Frakcja

W teorii liczb współczynnik w danej $, która$ liczbowej jest liczbą naturalną jest równa sumie silni jej cyfr . Nazwa faktorion została ukuta przez autora Clifforda A. Pickovera .

Definicja

Niech ${\ displaystyle n}$ będzie liczbą naturalną. b ${\ Displaystyle b> 1}$ , definiujemy sumę silni cyfr , SFD $:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$$Displaystyle$$\ operatorname {SFD} _ {$ , w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SFD} _ {b} (n) = \ suma _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}!.}$

gdzie ${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} n \ rfloor + 1}$ to liczba cyfr w liczbie w bazie ${\ Displaystyle b}$ , $displaystyle$ jest silnią n $n}$ i

${\ Displaystyle d_ {i} = {\ Frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b ^ {i}}}}{b^{i}}}}$

gdzie jest wartością tej $liczby$ . $operatorname {SFD$ naturalna to współczynnik , jeśli jest to punkt stały dla $_ {b}}$$Displaystyle \$ , czyli jeśli ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SFD} _ {b} (n) = n}$ . ${\ displaystyle 1}$ i $2} są$$displaystyle$$stałymi$ punktami dla wszystkich podstaw a zatem są trywialnymi ułamkami dla wszystkich a wszystkie inne ułamki są ułamkami nietrywialnymi .

Na przykład liczba 145 w ${\ Displaystyle 145 = 1! + 4! + 5!}$$ułamkiem$ ponieważ .

Dla ${\ displaystyle b = 2}$ suma silni cyfr jest po prostu liczbą cyfr $o$ podstawie 2 od ${\ Displaystyle 0! = 1! = 1}$ .

Liczba naturalna $=$ współczynnikiem ${\ displaystyle$ , jest punktem okresowym dla $)$ , gdzie ${$ dla dodatniej liczby całkowitej i tworzy cykl okresu $\ displaystyle k}$ . Frakcja jest frakcją towarzyską z $displaystyle k = 2}$ frakcja polubowna jest $1 {$ towarzyską z .

Wszystkie liczby naturalne $są$ przedokresowymi dla SFD $\ displaystyle \ operatorname {SFD} _ {b}}$ , niezależnie od podstawy. Dzieje się tak, ${\ Displaystyle b ^ {k-1} \ równoważnik n \ równoważnik (b-1)! (k)}$ wszystkie liczby naturalne $podstawie$ z $cyframi$ spełniają . Jednak gdy ${\ Displaystyle k \ geq b}$ , to ${\ Displaystyle b ^ {k-1}> (b-1)! (k)}$ dla ${\ Displaystyle b> 2}$ , więc każdy ${\ Displaystyle n}$ spełni ${\ Displaystyle n> \ nazwa operatora {SFD} _ {b} (n)}$ aż ${\ Displaystyle n <b ^ {b}}$ . Istnieje skończenie wiele liczb naturalnych mniejszych niż , więc liczba ta ma gwarancję osiągnięcia punktu okresowego lub punktu stałego mniejszego niż $\ displaystyle b ^ {b}}$$\ displaystyle b ^$ , dzięki czemu b b punkt przedokresowy. Dla $displaystyle b = 2}$$liczby , po raz kolejny,$ liczba cyfr dla dowolnej punktem przedokresowym. Oznacza to również, że istnieje skończona liczba czynników i cykli dla dowolnej podstawy ${\ displaystyle b}$ .

Liczba iteracji $⁡$ do osiągnięcia stałego punktu ${\ displaystyle \ operatorname {SFD} _ {b} ^ {i} (n)} to$$} _ {b}}$$\ displaystyle i}$ trwałość funkcji displaystyle \ operatorname { $i$ niezdefiniowana , jeśli nigdy nie osiągnie stałego punktu.

Rozkłady dla SFD _b

b = ( k - 1)!

