Pomnóż liczbę doskonałą

Demonstracja, za pomocą prętów Cuisenaire , 2-doskonałości liczby 6

W matematyce wielokrotna liczba doskonała (zwana także liczbą multidoskonałą lub liczbą zaprzeszłą ) jest uogólnieniem liczby doskonałej .

Dla danej liczby naturalnej k , liczbę n nazywamy k -doskonałą (lub k -krotnością doskonałą ), jeśli suma wszystkich dodatnich dzielników n ( funkcja dzielnika , σ ( n )) jest równa kn ; liczba jest zatem doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy jest 2-doskonała . Liczba, która jest k -idealna dla pewnego k nazywamy liczbą doskonałą mnożenia. Od 2014 roku znane są k - liczby doskonałe dla każdej wartości od k do 11.

Nie wiadomo, czy istnieją liczby nieparzyste pomnożone przez liczby doskonałe inne niż 1. Kilka pierwszych liczb doskonałych pomnożonych to:

1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... (sekwencja A00 7691 w OEIS ) .

Przykład

Suma dzielników liczby 120 wynosi

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

czyli 3 × 120. Dlatego 120 jest liczbą 3-doskonałą .

Najmniejsze znane liczby k -doskonałe

Poniższa tabela zawiera przegląd najmniejszych znanych k - doskonałych liczb dla k ≤ 11 (sekwencja A007539 w OEIS ):

k	Najmniejsza znana k - liczba doskonała	czynniki	Znalezione przez
1	1		starożytny
2	6	2 × 3	starożytny
3	120	2 3 × 3 × 5	starożytny
4	30240	2 5 × 3 3 × 5 × 7	René Descartes , około 1638 r
5	14182439040	2 7 × 3 4 × 5 × 7 × 11 2 × 17 × 19	René Descartes, około 1638 r
6	154345556085770649600 (21 cyfr)	2 15 × 3 5 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257	Roberta Daniela Carmichaela , 1907
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 cyfr)	2 32 × 3 11 × 5 4 × 7 5 × 11 2 × 13 2 × 17 × 19 3 × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479	TE Mason, 1911
8	826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 cyfry)	2 62 × 3 15 × 5 9 × 7 7 × 11 3 × 13 3 × 17 2 × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 521 2 × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 różnych czynników pierwszych)	Stephena F. Grettona, 1990
9	561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 cyfr)	2 104 × 3 43 × 5 9 × 7 12 × 11 6 × 13 4 × 17 × 19 4 × 23 2 × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570 461 × 16148168401 (66 różnych czynników pierwszych)	Fred Helenius, 1995
10	448565429898310924320164...0000000000000000000000000 (639 cyfr)	2 175 × 3 69 × 5 29 × 7 18 × 11 19 × 13 8 × 17 9 × 19 7 × 23 9 × 29 3 × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 266409703 1 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 różnych czynników pierwszych)	George'a Woltmana , 2013
11	251850413483992918774837...0000000000000000000000000 (1907 cyfr)	2468 × 3140 × 566 × 749 × 1140 × 1331 × 1711 × 1912 × 239 × 297 × ... × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 (246 distinct prime factors)	George'a Woltmana, 2001

Nieruchomości

Można udowodnić , że:

• Dla danej liczby pierwszej p , jeśli n jest p -doskonałe i p nie dzieli n , to pn jest ( p + 1)-doskonałe . Oznacza to, że liczba całkowita n jest liczbą 3-doskonałą podzielną przez 2, ale nie przez 4, wtedy i tylko wtedy, gdy n / 2 jest nieparzystą liczbą doskonałą , z których żadna nie jest znana.
• Jeśli 3 n jest 4 k -doskonałe , a 3 nie dzieli n , to n jest 3 k -doskonałe .

Nieparzyste mnożenie liczb doskonałych

Nie wiadomo, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste i wielokrotne inne niż 1. Jeśli jednak istnieje nieparzysta liczba k - doskonała n , gdzie k > 2, to musi ona spełniać następujące warunki:

• Największy czynnik pierwszy to ≥ 100129
• Drugim co do wielkości czynnikiem pierwszym jest ≥ 1009
• Trzeci co do wielkości czynnik pierwszy to ≥ 101

Miedza

W notacji little-o liczba wielokrotnych liczb doskonałych mniejszych niż x wynosi ${\ Displaystyle o (x ^ {\ varepsilon})}$ dla wszystkich ε > 0.

Liczba k - doskonałych liczb n dla n ≤ x jest mniejsza niż $\ Displaystyle cx ^ {c'\ log \ log \ log x/\ log \log x}}$ , gdzie c i c' są stałymi niezależnymi od k .

