub n jest parzyste. W przeciwnym razie postać kanoniczna wyniku to ${\ Displaystyle {\ tfrac {-b ^ {n}} -a ^ {n}}}.}$

Ciąg dalszy reprezentacji ułamkowej

Główny artykuł: Ciąg dalszy frakcji

Skończony ułamek ciągły jest wyrażeniem takim jak

${\ Displaystyle a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + { \cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

gdzie a _n są liczbami całkowitymi. Każdą $stosując$ wymierną można przedstawić jako skończony ułamek ciągły, którego , _{współczynniki a n} można algorytm euklidesowy do ( a, b ) .

Inne reprezentacje

• ułamek zwykły : ${\ Displaystyle {\ tfrac {8} {3}}}$
• liczba mieszana : ${\ Displaystyle 2 {\ tfrac {2} {3}}}$
• powtarzanie ułamka dziesiętnego za pomocą vinculum : ${\ displaystyle 2. {\ overline {6}}}$
• powtarzanie dziesiętnego za pomocą nawiasów : ${\ displaystyle 2. (6)}$
• dalszy ułamek przy użyciu tradycyjnej typografii: ${\ Displaystyle 2 + {\ tfrac {1} {1 + {\ tfrac {1} {2}}}}}$
• Ułamek ciągły w notacji skróconej: ${\ displaystyle [2;1,2]}$
• Ułamek egipski : ${\ Displaystyle 2 + {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {6}}}$
• rozkład mocy pierwszej : ${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ razy 3 ^ {- 1}}$
• notacja cytatu : ${\ displaystyle 3'6}$

istnieją różne sposoby reprezentowania tej samej wartości racjonalnej.

Konstrukcja formalna

Diagram przedstawiający reprezentację równoważnych klas par liczb całkowitych

Liczby wymierne można budować jako klasy równoważności uporządkowanych par liczb całkowitych .

Dokładniej, niech będzie zbiorem par ( $mathbb {Z} \ razy (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}))}$ \ n ) liczb całkowitych, takich jak n ≠ 0 . Relacja równoważności jest zdefiniowana na tym zbiorze przez

${\ Displaystyle (m_ {1}, n_ {1}) \ sim (m_ {2}, n_ {2}) \iff m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}$

Dodawanie i mnożenie można zdefiniować według następujących zasad:

${\ displaystyle (m_ {1}, n_ {1}) + (m_ {2},n_{2})\równoważnik (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\ Displaystyle (m_ {1}, n_ {1}) \ razy (m_ {2}, n_ {2}) \ odpowiednik (m_ {1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2}).}$

Ta relacja równoważności jest relacją kongruencji , co oznacza, że ​​jest zgodna z zdefiniowanym powyżej dodawaniem i mnożeniem; zbiór liczb wymiernych $zdefiniowany$ jako iloraz określony przez tę relację równoważności ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} \ razy (\mathbb {Z} \\{0\}))/\sim ,}$ wyposażone w dodawanie i mnożenie wywołane powyższymi operacjami. (Ta konstrukcja może być przeprowadzona z dowolną dziedziną całkową i tworzy jej pole ułamków .)

$m$ pary ( m, n ) oznaczamy Dwie pary ( gdy ₁ , n ₁ ) i ( m ₂ , n ₂ ) należą do tej samej klasy równoważności (czyli są równoważne) wtedy i tylko wtedy,

${\ displaystyle m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}$

To znaczy że

${\ Displaystyle {\ Frac {m_ {1}} {n_ {1}}} = {\ Frac {m_ {2}} {n_ {2}}}}$

wtedy i tylko wtedy gdy

${\ displaystyle m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}$

Każda klasa równoważności może być reprezentowana przez nieskończenie wiele par, ponieważ ${\ displaystyle {\ tfrac {m} {n}}}$

${\ Displaystyle \ cdots = {\ Frac {-2m} {-2n}} = {\ Frac {-m} {- n}} = {\ Frac {m} {n}} = {\ Frac {2m} 2n}}=\cdots .}$

Każda klasa równoważności zawiera unikalny, kanoniczny element reprezentatywny . Przedstawicielem kanonicznym jest unikalna para ( m, n ) w klasie równoważności taka, że ​​m i n są względnie pierwsze , a n > 0 . Nazywa się to liczby wymiernej w najniższych kategoriach .

