Równość logiczna

Aby zapoznać się z odpowiednią koncepcją w logice kombinacyjnej , zobacz bramkę XNOR .

Równość logiczna

EQ, XNOR
Definicja	${\ displaystyle x = y}$
Tabela prawdy	${\ Displaystyle (1001)}$
Bramka logiczna
Formy normalne
Dysjunktywny	${\ Displaystyle x \ cdot y + {\ overline {x}} \ cdot {\ overline {y}}}$
Spójnik	${\ Displaystyle ({\ overline {x}} + y) \ cdot (x + {\ overline {y}})}$
Wielomian Zhegalkina	${\ Displaystyle 1 \ oplus x \ oplus y}$
Kraty pocztowe
0-zachowanie	NIE
1-konserwowanie	Tak
Monotonia	NIE
afiniczny	Tak

Równość logiczna jest operatorem logicznym odpowiadającym równości w algebrze Boole'a i logicznemu dwuwarunkowi w rachunku zdań . Daje wartość funkcyjną true , jeśli oba argumenty funkcyjne mają tę samą wartość logiczną , i false , jeśli są różne.

Zwyczajową praktyką w różnych zastosowaniach, jeśli nie zawsze technicznie precyzyjnych, jest wskazywanie operacji równości logicznej na argumentach logicznych x i y w dowolnej z następujących postaci:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & \ strzałka w prawo w lewo y & x & \ strzałka w prawo w lewo y & \ operatorname {E} xy \\ x & \ operatorname {~ EQ ~} y & x & = y \ koniec {wyrównane}}}$

Jednak niektórzy logicy dokonują wyraźnego rozróżnienia między formą funkcyjną , taką jak ta w lewej kolumnie, którą interpretują jako zastosowanie funkcji do pary argumentów — a zatem zwykłą wskazówkę, że wartość wyrażenia złożonego zależy od wartości wyrażeń składowych — i postać równania , jak te w prawej kolumnie, którą interpretują jako stwierdzenie, że argumenty mają równe wartości, innymi słowy, że wartość funkcyjna wyrażenia złożonego jest prawdziwa .

W matematyce znak plus "+" prawie zawsze wskazuje operację, która spełnia aksjomaty przypisane do dodawania w typie struktury algebraicznej , która jest znana jako pole . W przypadku algebry boolowskiej oznacza to, że operacja logiczna oznaczona przez „+” nie jest tym samym, co alternatywna inkluzywna oznaczona przez „∨”, ale w rzeczywistości jest równoważna operatorowi logicznej nierówności oznaczonemu przez „≠” lub temu, co sprowadza się do tego samego , dysjunkcja wyłączna oznaczony przez „XOR” lub „⊕”. Oczywiście te różnice w użyciu spowodowały na przestrzeni lat pewne niepowodzenia w komunikacji między matematykami a inżynierami przełączającymi. W każdym razie mamy następującą tablicę odpowiednich form dla symboli związanych z nierównością logiczną:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & + y & x & \ nie \ równoważnik y & Jxy \\ x & \ operatorname {~ XOR ~} y & x & \ neq y \ koniec {wyrównany}}}$

To wyjaśnia, dlaczego „EQ” jest często nazywane „ XNOR ” w kombinacyjnej logice inżynierów obwodów, ponieważ jest to zaprzeczenie operacji XOR ; „NXOR” jest rzadziej używaną alternatywą. Inną racjonalizacją wprawdzie okrężnej nazwy „XNOR” jest to, że zaczyna się od operatora „oba fałszywe” NOR, a następnie dodaje eXception „lub oba prawdziwe”.

Definicja

Równość logiczna to operacja na dwóch wartościach logicznych , zazwyczaj wartościach dwóch zdań , która daje wartość true wtedy i tylko wtedy, gdy oba operandy są fałszywe lub oba operandy są prawdziwe.

Tabela prawdy p EQ q ( również zapisywana jako p = q , p ↔ q , Epq , p ≡ q lub p == q ) jest następująca:

Diagram Venna A EQ B (czerwona część jest prawdziwa)

Równość logiczna

P	Q	p = q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Alternatywne opisy

Forma ( x = y ) jest równoważna postaci ( x ∧ y ) ∨ (¬ x ∧ ¬ y ).

${\ Displaystyle (x = y) = \ lnot (x \ oplus y) = \ lnot x \ oplus y = x \ oplus \ lnot y = (x \ ziemia y) \ lor (\ lnot x \ ziemia \ lnot y) =(\lnot x\lor y)\land (x\lor \lnot y)}$

Dla operandów x i y tablica prawdy operatora równości logicznej wygląda następująco:

${\ displaystyle x \ strzałka w prawo w lewo y}$		y
		T	F
X	T	T	F
	F	F	T

Zobacz też

• Funkcja logiczna
• Wtedy i tylko wtedy gdy
• Równoważność logiczna
• Logiczne dwuwarunkowe
• Rachunek zdań

Linki zewnętrzne

• Media związane z równością logiczną w Wikimedia Commons
• Mathworld, XNOR