Przy założeniu hipotezy Riemanna następująca nierówność jest prawdziwa dla wszystkich k - doskonałych liczb n , gdzie k > 3

${\ Displaystyle \ log \ log n> k \ cdot e ^ {- \ gamma}}$

gdzie jest stałą $gamma$ . Można to udowodnić za pomocą twierdzenia Robina .

Liczba dzielników τ( n ) k doskonałej -liczby n spełnia nierówność

${\ Displaystyle \ tau (n)> e ^ {k- \ gamma}.}$

Liczba różnych czynników pierwszych ω( n ) z n spełnia

${\ Displaystyle \ omega (n) \ geq k ^ {2} -1.}$

Jeśli różne czynniki pierwsze n to ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {r}}$ , to:

${\ Displaystyle r \ lewo ({\ sqrt [{r}] { 3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r} ]{6/k^{2}}}\right),~~{\text{if }}n{\text{jest parzysta}}}$

${\ Displaystyle r \ lewo ({\ sqrt [{3r}] {k ^ { 2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}] {8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{if }}n{\text{ jest nieparzyste}}}$

Konkretne wartości k

Doskonałe liczby

Główny artykuł: Idealna liczba

Liczba n , dla której σ( n ) = 2 n jest doskonała .

Liczby potrójnie doskonałe

Liczba n z σ( n ) = 3 n jest potrójnie doskonała . Istnieje tylko sześć znanych liczb potrójnych i uważa się, że obejmują one wszystkie takie liczby:

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (sekwencja A005820 w OEIS )

Jeśli istnieje nieparzysta liczba doskonała m (słynny problem otwarty ), to 2 m byłoby 3-doskonałe , ponieważ σ(2 m ) = σ(2) σ( m ) = 3 × 2 m . Nieparzysta liczba potrójna musi być liczbą kwadratową przekraczającą 10 ⁷⁰ i mieć co najmniej 12 różnych czynników pierwszych, z których największy przekracza 10 ⁵ .

Wariacje

Jednostkowe mnożenie liczb doskonałych

Podobne rozszerzenie można wykonać dla jednostkowych liczb doskonałych . Dodatnia liczba całkowita n jest nazywana jednostkową wielokrotnością k - doskonałą liczbą , jeśli σ ^* ( n ) = kn gdzie σ ^* ( n ) jest sumą jej jednostkowych dzielników . (Dzielnik d liczby n jest dzielnikiem jednostkowym, jeśli d i n/d nie mają wspólnych dzielników ).

Jednolita liczba doskonała mnożenia jest po prostu jednostkową wielokrotnością liczby k -doskonałej dla pewnej dodatniej liczby całkowitej k . Równoważnie, jednostkowe wielokrotne liczby doskonałe to te n , dla których n dzieli σ ^* ( n ). Jednolita liczba wielokrotna 2-doskonała jest naturalnie nazywana jednostkową liczbą doskonałą . W przypadku k > 2 nie ma przykładu unitarnego multi k -perfect numer jest jeszcze znany. Wiadomo, że jeśli taka liczba istnieje, to musi być parzysta i większa niż 10 ¹⁰² oraz musi mieć więcej niż czterdzieści cztery nieparzyste czynniki pierwsze. Ten problem jest prawdopodobnie bardzo trudny do rozwiązania. Koncepcja dzielnika unitarnego pochodzi pierwotnie od R. Vaidyanathaswamy'ego (1931), który nazwał taki dzielnik czynnikiem blokowym. Obecna terminologia pochodzi od E. Cohena (1960).

Kilka pierwszych liczb doskonałych jednostkowych mnożenia to:

1, 6, 60, 90, 87360 (sekwencja A327158 w OEIS )

Dwujednostkowe mnożenie liczb doskonałych

Dodatnia liczba całkowita n nazywana jest dwujednostkową multi k - doskonałą liczbą , jeśli σ ^** ( n ) = kn gdzie σ ^** ( n ) jest sumą jej dzielników dwujednostkowych . Koncepcja ta pochodzi od Petera Hagisa (1987). Dwujednostkowa wielokrotna liczba doskonała to po prostu dwujednostkowa wielok- doskonała liczba dla pewnej dodatniej liczby całkowitej k . Równoważnie, dwujednostkowe wielokrotne liczby doskonałe to te n dla których n dzieli σ ^** ( n ). Dwujednostkowa liczba wielokrotna 2-doskonała jest naturalnie nazywana liczbą doskonałą dwujednostkową , a liczba dwujednostkowa wielokrotna 3-doskonała nazywana jest dwujednostkową liczbą potrójną doskonałą .

Dzielnik d dodatniej liczby całkowitej n nazywany jest dwujednostkowym dzielnikiem n , jeśli największy wspólny dzielnik jednostkowy (gcud) liczb d i n / d jest równy 1. Koncepcja ta pochodzi od D. Surynarayana (1972) . Suma (dodatnich) dwujednostkowych dzielników n jest oznaczona przez σ ^** ( n ).

