Numer Kartezjusza

W teorii liczb liczba Kartezjusza jest liczbą nieparzystą , która byłaby nieparzystą liczbą doskonałą , gdyby jeden z jej czynników złożonych był liczbą pierwszą . Zostały nazwane na cześć René Descartesa , który zauważył, że liczba D = 3 ² ⋅7 ² ⋅11 ² ⋅13 ² ⋅22021 = (3⋅1001) ² ⋅ (22⋅1001 - 1) = 198585576189 byłaby nieparzystą liczbą doskonałą, gdyby tylko 22021 było liczbą pierwszą , ponieważ funkcja sumy dzielników dla D spełniałaby, gdyby 22021 było liczbą pierwszą,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{ 2}+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001) \\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^{2}\ cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2} \cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{wyrównane}}}$

gdzie ignorujemy fakt, że 22021 jest złożone ( 22021 = 19 ² ⋅ 61 ).

Liczbę Kartezjusza definiuje się jako liczbę nieparzystą n = m ⋅ p , gdzie m i p są względnie pierwsze , a 2 n = σ ( m ) ⋅ ( p + 1) , skąd p jest traktowane jako „fałszywa” liczba pierwsza. Podany przykład jest jedynym obecnie znanym.

Jeśli m jest liczbą nieparzystą, prawie idealną , to znaczy σ( m ) = 2 m - 1 i 2 m - 1 jest traktowane jako „fałszywa” liczba pierwsza, to n = m ⋅ (2 m - 1) jest liczbą Kartezjusza , ponieważ σ( n ) = σ( m ⋅ (2 m - 1)) = σ ( m ) ⋅ 2 m = (2 m - 1) ⋅ 2 m = 2 n . Gdyby 2 m - 1 było liczbą pierwszą, n byłoby nieparzystą liczbą doskonałą.

Nieruchomości

Banki i in. pokazał w 2008 $,$ że jeśli n jest liczbą Kartezjusza bez sześcianów, niepodzielną przez , to n ma ponad milion różnych dzielników pierwszych.

Uogólnienia

John Voight uogólnił liczby Kartezjusza, aby zezwolić na ujemne podstawy. Znalazł przykład ${\ Displaystyle 3 ^ {4} 7 ^ {2} 11 ^ {2} 19 ^ {2} (-127) ^ {1}}$ . Późniejsza praca grupy z Brigham Young University znalazła więcej przykładów podobnych do przykładu Voighta, a także pozwoliła na nową klasę fałszerstw, w których można również nie zauważyć, że liczba pierwsza jest taka sama jak inna liczba pierwsza w rozkładzie na czynniki.

Zobacz też

• Liczba Erdősa – Nicolasa , inny rodzaj liczby prawie idealnej

Notatki

•    Banki, William D.; Güloğlu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip (2008). „Liczby Kartezjusza”. W De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrzej ; Luca, Florian (red.). Anatomia liczb całkowitych. Na podstawie warsztatów CRM, Montreal, Kanada, 13-17 marca 2006 r . Postępowanie CRM i notatki z wykładów. Tom. 46. ​​Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9 . Zbl 1186.11004 .
•    Klee, Wiktor ; Wagon, Stan (1991). Stare i nowe nierozwiązane problemy geometrii płaszczyzn i teorii liczb . Ekspozycje matematyczne Dolcianiego. Tom. 11. Waszyngton, DC: Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne . ISBN 0-88385-315-9 . Zbl 0784.51002 .