liczba Meertensa

W teorii liczb i logice matematycznej $liczba$ Meertensa w danej podstawie liczbowej jest liczbą naturalną , która jest własną Gödla . Został nazwany na cześć Lamberta Meertensa przez Richarda S. Birda jako prezent z okazji jego 25-lecia pracy w CWI w Amsterdamie .

Definicja

Niech ${\ displaystyle n}$ będzie liczbą naturalną. Definiujemy funkcję Meertensa dla podstawy ${\ Displaystyle b> 1}$ ${\ Displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ jako następującą:

{\ Displaystyle F_ {b} (n) = \ suma _ {i = 0} ^ {k-1} p_ {ki-1} ^ {d_ {i}}.}

gdzie ${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor + 1}$ to liczba cyfr w liczbie w bazie ${\ Displaystyle b}$ , ${\ displaystyle p_ {i}}$ jest liczbą pierwszą i ${\ displaystyle i$ }

{\ Displaystyle d_ {i} = {\ Frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b} }^{i}}{b^{i}}}}

jest wartością każdej cyfry liczby. $,$ naturalna jest liczbą Meertensa ${\ displaystyle F_ {b}$ jest to punkt stały dla , który występuje, jeśli $n$ . Odpowiada to kodowaniu Gödla .

Na przykład liczba 3020 w podstawie jest liczbą Meertensa, ponieważ ${\ displaystyle b = 4}$

{\ Displaystyle 3020 = 2 ^ {3} 3 ^ {0} 5 ^ {2} 7 ^ {0}}

.

Liczba naturalna $jeśli$ towarzyską liczbą Meertensa, ${b} ^$ to punkt okresowy dla , gdzie $F_$ dla dodatniej liczby całkowitej i tworzy cykl okresu $k}$ $displaystyle$ . Liczba Meertensa to towarzyska liczba Meertensa z ${\ displaystyle k = 1}$ , a polubowna liczba Meertensa to towarzyska liczba Meertensa z ${\ displaystyle k = 2}$ .

Liczba iteracji $wynosząca$ do $n$ $stałego$ punktu to n } i undefined jeśli nigdy nie osiągnie stałego punktu.

Liczby Meertensa i cykle dla określonego $\ displaystyle$ ${b}}$

Wszystkie liczby są w bazie ${\ displaystyle b}$ .

${\ displaystyle b}$	Liczby Meertensa	Cykle	Uwagi
2	10, 110, 1010		${\ displaystyle n <2 ^ {96}}$
3	101	11 → 20 → 11	${\ displaystyle n <3 ^ {60}}$
4	3020	2 → 10 → 2	${\ displaystyle n <4 ^ {48}}$
5	11, 3032000, 21302000		${\ displaystyle n <5 ^ {41}}$
6	130	12 → 30 → 12	${\ Displaystyle n <6 ^ {37}}$
7	202		${\ displaystyle n <7 ^ {34}}$
8	330		${\ Displaystyle n <8 ^ {32}}$
9	7810000		${\ displaystyle n <9 ^ {30}}$
10	81312000		${\ displaystyle n <10 ^ {29}}$
11	${\ Displaystyle \ varnic}$		${\ displaystyle n <11 ^ {44}}$
12	${\ Displaystyle \ varnic}$		${\ displaystyle n <12 ^ {40}}$
13	${\ Displaystyle \ varnic}$		${\ Displaystyle n <13 ^ {39}}$
14	13310		${\ displaystyle n <14 ^ {25}}$
15	${\ Displaystyle \ varnic}$		${\ Displaystyle n <15 ^ {37}}$
16	12	2 → 4 → 10 → 2	${\ displaystyle n <16 ^ {24}}$