Wtedy i tylko wtedy gdy

↔⇔≡⟺ Symbole logiczne reprezentujące iff

W logice i dziedzinach pokrewnych, takich jak matematyka i filozofia , „ wtedy i tylko wtedy, gdy ” (w skrócie „ iff ”) jest dwuwarunkowym spójnikiem logicznym między zdaniami, gdzie albo oba zdania są prawdziwe, albo oba są fałszywe.

Spójnik jest dwuwarunkowy (stwierdzenie równoważności materialnej ) i można go porównać do standardowego warunkowego materialnego („tylko jeśli”, równego „jeśli… to”) połączonego z jego odwrotnością („jeśli”); stąd nazwa. W rezultacie prawdziwość jednego z połączonych stwierdzeń wymaga prawdziwości drugiego (tj. albo oba zdania są prawdziwe, albo oba są fałszywe), chociaż kontrowersyjne jest, czy tak zdefiniowany spójnik jest właściwie oddany przez angielski „jeśli i tylko wtedy, gdy” - z jego wcześniej istniejącym znaczeniem. Na przykład P wtedy i tylko wtedy, gdy Q oznacza, że P jest prawdziwe, gdy Q jest prawdziwe, a jedynym przypadkiem, w którym P jest prawdziwe, jest sytuacja, w której Q jest również prawdziwe, podczas gdy w przypadku P, jeśli Q , mogą istnieć inne scenariusze, w których P jest prawdziwe, a Q jest fałszywe.

Na piśmie wyrażenia powszechnie używane jako alternatywy dla P „wtedy i tylko wtedy, gdy” Q obejmują: Q jest konieczne i wystarczające dla P , dla P jest konieczne i wystarczające, aby Q , P było równoważne (lub materialnie równoważne) z Q (porównaj z implikacja materialna ), P dokładnie, jeśli Q , P dokładnie (lub dokładnie), gdy Q , P dokładnie w przypadku Q i P na wszelki wypadek Q . Niektórzy autorzy uważają „iff” za nieodpowiednie w formalnym piśmie; inni uważają to za „przypadek graniczny” i tolerują jego użycie.

We wzorach logicznych symbole logiczne, takie jak $są$ , $używane$ zamiast tych zwrotów patrz § Notacja poniżej.

Definicja

Tabela prawdy Q jest następująca: P ${\ displaystyle \ Leftrightarrow$ }

Tabela prawdy
P	Q	P. ${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$ Q	P. ${\ Displaystyle \ Lefttarrow}$ Q	P. ${\ Displaystyle \ Strzałka w lewo}$ Q
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Jest to odpowiednik tego wytwarzanego przez bramkę XNOR i przeciwny do tego wytwarzanego przez bramkę XOR .

Stosowanie

Notacja

Odpowiednie symbole logiczne to „↔”, $„$ i„ ≡ ”, a czasem „iff” Są one zwykle traktowane jako równoważne. Jednak niektóre teksty logiki matematycznej (szczególnie te dotyczące logiki pierwszego rzędu , a nie logiki zdań ) rozróżniają między nimi, w których pierwszy, ↔, jest używany jako symbol we wzorach logicznych, podczas gdy ⇔ jest używany w rozumowaniu o te formuły logiczne (np. w metalogic ). U Łukasiewicza _ Notacja polska , jest to symbol przedrostka 'E'.

Inny termin określający spójnik logiczny , tj. symbol we wzorach logicznych, jest wyłączny ani .

W TeX -u „jeśli i tylko wtedy, gdy” jest pokazane jako długa podwójna strzałka: ${\ displaystyle \ iff}$ za pomocą polecenia \ iff.

Dowody

W większości systemów logicznych twierdzenie w postaci „P iff Q” można udowodnić, dowodząc „jeśli P, to Q” i „jeśli Q, to P” lub „jeśli P, to Q” i „jeśli nie - P , to nie-Q”. Udowodnienie tych par stwierdzeń czasami prowadzi do bardziej naturalnego dowodu, ponieważ nie ma oczywistych warunków, w których można by bezpośrednio wywnioskować dwuwarunkowy. Alternatywą jest udowodnienie dysjunkcji „(P i Q) lub (nie-P i nie-Q)”, którą można wywnioskować bezpośrednio z jednego z jej dysjunkcji - to znaczy, ponieważ „iff” jest funkcją prawdziwościową , „P iff Q” następuje, jeśli wykazano, że P i Q są zarówno prawdziwe, jak i fałszywe.