Peter Hagis (1987) udowodnił, że nie ma nieparzystych dwujednostkowych liczb multiperfekcyjnych innych niż 1. Haukkanen i Sitaramaiah (2020) znaleźli wszystkie dwujednostkowe liczby potrójne doskonałe w postaci 2 a u, gdzie 1 ≤ a ^≤ 6 i u jest nieparzyste , i częściowo przypadek, w którym a = 7. Ponadto całkowicie ustalili przypadek a = 8.

Pierwsze kilka dwujednostkowych wielokrotnych liczb doskonałych to:

1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 (sekwencja A189000 w OEIS )

Źródła

•   Broughan, Kevin A.; Zhou, Qizhi (2008). „Nieparzyste liczby doskonałe multidoskonałe obfitości 4” (PDF) . Dziennik teorii liczb . 126 (6): 1566-1575. doi : 10.1016/j.jnt.2007.02.001 . hdl : 10289/1796 . MR 2419178 .
•    Facet, Richard K. (2004). Nierozwiązane problemy w teorii liczb (wyd. 3). Springer-Verlag . B2. ISBN 978-0-387-20860-2 . Zbl 1058.11001 .
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020a). „Liczby multidoskonałe dwujednostkowe, I” (PDF) . Uwagi na temat teorii liczb i matematyki dyskretnej . 26 (1): 93–171. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.1.93-171 .
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020b). „Liczby multidoskonałe dwujednostkowe, II” (PDF) . Uwagi na temat teorii liczb i matematyki dyskretnej . 26 (2): 1–26. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.2.1-26 .
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020c). „Liczby multidoskonałe dwujednostkowe, III” (PDF) . Uwagi na temat teorii liczb i matematyki dyskretnej . 26 (3): 33–67. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.3.33-67 .
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020d). „Liczby multidoskonałe dwujednostkowe, IV (a)” (PDF) . Uwagi na temat teorii liczb i matematyki dyskretnej . 26 (4): 2–32. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32 .
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2021a). „Liczby multidoskonałe dwujednostkowe, IV (b)” (PDF) . Uwagi na temat teorii liczb i matematyki dyskretnej . 27 (1): 45–69. doi : 10.7546/nntdm.2021.27.1.45-69 .
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2021b). „Liczby multidoskonałe dwujednostkowe, V” (PDF) . Uwagi na temat teorii liczb i matematyki dyskretnej . 27 (2): 20–40. doi : 10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40 .
•    Kishore, Masao (1987). „Nieparzyste liczby potrójnie doskonałe są podzielne przez dwanaście różnych czynników pierwszych” . Journal of Australian Mathematical Society, seria A. 42 (2): 173–182. doi : 10.1017/s1446788700028184 . ISSN 0263-6115 . Zbl 0612.10006 .
•      Laatsch, Richard (1986). „Pomiar obfitości liczb całkowitych”. Magazyn Matematyczny . 59 (2): 84–92. doi : 10.2307/2690424 . ISSN 0025-570X . JSTOR 2690424 . MR 0835144 . Zbl 0601.10003 .
•    Merickel, James G. (1999). „Dzielniki sum dzielników: 10617”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 106 (7): 693. doi : 10.2307/2589515 . JSTOR 2589515 . MR 1543520 .
•     Ryan, Richard F. (2003). „Prostszy gęsty dowód dotyczący wskaźnika obfitości”. Magazyn Matematyczny . 76 (4): 299–301. doi : 10.1080/0025570X.2003.11953197 . JSTOR 3219086 . MR 1573698 . S2CID 120960379 .
•    Sandor, Jozsef; Crstici, Borysław, wyd. (2004). Podręcznik teorii liczb II . Dordrecht: Kluwer Academic. s. 32 –36. ISBN 1-4020-2546-7 . Zbl 1079.11001 .
•    Sandor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borysław, wyd. (2006). Podręcznik teorii liczb I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9 . Zbl 1151.11300 .
• Sorli, Ronald M. (2003). Algorytmy w badaniu liczb doskonałych wielokrotnych i nieparzystych doskonałych (praca doktorska). Sydney: Politechnika. hdl : 10453/20034 .
•     Weiner, Paul A. (2000). „Współczynnik obfitości, miarą doskonałości”. Magazyn Matematyczny . 73 (4): 307–310. doi : 10.1080/0025570x.2000.11996860 . JSTOR 2690980 . MR 1573474 . S2CID 119773896 .

Zobacz też

• Liczba półdoskonała

Linki zewnętrzne

• Strona Mnożenia liczb doskonałych
• The Prime Glossary: ​​Pomnóż liczby doskonałe
• na YouTubie