Niech ${\ displaystyle k}$ będzie dodatnią liczbą całkowitą, a podstawa liczby ${\ displaystyle b = (k-1)!$ } Następnie:

• ${\ Displaystyle n_ {1} = kb + 1}$ jest współczynnikiem dla ${\ Displaystyle \ operatorname {SFD} _ {b}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle k.}$

Dowód

Niech cyfry ${\ Displaystyle n_ {1} = d_ {1} b + d_ {0}}$ będą ${\ Displaystyle d_ {1} = k}$ i ${\ Displaystyle d_ {0} = 1.}$ Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SFD} _ {b} (n_ {1}) = d_ {1}! + d_ {0}!}$

${\ Displaystyle = k! + 1!}$

${\ Displaystyle = k (k-1)! + 1}$

${\ Displaystyle = d_ {1} b + d_ {0}}$

${\ Displaystyle = n_ {1}}$

Zatem $n_ {1}}$$displaystyle$$jest$ współczynnikiem dla .

• ${\ Displaystyle n_ {2} = kb + 2}$ jest współczynnikiem dla ${\ Displaystyle \ operatorname {SFD} _ {b}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle k}$ .

Dowód

Niech cyfry ${\ Displaystyle n_ {2} = d_ {1} b + d_ {0}}$ będą ${\ Displaystyle d_ {1} = k}$ i ${\ displaystyle d_ {0} = 2}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SFD} _ {b} (n_ {2}) = d_ {1}! + d_ {0}!}$

${\ Displaystyle = k! + 2!}$

${\ Displaystyle = k (k-1)! + 2}$

${\ Displaystyle = d_ {1} b + d_ {0}}$

${\ Displaystyle = n_ {2}}$

Zatem $n_ {2}}$$displaystyle$$jest$ współczynnikiem dla .

Frakcje

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle n_ {1}}$	${\ displaystyle n_ {2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! − k + 1

Niech ${\ displaystyle k}$ będzie dodatnią liczbą całkowitą, a podstawa liczby ${\ Displaystyle b = k! -k + 1}$ . Następnie:

• ${\ displaystyle n_ {1} = b + k}$ jest współczynnikiem dla ${\ displaystyle \ operatorname {SFD} _ {b}}$ dla wszystkich ${\ displaystyle k}$ .

Dowód

Niech cyfry ${\ Displaystyle n_ {1} = d_ {1} b + d_ {0}}$ będą ${\ Displaystyle d_ {1} = 1}$ i ${\ displaystyle d_ {0} = k}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SFD} _ {b} (n_ {1}) = d_ {1}! + d_ {0}!}$

${\ displaystyle = 1! + k!}$

${\ Displaystyle = k! + 1-k + k}$

${\ Displaystyle = 1 (k! -k + 1) + k}$

${\ Displaystyle = d_ {1} b + d_ {0}}$

${\ Displaystyle = n_ {1}}$

Zatem $n_ {1}}$$displaystyle$$jest$ współczynnikiem dla .

Frakcje

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle n_ {1}}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Tabela rozkładów i cykli SFD _b

Wszystkie liczby są reprezentowane w bazie ${\ displaystyle b}$ .

podstawa ${\ displaystyle b}$	Rozkład nietrywialny ( ${\ Displaystyle n \ neq 1}$ , ${\ Displaystyle n \ neq 2}$ )	Cykle
2	${\ Displaystyle \ varnic}$	${\ Displaystyle \ varnic}$
3	${\ Displaystyle \ varnic}$	${\ Displaystyle \ varnic}$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\ Displaystyle \ varnic}$
6	41, 42	${\ Displaystyle \ varnic}$
7	${\ Displaystyle \ varnic}$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\ Displaystyle \ varnic}$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Zobacz też

• Dynamika arytmetyczna
• Numer Dudeneya
• Szczęśliwy numer
• Stała Kaprekara
• Numer Kaprekara
• liczba Meertensa
• Numer narcystyczny
• Doskonały niezmiennik cyfra do cyfry
• Idealny niezmiennik cyfrowy
• Suma iloczynu

Linki zewnętrzne

• Faktorion w Wolfram MathWorld