Pochodzenie if i wymowa

Użycie skrótu „iff” po raz pierwszy pojawiło się drukiem w książce Johna L. Kelleya z 1955 r. General Topology . Jego wynalazek jest często przypisywany Paulowi Halmosowi , który napisał: „Wymyśliłem„ iff ”dla„ wtedy i tylko wtedy ”, ale nigdy nie mogłem uwierzyć, że naprawdę byłem jego pierwszym wynalazcą”.

Nie jest jasne, jak miało być wymawiane „iff”. W obecnej praktyce pojedyncze „słowo” „iff” jest prawie zawsze odczytywane jako cztery słowa „wtedy i tylko wtedy, gdy”. Jednak we wstępie do Topologii ogólnej Kelley sugeruje, że należy to czytać inaczej: „W niektórych przypadkach, gdy treść matematyczna wymaga„ wtedy i tylko wtedy ”, a eufonia wymaga czegoś mniej, używam „iff” Halmosa”. Autorzy jednego z podręczników do matematyki dyskretnej sugerują: „Jeśli musisz wymówić iff, naprawdę trzymaj się„ ff ” aby ludzie słyszeli różnicę od „jeśli””, co sugeruje, że „iff” można wymawiać jako [ɪfː] .

Użycie w definicjach

Z technicznego punktu widzenia definicje są stwierdzeniami „wtedy i tylko wtedy, gdy”; niektóre teksty - takie jak Topologia ogólna Kelleya - są zgodne z surowymi wymogami logiki i używają „wtedy i tylko wtedy, gdy” lub iff w definicjach nowych terminów. Jednak to logicznie poprawne użycie „wtedy i tylko wtedy, gdy” jest stosunkowo rzadkie i pomija fakt językowy, że „jeśli” definicji jest interpretowane jako oznaczające „wtedy i tylko wtedy”. Większość podręczników, artykułów naukowych i artykułów (w tym artykułów w angielskiej Wikipedii) jest zgodna z konwencją językową, zgodnie z którą „jeżeli” oznacza „wtedy i tylko wtedy”, gdy w grę wchodzi definicja matematyczna (jak w przypadku „przestrzeń topologiczna jest zwarta, jeśli każda otwarta pokrywa ma skończone pokrycie podrzędne”).

Rozróżnienie od „jeśli” i „tylko jeśli”

„Madison zje owoc, jeśli jest to jabłko”. (odpowiednik „ Tylko jeśli Madison zje owoc, czy może to być jabłko” lub „Madison zje owoc ← owocem jest jabłko” )
Oznacza to, że Madison zje owoce, które są jabłkami. Nie wyklucza to jednak możliwości, że Madison może również jeść banany lub inne rodzaje owoców. Wszystko, co wiadomo na pewno, to to, że zje każde jabłko, na które się natknie. Wystarczy , że owocem jest jabłko warunek, aby Madison zjadła owoc.
„Madison zje owoc tylko wtedy, gdy będzie to jabłko”. (odpowiednik „ Jeśli Madison zje owoc, to jest to jabłko” lub „Madison zje owoc → owoc to jabłko” )
Oznacza to, że jedynym owocem, który zje Madison, jest jabłko. Nie wyklucza to jednak możliwości, że Madison odmówi przyjęcia jabłka, jeśli zostanie ono udostępnione, w przeciwieństwie do (1), który wymaga od Madison zjedzenia każdego dostępnego jabłka. warunkiem koniecznym jest, aby dany owoc był jabłkiem warunkiem, że Madison to zje. Nie jest to warunek wystarczający, ponieważ Madison może nie zjeść wszystkich jabłek, które dostanie.
„Madison zje owoc tylko wtedy, gdy będzie to jabłko”. (odpowiednik „Madison zje owoc ↔ owocem jest jabłko” )
To stwierdzenie wyjaśnia, że Madison zje wszystkie i tylko te owoce, które są jabłkami. Nie zostawi żadnego jabłka niezjedzonego i nie zje żadnego innego rodzaju owoców. To, że dany owoc jest jabłkiem, jest zarówno koniecznym , jak i wystarczającym , aby Madison zjadła ten owoc.