Liczby całkowite można uznać za liczby wymierne, utożsamiające liczbę całkowitą n z liczbą wymierną ${\ displaystyle {\ tfrac {n} {1}}.}$

porządek całkowity , który rozszerza naturalny porządek liczb całkowitych. Jeden ma

${\ Displaystyle {\ Frac {m_ {1}} {n_ {1}}} \ równoważnik {\ Frac {m_ {2}} {n_ {2}}}}$

Jeśli

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i (n_ {1} n_ {2}> 0 \ quad {\ tekst {i}} \ quad m_ {1} n_ {2} \ równoważnik n_ {1} m_ {2} )\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{ 1}m_{2}).\end{aligned}}}$

Nieruchomości

Zbiór wszystkich liczb wymiernych wraz z pokazanymi powyżej operacjami dodawania i $mnożenia$ pole .

nie ma $innego$ pola niż tożsamość. (Automorfizm pola musi ustalać 0 i 1; ponieważ musi ustalać sumę i różnicę dwóch stałych elementów, musi ustalać każdą liczbę całkowitą; ponieważ musi ustalać iloraz dwóch stałych elementów, musi ustalać każdą liczbę wymierną i jest stąd tożsamość.)

jest $polem$ pierwszym , które nie ma żadnego podpola poza sobą samym Wymierne to najmniejsze ciało z charakterystycznym zerem. Każde pole charakterystycznego zera zawiera unikalne podpole izomorficzne z ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

W kolejności określonej powyżej jest to pole uporządkowane , które nie ma innego $podpola$ niż samo siebie i jest najmniejszym polem uporządkowanym w tym sensie, że każde pole uporządkowane zawiera unikalne izomorficzne z ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

jest polem ułamków $_$ całkowitych $domknięcie,$ Algebraiczne tj . pola pierwiastków wielomianów wymiernych , $polem$ algebraicznych .

Wymierne stanowią gęsto uporządkowany zbiór: pomiędzy dowolnymi dwoma wymiernymi znajduje się drugi, a zatem nieskończenie wiele innych. Na przykład dla dowolnych dwóch ułamków takich, że

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} {\ frac {c} {d}}}$

(gdzie $,$ )

${\ Displaystyle {\ Frac {a}}$

Każdy całkowicie uporządkowany zbiór, który jest przeliczalny, gęsty (w powyższym sensie) i nie ma najmniejszego ani największego elementu, jest porządkiem izomorficznym z liczbami wymiernymi.

Policzalność

Ilustracja przeliczalności dodatnich wymiernych

Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny , jak pokazano na rysunku po prawej stronie. Ponieważ liczbę wymierną można wyrazić jako stosunek dwóch liczb całkowitych, możliwe jest przypisanie dwóch liczb całkowitych do dowolnego punktu siatki kwadratowej, tak jak w kartezjańskim układzie współrzędnych , tak że każdy punkt siatki odpowiada liczbie wymiernej. Metoda ta wykazuje jednak pewną formę redundancji, ponieważ kilka różnych punktów siatki będzie odpowiadać tej samej liczbie wymiernej; są one zaznaczone na czerwono na dostarczonej grafice. Oczywistym przykładem może być linia biegnąca ukośnie w prawym dolnym rogu; takie stosunki będą zawsze równe 1, jak dowolne niezerowa podzielona przez samą siebie zawsze będzie równa jeden.

Możliwe jest wygenerowanie wszystkich liczb wymiernych bez takich redundancji: przykłady obejmują drzewo Calkina – Wilfa i drzewo Sterna – Brocota .

Ponieważ zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny, a zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (a także zbiór liczb niewymiernych) jest przeliczalny, zbiór liczb wymiernych jest zbiorem zerowym, to znaczy prawie wszystkie liczby rzeczywiste są niewymierne, w sensie miary Lebesgue’a .

