Ułamek algebraiczny

W algebrze ułamek algebraiczny to ułamek , którego licznikiem i mianownikiem są wyrażenia algebraiczne . Dwa przykłady ułamków algebraicznych to ${\ Displaystyle {\ Frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}}$ i ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$ . Ułamki algebraiczne podlegają tym samym prawom co ułamki arytmetyczne .

Ułamek wymierny to ułamek algebraiczny, którego licznik i mianownik są wielomianami . Zatem ${\ Displaystyle {\ Frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}}$ jest ułamkiem wymiernym, ale nie ${\ Displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$ ponieważ licznik zawiera pierwiastek kwadratowy.

Terminologia

W ułamku algebraicznym $,$ a nazywana jest licznikiem a dzielnik mianownikiem . Licznik i mianownik nazywane są wyrazami ułamka algebraicznego.

Ułamek złożony to ułamek, którego licznik lub mianownik lub oba zawierają ułamek. Ułamek prosty nie zawiera żadnego ułamka ani w liczniku, ani w mianowniku. Ułamek jest najniższy , jeśli jedynym dzielnikiem wspólnym licznika i mianownika jest 1.

Wyrażenie, które nie jest w postaci ułamkowej, jest wyrażeniem całkowitym . Wyrażenie całkowe można zawsze zapisać w postaci ułamkowej, nadając mu mianownik 1. Wyrażenie mieszane to suma algebraiczna jednego lub większej liczby wyrażeń całkowitych i jednego lub większej liczby wyrazów ułamkowych.

Ułamki wymierne

Zobacz też: Funkcja wymierna

Jeśli wyrażenia aib są wielomianami , ułamek algebraiczny nazywany jest wymiernym ułamkiem algebraicznym lub po prostu ułamkiem wymiernym . Ułamki wymierne są również znane jako wyrażenia wymierne. Ułamek wymierny nazywa się ${\ Displaystyle {\ tfrac {$ , jeśli $} styl wyświetlania \deg f(x)<\deg g(x)}$ , aw przeciwnym razie niewłaściwy . ${\ Displaystyle {\ tfrac {x ^ {3} + x ^ {2} + 1} {x ^ {2} -5x + 6}}}$ ułamek wymierny $,$ ułamki i ${ \displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$ są niewłaściwe. Każdy niewłaściwy ułamek wymierny można wyrazić jako sumę wielomianu (ewentualnie stałego) i właściwego ułamka wymiernego. W pierwszym przykładzie ułamka niewłaściwego mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {3} + x ^ {2 }+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

gdzie drugi wyraz jest właściwym ułamkiem wymiernym. Suma dwóch właściwych ułamków wymiernych jest również właściwym ułamkiem wymiernym. Odwrotny proces wyrażania właściwego ułamka wymiernego jako sumy dwóch lub więcej ułamków nazywa się jego rozłożeniem na ułamki cząstkowe . Na przykład,

${\ Displaystyle {\ Frac {2x} {x ^ {2} -1}} = {\ Frac {1} {x-1}} + {\ Frac {1} {x + 1}}.}$

Tutaj dwa wyrażenia po prawej stronie nazywane są ułamkami częściowymi.

Ułamki niewymierne

Ułamek niewymierny to taki, który zawiera zmienną pod wykładnikiem ułamkowym. Przykładem ułamka niewymiernego jest

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {1/2} - {\ tfrac {1} {3}} a} {x ^ {1/3} -x ^ {1/2}}}.}$

Proces przekształcania ułamka niewymiernego w ułamek wymierny jest znany jako racjonalizacja . Każdy niewymierny ułamek, w którym rodniki są jednomianami , można zracjonalizować, znajdując najmniejszą wspólną wielokrotność indeksów pierwiastków i zastępując zmienną inną zmienną o najmniejszej wspólnej wielokrotności jako wykładniku. W podanym przykładzie najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 6, stąd możemy podstawić, aby uzyskać ${\ displaystyle x= z ^ {6}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {z ^ {3} - {\ tfrac {1} {3}} a} {z ^ {2} -z ^ {3}}}.}$

Zobacz też

• Częściowy rozkład frakcji

• Brink, Raymond W. (1951). „IV. Frakcje” . Algebra Kolegium .