Wystarczalność jest przeciwieństwem konieczności. To znaczy, biorąc pod uwagę P → Q (tj. jeśli P to Q ), P byłby warunkiem wystarczającym dla Q , a Q byłby warunkiem koniecznym dla P . Ponadto, biorąc pod uwagę P → Q , prawdą jest, że ¬Q → ¬P (gdzie ¬ jest operatorem negacji, tj. „nie”). Oznacza to, że związek między P i Q , ustanowiony przez P → Q , można wyrazić na następujące, wszystkie równoważne, sposoby:

P jest wystarczające dla Q

Q jest konieczne dla P

¬Q jest wystarczające dla ¬P

¬P jest konieczne dla ¬Q

Jako przykład weźmy pierwszy przykład powyżej, który stwierdza P → Q , gdzie P to „owoc, o którym mowa, to jabłko”, a Q to „Madison zje dany owoc”. Oto cztery równoważne sposoby wyrażania tego właśnie związku:

Jeśli owocem, o którym mowa, jest jabłko, Madison je zje.

Tylko jeśli Madison zje owoc, o którym mowa, jest to jabłko.

Jeśli Madison nie zje owocu, o którym mowa, to nie jest jabłko.

Tylko jeśli owoc, o którym mowa, nie jest jabłkiem, Madison go nie zje.

Tutaj drugi przykład można powtórzyć w postaci jeśli… to jako „Jeśli Madison zje dany owoc, to jest to jabłko”; biorąc to pod uwagę w połączeniu z pierwszym przykładem, okazuje się, że trzeci przykład można określić w następujący sposób: „Jeśli dany owoc jest jabłkiem, to Madison go zje; a jeśli Madison zje owoc, to jest to jabłko”.

Jeśli chodzi o diagramy Eulera

A jest właściwym podzbiorem B . Liczba jest w A tylko wtedy, gdy jest w B ; liczba jest w B , jeśli jest w A.
C jest podzbiorem, ale nie właściwym podzbiorem B . Liczba jest w B wtedy i tylko wtedy, gdy jest w C , a liczba jest w C wtedy i tylko wtedy, gdy jest w B.

Diagramy Eulera pokazują logiczne relacje między zdarzeniami, właściwościami i tak dalej. „P tylko, jeśli Q”, „jeśli P, to Q” i „P → Q” oznaczają, że P jest podzbiorem , właściwym lub niewłaściwym, Q. „P, jeśli Q”, „jeśli Q, to P” i Wszystkie Q→P oznaczają, że Q jest właściwym lub niewłaściwym podzbiorem P. „P wtedy i tylko wtedy, gdy Q” oraz „Q wtedy i tylko wtedy, gdy P” oznaczają, że zbiory P i Q są identyczne.

Bardziej ogólne zastosowanie

Iff jest używany również poza dziedziną logiki. Wszędzie tam, gdzie stosowana jest logika, zwłaszcza w matematycznych , ma to samo znaczenie, co powyżej: jest to skrót od wtedy i tylko wtedy , gdy wskazuje, że jedno stwierdzenie jest zarówno konieczne, jak i wystarczające dla drugiego. To jest przykład żargonu matematycznego (chociaż, jak wspomniano powyżej, jeśli jest częściej używane niż iff w definicjach).

Elementy X to wszystkie i tylko elementy Y oznaczają: „Dla dowolnego z w domenie dyskursu z jest w X wtedy i tylko wtedy, gdy z jest w Y ”.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

„Tablice prawdy wtedy i tylko wtedy, gdy” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 5 maja 2000 r.
Dziennik językowy: „Na wszelki wypadek”
Filozofia Południowej Kalifornii dla absolwentów filozofii: „Na wszelki wypadek”