Liczby rzeczywiste i własności topologiczne

Wymierne stanowią gęsty podzbiór liczb rzeczywistych ; każda liczba rzeczywista ma liczby wymierne dowolnie blisko niej. Powiązaną właściwością jest to, że liczby wymierne to jedyne liczby, które mają skończone rozwinięcia w postaci regularnych ułamków ciągłych .

W zwykłej topologii liczb rzeczywistych liczby wymierne nie są ani zbiorem otwartym , ani zbiorem zamkniętym .

Ze względu na swój porządek wymierne mają topologię porządku . Liczby wymierne, jako podprzestrzeń liczb rzeczywistych, również mają topologię podprzestrzeni . Liczby wymierne tworzą przestrzeń metryczną przy użyciu metryki różnicy bezwzględnej ${\ displaystyle d (x, y) = | xy |,}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ to daje trzecią topologię na Wszystkie trzy topologie pokrywają się i przekształcają wymierne w pole topologiczne . Liczby wymierne są ważnym przykładem przestrzeni, która nie jest lokalnie zwarta . Wymierne charakteryzują się topologicznie jako unikalna przeliczalna przestrzeń metryzowalna bez izolowanych punktów . Przestrzeń jest również całkowicie odłączona . Liczby wymierne nie tworzą pełnej przestrzeni metrycznej , a liczby rzeczywiste $.$ uzupełnienie pod metryką ${\ Displaystyle d (x, y) = | xy |}$ powyżej.

p -liczby adyczne

Główny artykuł: p -liczba adyczna

Oprócz wspomnianej powyżej metryki wartości bezwzględnej, istnieją inne metryki, które zamieniają się w pole topologiczne: ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Niech p będzie liczbą pierwszą , a dla dowolnej niezerowej liczby całkowitej a niech ${\ displaystyle | a | _ {p} = p_ {- n},}$ gdzie p ⁿ jest najwyższą potęgą p dzielącą a .

Dodatkowo zestaw ${\ Displaystyle | 0 | _ {p} = 0.}$ Dla dowolnej liczby wymiernej ustalamy ${\ displaystyle {\ Frac {a} {b}},$

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {a} {b}} \ prawo | _ {p} = {\ Frac {|a | _ {p}}$

Następnie

$. {\ Displaystyle d_ {p} (x, y) = | xy | _ {p}}$

definiuje metrykę Q ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Przestrzeń metryczna $nie$ jest pole kompletna, a $Twierdzenie$ Ostrowskiego stwierdza $, że$ nietrywialna wartość bezwzględna liczb wymiernych jest równoważna albo zwykłej rzeczywistej wartości bezwzględnej, albo p -adyczna wartość bezwzględna.

Zobacz też

• Diadyczna racjonalność
• Pływający punkt
• Kręgi Forda
• Racjonalność Gaussa
• Wysokość naiwna - wysokość liczby wymiernej w najniższym wyrazie
• Twierdzenie Nivena
• Racjonalny typ danych
• Boskie proporcje: racjonalna trygonometria do uniwersalnej geometrii

Systemy liczbowe Złożone ${\ displaystyle: \; \ mathbb {C}}$ Prawdziwe ${\ displaystyle: \; \ mathbb {R}}$ Racjonalne ${\ displaystyle: \; \ mathbb {Q}}$ Liczba całkowita ${\ displaystyle: \; \ mathbb {Z}}$ Naturalne ${\ displaystyle: \; \ mathbb {N}}$ Zero : 0 Jeden : 1 Liczby pierwsze Liczby złożone Ujemne liczby całkowite Frakcja Skończony dziesiętny Diadyczny (skończony binarny) Powtarzający się dziesiętny Irracjonalny Algebraiczne irracjonalne Transcendentalne Wyimaginowany

Linki zewnętrzne

• „Liczba wymierna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• „Liczba wymierna” z MathWorld - zasób internetowy firmy Wolfram